铝螺纹拧紧力矩:数列课堂实录（简版）

数列课堂实录（简版）

山东省实验中学    潘洪艳    2011年7月15日 11:04

大家还记不记得必修1上有这么一个故事：一个叫杰米的百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍.  杰米说：真的？你说话算术！合同生效了，第一天杰米支出1分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元，到了第十天，杰米共支出10元2角3分，收入100万元，到了第二十天，杰米共支出1048575元（1万多），收入200万元，杰米想要是合同定两个月，三个月该多好啊！可从第21天开始，情况发生了变化：第21天杰米支出1万多，收入10万元. 到第28天，杰米支出134万多，收入10万元，结果杰米在31天得到310万元的同时，共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元，杰米破产了！——杰米碰到了“指数爆炸”

有哪位同学能够讲讲类似的故事？让我们先从一个流传得很广的故事说起吧：——国际象棋棋盘是正方形，共64个格子，传说在很久以前，古印度国王舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙后，决定要重赏发明者宰相西萨·班·达依尔。让他随意选择奖品，于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前。计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！

18,446,744,073,709,551,615粒

拿我们这个世界上小麦第一大生产国来说，现年产量约9000万吨，为方便起见，不妨就按年产量一亿吨计算，需7300多年。

为什么杰米会破产，印度国王会一筹莫展呢？很显然的原因：没有学好数学，尤其没有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一章——《数列》

问题1：什么是数列？

①100 000，100 000，100 000，100 000，...,10 000

②1，2，4，8，...,

为了方便大家的理解，我们再进行几项活动：

在平面上画一条直线把平面分为2部分，画2条直线，最多把平面分成4部分；画3条直线，最多把平面分为7部分，继续画下去，平面最多被分成的部分可得到一列数：

③2，4，7，11，…

④从1984年到2004年我国体育健儿参加6次按奥运会获得的金牌数：15，5，16，16，28，32.

⑤场地上堆放了一批钢管，从下往上数有4，5，6，7，8，9，10

⑥场地上堆放了一批钢管，从上往下数有10，9，8，7，6，5，4.

⑦写出精确到1，0.1，0.01，0.001,…的不足近似值排成一列数：3，3.1，3.14，3.141，…

以上7列数有些什么特征？

生1：有一定的规律

师：有无不同意见？是有一定规律，这些规律具体的应该怎么说？

生：次序！

师：非常好！大家概况出上述例子的共同特点：是一列数、有一定次序。

按照一定的次序排列起来的一列数叫数列.请同学们每一个人据一个数列的例子，写在草稿纸上.

（再说数列中的数不方便，于是我们把）数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（首项），第2项，第3项，…（总之，这一项拍在数列中第几位就叫做数列的第几项）

问题2 数列⑤和⑥是否为同一个数列？（特别是刚才有同学说数列是有一定规律的数的集合）因为什么不一样？——次序！只有项和次序完全相同的数列才是同一数列.这说明数列和数集的不同：数列中的数有序，而数集中的数无序；数列中的数可以相同，而集合数的数具备互异性.

数列的一般形式可写成：其中是数列中的第项，叫做数列的通项，我们常把一般形式的数列记作与一样吗？（由于是任意正整数，也代表的任意项，具有任意性.）根据对的理解，观察数列

问题3  数列的项与序号之间有无对应关系？这说明了什么？

这个问题同学们请讨论一下，再回答.

每一项的序号对应着一个项，以前我们学过的哪个知识也存在着这种对应——函数，即序号集合到另一个数集的映射.从映射、函数观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或他的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.

(数列是函数，其定义域是什么？)

用函数的观点看数列，其内容会更加丰富多彩，回忆：我们研究了函数的哪些内容？——函数的定义及性质，而后学习了几个特殊的函数，以及函数的应用，数列也是这样：在掌握了数列的概念之后，我们会去研究两个特殊数列，而后应用所学习的数列知识解决问题

好，我们现在知道了什么是数列，那

问题4类比函数的表示方法，你认为数列常见的表示方法有哪些？（思考、讨论、回答）

1.       列表法（有时也称为列举法）：函数是两行，数列一行即可. 前面的数列，数列的一般形式给出的都是列举法.

2.       图象法：

问题5：数列的图象是什么样子？函数是构成的集合，那数列呢？——由于数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数，因此，它的图象是相应的曲线或直线上的横坐标为正整数的一群孤立的点.

画一下数列5

3.         解析法：今天我们先研究解析法中的一种：如果数列的第项与之间的关系可以用一个函数式来表示，这个公式也就是相应的函数的解析式，我们把它叫做这个数列的通项公式. 不过通项公式是解析法表示数列中的一种，下节课我们还要学习其他的解析法。

好，大家来想一下，我们在研究函数的时候，函数的很多性质常常是通过解析式来研究，那么数列的很多问题自然是通过通项公式来研究，也就是说通项公式在数列中有着非常重要的作用，下面我们来看一下通项公式的两种题型：

例1 根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：

已知通项公式，可求数列中的任一项，也可以判断某一个数是否是数列中的项，是的话是第几项？数列（2）中项的符号正负相间，是谁起了作用？

生：-1的n次方。

师：-1的n次方有调节符号的功能.

好，以上我们已知通项公式给数列问题的求解带来很大方便，那么反过来，如何写出数列的一个通项公式，使其前几项刚好是给出的数呢？

例2   写出下列数列的一个通项公式，数列的前五项分别是下列各数：

（1）1，2,3,4,5；

（2）1,3,5,7,9；

（3）1,4,9,16,25；

（4）1,2,4,8,16；

（5）  -1,1，-1,1，-1； 数列的通项公式，通项公式不唯一

（6）9,99,999,9999,99999...

分析：通项公式是项与序号的关系式，因此要写出通项公式我们得观察每一项与序号的关系，这种方法就是观察法.（课件）以上是基本数列，大家一定要熟知，因为只有知道了他们，我们才能写出较复杂的数列的通项公式，比如：

（7）-2,6,-12,20,-30...

有时需要变形，再找项与序号的关系.项为分数时，往往观察项的三个特征：符号特征；分子的独立特征，分母的独立特征，有的题还要借助分子和分母之间的关系

练习：课前7个数列，注意到：数列的项是有限个还是无限个；和函数一样，并非所有数列都有通项公式.

回顾例2，以及同学们的回答，反省总结一下：已知数列的前几项，用观察法写出数列的一个通项公式应该怎样思考：概括一下主要有2个方面：1.要注意观察数列中项与序号的关系；2.要注意观察数列中项的几大特征如：符号特征；相邻项之间的关系；分子分母的独立特征以及相互关系，然后在此基础上化归一下，联想一下转化为我们已知的，熟悉的数列，我们把这种方法叫做观察法。

现在请同学们回顾一下整节课，我请一位同学做一下总结陈词，这节课我们学了哪些知识，系统一下：谁愿意？再不说可就没机会了

知识上：数列的定义、表示方法