阎德华:如何阅读数学

Shai Simonson and Fernando Gouvea

未经训练的人是无法读懂和理解数学的。

      阅读是讲究方法的。欣赏诗歌的方法和小说的不同，小说的和纪实文学的方法又有不同。看小说时去深究主人公到底为何是身体黝黑金发飘飘是没什么必要的，但是阅读纪实文学时对事实真相不去究根问底就不对了。同样，欣赏美术和音乐也需要相应的方法。事实上，文学、音乐和美术课的入门部分把大多数笔墨都花在了传授相应的方法上。

      数学也有自己的阅读方法。和我们需要学习如何阅读文学一样，我们也要学习如何阅读数学。学习阅读数学的方法所需的功夫，不比学习阅读小说和诗歌、欣赏音乐和绘画要少。Ed Rothsteins的《Emblems of Mind》是一本关于数学和音乐的关系的非常棒的书。它从侧面阐述了阅读数学的方法。

      当我们阅读一本小说时，我们关注它的情节和人物。我们关注各条故事线的发展和人物的变化。这些人物在我们的脑海中栩栩如生，有的惹人喜爱，有的让人憎恶。我们不会拘泥于单个的词句，而是将它们想象成画布上的线条。即使有一个词不认识也没关系，我们总能把握大体的意思。我们很少停下来字斟句酌，而是随波逐流一直读到最后。这样的阅读让人放松，给你思考的空间。

      小说家们常常用精心准备的逸闻趣事来描写自己的角色，而不是给他们冠以各种形容词。他们先刻画人物的一个侧面，然后是另一个，然后再用不同的手法回到第一个，如此反复，逐渐的将整个故事展开。这是一种将无法准确说明的复杂事物表达出来的好方法。

      数学概念天生就是精确而完备的，因此他们的定义总是简洁而准确。数学论文和小说都在讲故事，只是数学论文中很少用到小说中的正常的语言词汇而已。小说的美来源于优雅的文字和洗练的笔法。数学论文的美则来自于用简洁有效的方法来描述非常复杂的概念。

人们在阅读数学时会烦哪些常见的错误？应该如何纠正？

不要只见树木不见森林

数学阅读不是线性的...理解文意需要查阅引用、精读、思考和反复

      不要以为理解了每一句话就能通读全文。这就好像把鼻子尖凑到跟前一点点的欣赏一幅画一样，你能看到细节、纹理和颜色，但却无法欣赏这幅画。每篇数学论文都讲了一个故事。你应该在深究细节之前先了解故事的梗概。在有了一个整体的概念之后你就可以看得更仔细些了，这就好像重读一本小说一样。

不要做一个被动的读者

一条只需三行就能证明的定理也许意味着经年累月的努力，要读懂它就必须像作者一样思考。

      在例子中探索模式，尝试特殊情况。

      一篇数学论文通常只是在一部长篇小说的一小部分。在这个故事里，作者花费了数月的时间探索未知的小径，发现了一些东西。最后，他把他的所有动机、犯过的所有错误以及最后的结论简洁的总结成了这篇文章。真正理解作者原意的方法就是在脑中重建作者没有写出的那部分故事，从字里行间读出东西来。

      数学总是言简意赅，惜墨如金。而读者必须置身于其中。每时每刻，他都应该自省是否读懂了文章的观点。问问自己这些问题：

      不去考虑这些问题就好像心不在焉的看小说。发呆了一会儿之后你会突然发现虽然你已经翻了很多页，但却完全想不起你看了什么。

不要读得太快

      想要快快的阅读数学只会让你沮丧。根据小说的不同和读者的能力，一般人看小说半个小时能读上20-60页。但视你的能力和文章的深度而异，半个小时你能看懂的数学公式也许只有不到十行。努力和时间是无价的。你可以通过练习来提高数学阅读的技巧和速度，但要小心。和学习任何技巧一样，高歌猛进也会让你疲惫不堪，就好像让两年没锻炼的你突然做一个小时的高强度有氧运动一样。你也许能撑过第一节课，但你肯定不想再来了。看到有经验的同伴轻松的完成了两倍于你的训练量，而你第二天却会因为酸痛而哀嚎一整天，这样的挫折感是很难以承受的。

      例如，考虑 Levi Ben Gershons 在1321年的手稿《Maaseh Hoshev（计算的艺术）》中给出的如下定理：

将从1开始的奇数个连续整数相加的结果等于这一串数字的中数与尾数之积。

      现代数学家很自然的会将这个结论写成：

消化作者的思想

      理解文意的最好办法就是把作者的思想消化掉。这需要你回到最初的线索，然后自己独立推导出相同的结论。数学家们常说，要理解一个问题，先要读懂它，然后把它用自己的话写出来，最后还要能把它教给别人。每个人思考复杂问题的方式和水平都有不同，你需要用自己的语言和经验来解释这个问题。

“当我使用这个词时，它的意思就是我赋予它的意思” （Humpty Dumpty 对爱丽丝说道，引自 Carroll Lewis 的《爱丽丝镜中奇遇记》）

“意义”从来都不是透明的，因为每一个单词或符号都是概念和典故浓缩而成的。

      严谨的数学文字只会认真的使用那些没有歧义的词汇来区别不同的东西，例如组合与排列。严格的数学定义会说，“黄色的疯狗”和“疯狂的黄狗”的词语排列是不同的，但组合是相同的。大多数讲英语的人不会同意这一点。这种极端的严谨对于以使用排比对仗反复等修辞手法为荣的诗歌和小说的创作是无法想象的。

