黑暗之魂3烟特:例解概念教学

    有人认为:我们已经从崇尚逻辑思维能力的信息时代，向崇尚“高概念(HighConcept)”能力和“高感性(HighTouch)”能力的“概念时代(ConceptualAge)”转变^[1]。“概念时代”也称为“全球化3.0”时代，由于“概念时代”的到来，形象思维将越来越多地成为创新的基点，这就为多样文化走向世界提供了机会^[2]。

“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题的重点放在准确理解和解析数学概念的基础上的概念教学设计上。这样的价值取向无疑具有时代性和先进性。

作为数学思维细胞的数学概念，是数学的逻辑起点，也是数学思维的出发点,在数学教学中具有重要地位。概念的学习是数学学习的基础性工作，只有构建完整清晰的知识网络，才能开启思维三重门。这里的一重门是理解各个知识点，这是数学思维的基础；二重门是知识系统化、网络化。而现在比较普遍的情况是学生拿着一颗颗知识点的珠宝反复擦拭，喜欢对点作多且难的堆砌组合，而点点不能成线、线线不能成面，一旦要求他把珠宝成串拎起来，结果就只能是珠宝撒满地了。在这里缺失的是对数学知识本质的理解和知识点之间联系的思考，而串成线形成面的绳应该是数学思想方法；三重门才是具体问题的数学思维。所以数学学习的过程事实上是一个概念不断地作建立—应用—反思—澄清的过程。

准确理解和解析数学概念涉及到三个问题，什么是概念的解构？什么是概念的核心？什么是中学数学核心概念？这些问题都触及到数学和数学教学的本质问题，原本以为越是本质的东西，大家越会有共同的认识。但课题研究的进程告诉我们，人们对数学和数学教学的本质的认识也是仁者见仁，智者见智的。今天，普遍接受的数学概念已不复存在^[3]。诚然，认识的多样性有利于中学数学教学的创新，但数学教育职业的直觉又告诉我们：在中学阶段给学生准确的数学概念应该还是最重要的。也许这就是课题研究的难度所在。

一、概念的解构

概念的解构包括“学术解构”和“教学解构”两个方面。

“学术解构”即从数学学科角度对个体概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析。包括的内容有：概念的内涵和外延；概念所反映的思想方法；概念的发展历史（用以说明概念的地位和作用）；概念的变式与联系（从另一个侧面说明概念的地位和作用）；概念的教育价值；等。上述内容的呈现应该达到两个目的，一是让数学教师明确“确定这一概念的地位”；二是解决教师在概念理解中可能出现的偏差，以提高教师对相应概念的认识水平。^[4]

“教学解构”则是“学术解构”“理解”、“剖析”基础上的教学表达，重点放在概念的发生发展的程式设计、概念的概括、辨析和如何用概念进行判断。

以下用一个案例说明什么是概念的解构。

【案例】

王石与拐点论

2007年12月13日下午，在清华大学紫光国际交流中心召开的“海螺行动II——中英解决城市低收入人群住房问题比较研究大会”上，《第一财经日报》记者目睹了这样一番对话——

有记者问王石：“10月以来，以广州为代表的一些楼市普遍遇冷，广州新建商品房的销售量下降严重，作为开发商代表之一的你，是否认同楼市出现拐点的说法？”

“你问的问题和我们大会的主题没有什么关系，但是出于礼貌，我依然会回答你这个问题——是的。”一贯直白的“王石式”回答。

这一回答，被缩减为后来网上的说法——“王石承认楼市已出现拐点”。再后来，有媒体认为王石是在为万科“降价”吹风，认为万科旗下的楼盘正在全国启动“降价潮”。 ^[5]

拐点一词，是一个不折不扣的数学名词，就是函数的二阶导数为零的点, 也就是曲线由一种凹凸方向变到另一种凹凸方向的转折点，所表示的几何意义是函数的上升或下降的变化速率。

　　近期，“房地产拐点”之说纷纷扬扬，其焦点仍然是房价，似乎这一拐点就是说房价已经要从上涨变为下降了，房地产行业将要走下坡路了，开发商就要大量倒闭了，老百姓就等着买降价房吧。

　　其实这种说法是有问题的，按照经济学、数学上的术语，出现拐点，上升或下降的趋势并没有改变。因此说，如果真的要表达房市的趋势变化，用“拐点”这个词，显然是用错了。^[6]

【案例分析】

“拐点”的概念的内涵非常明确：函数的二阶导数为零的点。

“学术解构1”：曲线由一种凹凸方向变到另一种凹凸方向的转折点。

“学术解构2”：所表示的几何意义是函数的上升或下降的变化速率。

事实上，即使给大家这样严谨的“学术解构”，绝大多数的人还是愿意把“拐点”简单理解为“上涨变为下降”，即数学的“单调递增变为单调递减”。

“教学解构”：打个比方，有人在弯弯曲曲的道路上骑自行车，方向时而左打、时而右打，在方向从左打变到右打（或从右打变到左打）的一瞬间，车行路线的这一点就是一个“拐点”。

【案例反思】

对于一个新概念的学习理解，人们总是自觉不自觉地把它向已有的概念或生活经验迁移，如何促成有效的迁移，预见可能的不良迁移并把不良迁移改造成概念“辨析”的材料，是我们在进行概念“教学解构”时应予高度关注的问题。 “拐点”的“比方”，它让人通俗易懂地知道，拐点并不是“递增、递减的转折点”，而是“左拐、右拐的转折点”。这就是我们要追求的对概念的教学解构。这种解构不仅抓住了概念的数学本质，更凸显了教学的关键。

