魔道祖师香炉3和谐部分:让我们一起读经典《怎样解题》波利亚

让我们一起读经典《怎样解题》波利亚

波利亚教我们怎样解题
（北京师范大学数学系） 王敬庚　　

    每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”

　  美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。

　  波利亚1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。

    波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。

    波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

    波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？......”

    波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。

    波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是非常需要的和有益的。

    波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、研究和讲授”的书取名为《数学的发现》，我想大概就是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数—棱数+面数=2）的全过程，生动地再现了欧拉如何一步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题能力，而且要学习和培养创新能力。

参考资料

1.波利亚著《怎样解题》（阎育苏译）。北京：科学出版社，1982年。
2.波利亚著《数学的发现》第一卷，欧阳绛译，北京：科学出版社，1982年。第二卷，刘远图等译，北京：科学出版社，1987年。
3.波利亚著《数学与猜想》（第一卷，李心灿等译，第二卷，李克尧等译）北京：科学出版社1984年。　
摘自中学数学

波利亚的数学怎样解题表

第一，你必须弄清问题

未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
画张图，引入适当的符号．
把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

拟定计划

第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．
你应该最终得出一个求解的计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．
你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?
你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?
回到定义去．
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?

    实现计划

第三，实行你的计划

实现你的求解计划，检验每一步骤．
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

    回 顾

第四，验算所得到的解．

你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?
你能不能把这一结果或方法用于其他的问题

怎样解题 
 
作    者  G·波利亚著 涂泓 冯承天译
出 版 社  上海科技教育出版社
书    号  5428-2855-X
责任编辑 匡志强 何妙福  开本 32
出版时间 2002年6月 字数 千字
装    帧平装印张 0
带    盘否  页数 257
定    价 ￥16.0 　   

怎样解题 内容提要
 
    本书是国际著名数学家、数学家波利亚论述中学数学教学法的普及名著，对数学教育产生了深刻的影响。波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。本书是他专门研究解题的思维过程后的结晶。全书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。作者在书中引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。书中还有一部“探索法小词典”，对解题过程中典型有用的智力活动做进一步解释。本书从1945年出版后畅销不衰，多次重印、再版，并被译成多种文字，20世纪80年代初，曾在中国的数学教育界引起极大反响。 

 
怎样解题
图书目录全文
 
第一篇在教室里
目的
1. 帮助学生1
2. 问题，建议，思维活动1
3. 普遍性2
4. 常识3
5. 教师和学生，模仿和实践3
主要部分，主要问题
6. 四个阶段5
7. 理解题目6
8. 例子7
9. 拟订方案8
10. 例子10
11. 执行方案13
12. 例子14
13. 回顾15
14. 例子16
15. 不同的方法20
16. 教师提问的方法21
17. 好问题与坏问题22
更多例子
18. 一道作图题23
19. 一道证明题26
20. 一道速率题30

第二篇怎样解题
一段对话35

第三篇探索法小词典
类比39
辅助元素48
辅助题目52
博尔扎诺59
出色的念头59
你能检验这个结果吗？60
你能以不同的方式推导这个结果吗？62
你能应用这个结果吗？66
执行69
条件73
矛盾74
推论74
你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?74
你能重新叙述这道题目吗?76
分解和重组77
定义87
笛卡儿94
决心、希望、成功94
诊断96
你用到所有的已知数据了吗?96
你知道一道与它有关的题目吗？99
画一张图100
检验你的猜想100
图形105
普遍化109
你以前见过它吗？111
这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过112
探索法113
探索式论证114
如果你不能解所提的题目115
归纳与数学归纳115
创造者悖论123
条件有可能满足吗？123
莱布尼茨124
引理124
观察未知量125
现代探索法131
符号135
帕普斯142
拘泥与变通149
实际题目150
求解题、证明题155
进展与成绩157
谜语161
归谬法与间接证明163
多余172
常规题目172
发现的规则173
格式的规则174
教学的规则174
将条件的不同部分分开174
建立方程175
进展的标志179
特殊化192
潜意识活动199
对称性201
新旧术语202
量纲检验204
未来的数学家207
聪明的解题者208
聪明的读者209
传统的数学教授210
变化题目211
未知量是什么?216
为什么证明？217
谚语的智慧224
倒着干227

第四篇题目、提示、解答
题目236
提示240
解答244

注释256
 

丛书名或多卷本图书名： 普林斯顿科学文库

丛书介绍:
    自1922年爱因斯坦《相对论的意义》问世以来，普林斯顿大学出版社一直致力于将爱因斯坦、外尔这样顶尖科学家精心撰写的经典科学读物推介给广大读者。享誉世界的“普林斯顿科学文库”正是这种努力的结晶。文库所辑之作，历时弥久而光彩愈彰。