读者应该知道，绝对值并不是什么无法改变的数值，而函数也和任何实用性无关。

      一个特别有名的例子是“容易得到”或是类似的话。它的实际意思是：

      任何人都可以通过一定的机械和复杂的计算验证以下陈述的正确性。作为作者，我虽然可以完成这些，但这会耗费大量的纸张却没有什么帮助，因为您自己通过演算来理解其中的逻辑是最好不过的了。我保证，这其中不会用到什么新的结论。当然，思考与正确地把好点子组合起来是找到答案的必由之路。

      换句话说，这种话一般意味着这里的结论背后的推导虽然枯燥甚至困难，但并没有包含什么新意。这样读者就可以根据自己的水平来决定他（她）是钻进细节还是接受作者的保证：“好吧，我相信你”。

      关于这种话能否用在在特定的场合或是作者是否正确的使用了它，无论你的意见如何你都应该理解它的本意。“容易得到”并不意味着

如果这都看不出来，那你就是个蠢货。

      它也不意味着

两分钟之内你就应该能弄懂。

      但不熟悉这种暗语的人可能会误解这句话，然后非常沮丧。某个问题对于一个人来说可能是枯燥无味的，但对于另一个人来说则可能很有挑战性。但这种问题和“容易得到”这种话无关。因此文章的作者在使用这种话时需要考虑到他的读者。

认识你自己

      文章的写作都是有目标受众的。开始阅读之前请确认您就是文字的目标读者，或是原意学习以成为一个合格的读者。

T.S.Eliot 的《给 Simeon 的一首歌》：

Lord, the Roman hyacinths are blooming in bowls and
The winter sun creeps by the snow hills; 
The stubborn season has made stand. 
My life is light, waiting for the death wind, 
Like a feather on the back of my hand. 
Dust in sunlight and memory in corners 
Wait for the wind that chills towards the dead land.

      比如，Eliot 的这首诗至少假设了它的读者知道 Simeon 是谁，即使不知道也愿意去了解这个人。它还假定其读者有一定的欣赏诗歌的能力，或者即使没有也愿意去学习并得到这种能力。它假定读者能够读懂或者会去研究它的典故。这不仅包括 Simeon 是谁这样的信息，还比如，为什么风信子是“罗马的”？这很重要么？

      Eliot 假设读者会慢慢的读这首诗并勾勒出这样一幅画面：他把尘土与回忆放在一旁，将老去想象成寒冬，把等待死亡比作手背上的一根羽毛。他假设读者能够认得出这是一首诗，假设读者熟悉诗歌的形式。读者应该知道隔行押韵，但临行不会，等等。

      最重要的是，他假定读者不光会用心，还会用感情和想象来读这首诗，在画面中召唤出这位老人，对生命已经感到疲惫，但仍在坚持等待着某个重要的事件的发生。

数学书也一样会对读者做一些假设：读者应该了解某些知识，达到了某个“等级”什么的。在开始阅读之前，最好确认你已经拥有了作者所期望你了解的知识。

数学写作的一个范例

      为了实践我刚才提到过的准则，我附上了关于“生日悖论”的一段文字。文章的第一部分用简练的数学语言描述并解决了这个问题。第二部分则从读者的角度想象如何用正确的方式来尝试读懂这篇文章。这篇文章主要和概率论有关，只要愿意思考，对读者背景没有任何要求。

生日悖论

      一位教授和班上30名普通学生们打赌说这个班上至少有两个人是在同一天生的（月日相同，年不一定）。你敢和教授打这个赌么？如果班上的人更少一些呢？你还愿意打这个赌么？

假设 n 个人的生日均匀的分布在一年的365天之中（简单起见不考虑闰年）。可以证明，至少有两个人在同一天出生的概率是：

      那么一个房间里的30个普通人，其中至少有两人在同月同日出生的几率是多大呢？对于 n = 30，答案是大约 71％。这意味着在任意一个30人的班级之中，赌100次的话教授能赢71次。而如果班上只有23个人，教授赢的几率大概是50%。

证明：设P(n)两个人同月同日生的概率。设Q(n) = 1 - P(n)，也就是没有任何人是在同月同日生的概率。现在我们就可以用 n 个生日不重合的组合方式除以所有可能的生日组合方式计算出 Q(n)，然后就可以得到 P(n) 了。

不重复的 n 种生日组合方式总共有：

365 x 364 x 363 x ... x (365 - n + 1)

这是因为第一个生日有365种选择，而第二个生日只有364种了，一次类推到第 n 个生日。而在没有限制的情况下 n 个生日的组合即是 365^n 因为每个生日都有365种选择。因此，Q(n) 即为：

用 P(n) = 1 - Q(n) 就可以得到结果了。

从读者的角度理解生日悖论

      在这一节中，一位新手想要看懂刚才的几段话。R 部分是读者的想法，P 部分是专家对读者部分的评论。文中被居中并加黑了的文字是正确的阅读方法。

      我的读者可能看起来上手挺快的。但实际上，每一段读者的话都意味着长时间的思考，而且我已经略去了读者尝试死胡同的部分。要和这位读者感同身受不是只要读过他（她）的评论这么简单的事情。你在试图理解这个问题时可以把他（她）的话作为思路。