九乡新闻网鼠尾草的博客:式、代数式、单项式、多项式、整式的区别与联系是什么
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/27 23:18:58
“式”，是数学式子（或乘解析式）的简称，是数的概念的发展。在小学数学里，已经用字母a、b、c等表示已知的但是不定的数，用字母x表示未知而特定的数。用字母表示数时，它不仅可以参与运算，而且在运算中适合数所具有的普遍性质，如交换律、结合律、分配律等基本运算律。从数学发展的历史来看，也正是由于算术中引进了表示数的符号，由此扩展到用字母表示数，才产生了代数这个重要的数学分支。当然，别的数学分支也普遍使用着数学式子的概念，不过代数里研究得比较直接、深刻罢了。一个数学式子就是一些数以及表示数的字母用运算符号把它们连接起来的一组符号。这组符号指示我们应该按照指定的顺序，把这些运算实施在数字和字母表示的数上，从而求得它的值。为了提法上的方便，我们也把单独用数字或字母表示的数，算作是一个数学式子。
很明显，对于数学式子的深入研究应该着眼于运算。在初等数学里所指的运算，是指有限次的加、减、乘（包括正整数次乘方）、除这四种算术运算（也称四则运算），开方运算，指数运算，对数运算，三角运算和反三角运算等。
以上运算中的算术运算和开方运算总称代数运算。在指数运算中，当指数是有理数时，可以归结为正整数次的乘方运算和开方运算；指数为无理数的指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算统称为初等超越运算。
由于数学式子所含的运算种类不同，它可以分为两大类：
①代数式：只含有代数运算（算术运算、开方运算及指数是有理数的指数运算）的数学式子。
②超越式：或称初等超越式，指除了代数运算以外，还包含初等超越运算（指数为无理数的指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算）的数学式子。
数或字母间只含有乘法运算（包括正整数次幂）的代数式叫做单项式。包含加法运算的是多项式，单项式与多项式统称为整式。除式中含有字母的是分式。整式与分式统称有理式。含有开方运算的称为根式，特别地把含有字母开方的代数式称为无理式。
这里需要说明，数学式子中的字母，可能不止一个，根据它们所表示数的实际意义，不能完全把它们“等量齐观”。不能“等量”，是说有的字母所代表的数量，可以在研究过程中取固定的数值，有的字母可以取不同的数值。不能“齐观”，是说字母中有主次之分，因而有常数与变数，即常量与变量之分，在不同的场合，又有不同的命名。例如，在函数的研究中，变数有自变数与因变数之分，在方程中称为未知数，在多项式中称不定元。不定元是一个更广泛的概念，它所代表的不一定是数，可以是向量、矩阵或物理量等等。这些不同的命名完全是人为的，并不影响它们适合基本运算律，或其他变形规律。
代数式还可以根据所含的运算种类进行分类。
只含有算术运算的代数式叫做有理式。其中，除式中不含有字母的有理式，叫做整式；否则，叫做分式。
含有开方运算的代数式，叫做根式。其中，含有对字母进行开方运算的代数式，叫做无理式。
对于以上的分类，应该注意以下两点：
①一个代数式中所含的字母，有的可以表示常量（常数），有的可以表示变量（变数）。代数式可划分为有理式和无理式两大类，是对在研究过程中作为主要的变数字母来说的。例如，2x＋对变数字母a、x来说是分式，但是单独对x来说则是整式。又如，x＋，2＋都是根式。但对变数字母x来说，x＋是整式，2＋则是无理式。
②分类是从形式上考察的。例如，根据算术根的性质，可知=x2＋1,所以实质上是一个整式，但从形式上来考察，我们仍说它是一个无理式，这一点与函数的分类是有区别的。
总之，式、代数式、单项式、多项式、整式既有区别，又有联系。它们的根本区别在于不属于同一层次，而基本联系则是同属于式的范畴。它们的关系可以简单地表示为：
数学式子