魔兽世界军团入侵小号:二、相邻自然数乘积的个位数字
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/28 01:47:46
二、相邻自然数乘积的个位数字
由于仅考虑个位数字,相邻的自然数之积1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20,5×6=30,6×7=42,7×8=56,8×9=72,9×10=90,10×11=110的个位数字只可能是0,2,6三种。
因此,若一个自然数的个位数字不是0,2,6,那么,这个自然数不可能是两个相邻自然数的乘积。
例5 是否存在自然数n,使得n2+n+7是35的倍数?
分析与解:分别取n=1,2,3,4,5,依次得到n2+n+7的值为9,13,19,27,37,显然它们都不是35的倍数。但是这样一个个试下去,即使试到n=100,n2+n+7都不是35的倍数,也不能说不存在自然数n,使得n2+n+7为35的倍数。因为自然数有无穷多个,不可能每个都试到。
注意到n2+n=n×(n+1)是两个相邻自然数的乘积,n2+n=n×(n+1)的个位数字只可能是0,2,6,所以n2+n+7的个位数字只可能是7,9,3。
由于个位数字是7,9,3的自然数不可能是5的倍数,当然更不可能是35的倍数。
例6 不论n是怎么样的自然数,3×(5n+1)都不可能是两个连续自然数的乘积。
解:由于5的任何次方的个位数字总是5,5n+1的个位数字为6,3×(5n+1)的个位数字是8。
而相邻的两个自然数的乘积的个位数字只能是0,2,6。
故3×(5n+1)不可能是两个连续自然数的乘积。
例7 若n!+4是两个相邻自然数的乘积,你能找出所有这种自然数n吗?
分析:要想成为两个相邻自然数的乘积,至少其个位数字应为0,2,6之一。
我们已经知道5!=120,个位数字为0,当n大于5时,n!的个位数字都是0,此时n!+4的个位数字为4,故这时n!+4不可能是相邻自然数的乘积。
于是只要对n≤4的自然数分别讨论n!+4即可。
当n=1时,11+4=5;
当n=2时,2!+4=6;
当n=3时,3!+4=10;
当n=4时,4!+4=28。
由于10,28都无法表为两个相邻自然数的乘积。
而6=2×3,所以,只有当n=2时,n!+4是两个相邻自然数的乘积。