二、概念的核心

具体的数学学习是按照教材的编排，在45分钟的教学时间内安排的数学教学活动。在对一节课的学习内容中所涉及的若干个概念进行解构时，我们会发现这些概念既是独立的，又是相互联系的。

比如《直线的倾斜角和斜率》的第一课时，是解析几何的开始课, 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，教材按照课标的要求: “在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素”。在解析几何的思想方法下,教材设置的主问题是：“满足怎么样的几何要素的直线是确定的?”。

目前最典型的教学设计是按照教科书的走向：从共同的认知基础“两点确定一条直线”开始，结合具体图形，导向“一点和一倾斜角确定一条直线”，介入代数方法研究，把“倾斜角”这一几何要素转化为“直线的斜率”( 代数表示)，从而导向“一点和一斜率确定一条直线”。

倾斜角和斜率无疑是本课的重要概念，就按照教科书讲清楚倾斜角和斜率的概念也能完成教学任务，但这样的教学长期以往，学生得到的只能是一个个孤立的知识点，这样的教学你老师参与不参与没什么根本的区别。

我们自然的从“两点确定一条直线”开始，问学生“一点可以确定一条直线吗？”，现在的教学是一定要把学生引到“一点和一倾斜角确定一条直线”，自然吗？为什么不可以是“一点和一方向向量确定一条直线”（浙江省必修教学次序是1，4，5，2，3）或者是其它确定方式呢？好好的一个创新基点被糟蹋了。

再仔细把倾斜角、斜率这方向向量三个概念梳理一下，我们会发现这三个概念实际上都是在刻画直线的倾斜程度。这就是我们要找的本节课概念的核心。“一点和直线的倾斜程度确定一条直线”才是问题的终极答案。

1.什么是概念的核心

概念的核心是指通过对一节课或一个单元、一章，乃至一个数学分支中的主要概念进行解构，析出的有共同本质指向的、重要的、不可或缺的基础概念。它是在限定研究范围内涉及的主要概念中概括出来的一个新的概念，也可以是原有概念中的一个。

中学数学的一章，一个数学分支的概念的核心，自然就成为了中学数学的核心概念。

比如在“直线与方程”一章中，由于一条直线从根本上来说，有一个点和一个方向就确定了，而直线方向的本质就是直线的倾斜程度。所以直线的倾斜程度不仅是“直线的倾斜角和斜率”一课的概念的核心，也是“直线与方程”一章的概念的核心，自然的，直线的倾斜程度也就成为了所有直线问题的核心概念。而“直线的斜率”由于它没有不可或缺性，虽然是非常重要的概念，但不是概念的核心，更不是核心概念。

2.概念的核心与数学思想方法

从前面的叙述中可以看到，概念核心的析出是一个艰难的解构、分析、比较、概括的过程，在这个过程中有大量的数学思维，必然牵涉到数学思想方法。并且后续的教学确定怎样的概念的核心就会有怎样的数学思想方法。

在“直线与方程”一章不少人认为，其概念的核心是“斜率”，那么后续的教学涉及的就主要是把几何要素转化为代数运算的解析法思想；而认为其概念的核心是“直线的倾斜程度”的话，那么后续的教学还可以由向量法为主导，不仅可以让“斜率”得到本质的解构，而且为“直线与方程”的教学打开更广阔的视野。

3.概念的核心在概念教学中的作用

首先在一节课中找到了概念的核心，也就解决了“这一节课你的教学究竟要干什么”的方向性问题，在概念的核心的引导下，我们可以反思、完善对本节课的概念的解构，匹配相应的数学思想方法，概念教学的主构架随之完成。

再则，如果我们的概念教学是概念的核心的引导下的概念的解构，我们的学生学到的知识就不再是支离破碎的概念，而是反映知识内容的内在联系和数学思想方法的，点点成线的知识串、线线成面的知识面。有了这样的数学知识就为学生对具体问题的数学思维奠定了坚实的基础。

诚如章建跃先生所言：从已有研究看，对概念的“解构”和概念核心的确定、内容所反映的思想方法的确定等，是影响教学设计和课堂教学的“瓶颈”。

从我们的实践来看，这个“瓶颈”的“瓶颈”是对概念的“解构”，有了好的概念 “解构”才有概念核心的确定；有了好的概念 “解构”才有核心概念的确定；有了好的概念 “解构”才有内容所反映的思想方法的确定。好的概念“解构”是难的。但它应该是对高中数学教师专业的职业要求，也是学生进行有效数学学习和培养创新精神的保证，值得我们一起为之努力。

[1] （美）丹尼尔·平克《全新思维》北京师范大学出版社 2006年6月

[2] （美）托马斯·弗里德曼《世界是平的》湖南科学技术出版社2006年9月

[3] M·克莱因《数学:确定性的丧失》湖南科学技术出版社2001年7月

[4] 章建跃 《中学数学核心概念结构体系及教学设计研究与实践》课题中期研究报告

[5] 王石称拐点论仅限珠三角 http://www.sina.com.cn 2007年12月20日 02:31 第一财经日报

[6] 怎把春天当作秋？ 新惠的BLOG http://blog.sina.com.cn/s/blog_449ea81e010087s0.html