铁匠铺打铁视频:高中代数-数列

名称   定义   通 项 公 式   前n项的和公式   其它   数列   按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为{an}   如果一个数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式   　   　   等差数列       等比数列       数列前n项和与通项的关系：    无穷等比数列所有项的和：   数学归纳法   适用范围   证明步骤   注 意 事 项   只适用于证明与自然数n有关的数学命题   设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)当n取第一个值n0(例如：n=1或n=2)时，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P(n)对于一切自然数n都成立。   （1）第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一不可
（2）第二步的证明过程中必须使用归纳假设。
构造等差数列解三角题
在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项   的特征，构造相应的等差数列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。
一、利用两个函数的和为定值构造数列
例1. 已知 ，则_____________________。
解：
设知
解得
所以 ，，求证
构造数列 
设 ，则

所以
所以 ____________________。
解：
设
所以
所以 
所以
由及知
故
所以
所以

例4. 在△ABC中， ，求
化简，得
由
所以的最小值。
解：设
构造数列
则
即
由 
因为当 、
当时，的最大值。
解：设
所以，
所以 为最大、、 、 

数列求和
一. 教学内容：数列求和
二. 重点、难点：
1. 公式法
2. 裂项相加
3. 裂项相消
4. 错位相减
【典型例题
[例1] 解：（1），< style= >或1，（2）∴
[例2] 解：迭加， 证：
迭加
∴
∴ 另：
[例3] 解：

[例4]，求。
解：
[例5] 解：∴
[例6] 若数列解：当∴ 当∴ 当
∴ 当且
∴
[例7] 设正数数列。
（1）求证：，记数列解：（1）∵ ∴②
①－②得
整理得∵ ∴ ∴ 又
（2）∵ ∴
[例8] 求和：解：当
当
[例9] 数列等于（ ）
A.C.D. 解：由得
[例10] 某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元。问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
解：设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则


所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。
[例11] 一座大楼共n层，现每层指定一人步行到设在第k层的会议室开会（设每层楼梯长都相等）。问：如何确定会议室所在的楼层k，才能使n个与会人员上或下所走的楼梯总长最短？
解：设相邻两层之间的楼梯长为；从第k 1层、…、第n层的人所走的楼梯长依次为


∵ k为整数 ∴ 当n为奇数时，k取层；当n为偶数时，k取或，即会议室应设在第或层。
【模拟试题
1. 已知数列。若数列应满足的条件为（ ）
A.B.C.D.
2. 在正项等比数列，则的值为（ ）
A. 28 B. 32 C. 35 D. 49
3. 等比数列（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D.
4. 等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A. A B=C B. C.
5. 在等差数列，A.B. 6. 等差数列A.B.C.
7. 在等差数列是方程A. 15 B. 30 C. 50 D.
8. 在等差数列，A. 810 B. 840 C. 870 D. 900
9. 已知数列，…它的前n项的积小于A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
10. 已知数列，则，直角三角形，记
12. 正奇数集合{1，3，5，…}，现在由小到大按第n组有{1} {3，5，7} {9，11，13，15，17}，…
（第一组） （第二组） （第三组）
则2005位于第 组中。
13. 在等差数列，。
14. 某地区荒山2200亩，从2005年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩。（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，求该山木材总量。（精确到1立方米，参考数据：，）

【试题答案】
1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A
8. B 9. A 10. 765 11.
12. 解：正奇数
解得所以2005位于第32组
13. 解：∵ ∴ ∴
14. 解：（1）由题意可知，各年植树亩数为100，150，200，……构成等差数列
设植树n年可将荒山全部绿化，则或（舍去）
所以，到2012年可将荒山全部绿化
（2）2005年所植树，春季木材量为2006年所植树到2012年底木材量为。……
2012年所植树到年底木材量为，则到2012年底木材总量为
上式乘以1.2，得两式相减，得所以，全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S=9060立方米
数列通项的计算
一. 教学内容：数列通项的计算
二. 重点、难点：
1. 直接分析法
2. 公式法
3. 由，求

4. 由递推关系，求（1）（2）（3）
【典型例题
[例1] 写出下面数列的一个通项公式
（1）0.4，0.44，0.444，……
（2），，，……
（3），，（4）2，3，2，1，2，3，2，1，……
解：（1）（2）
（3）（4）
[例2] 由，求（1）（2）（3）
解：（1）
（2）
（3）
[例3]。
解：

迭加：∴
[例4] 数列，，。
解：


相乘

∴
∴
[例5] 数列，求解：变形∴
∴
[例6]，，求解：∴

相减∴ ∴ ∴
[例7]，求解：令，


相减∴
[例8] 数列满足。
解：
∴
∴ ∴ ∴ ∴
∴
[例9] 数列，解：由数列
∴，整理为又为等比数列
∴的通项公式
∴
[例10] 已知函数满足（1）求数列是递减数列
解：（1）
即解得
（2）证明：



所以数列
[例11] 已知数列的通项公式。
解：当n为正偶数时，

此时为正奇数，则

∴
当n为正奇数此时为正偶数，则

∴
而当n=1时，由已知得故数列
【模拟试题
1.
上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）
A.
C.
2. 设数列，则A. 第六项 B. 第七项 C. 第八项 D. 第九项
3. 数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式为（ ）
A.B. C.
4. 数列A. 107 B. 108 C. 5. 下面对数列的理解有四种：
① 数列可以看成一个定义在上的函数；
② 数列的项数是无限的；
③ 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
④ 数列的通项公式是唯一的。
其中说法正确的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④
6. 数列7，77，777，7777，77777，……的通项公式为 。
7. 数列，那么150是其第 项。
8. 某细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（一个分裂为两个），若开始只有这种细菌一个，设，第一次分裂后的细菌数目为，第n－1次分裂后细菌数目为A.B.
9. 在等比数列是递增数列，则公比q满足（ ）
A.D. 10. 若A. 1或2 B. 1或C.或2
11. 已知等差数列等于（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12.生物学中指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%?D20%的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若使H6获得10kJ的能量，则需要H1最多提供的能量是（ ）
A.B.C.D.
13. 数列，则。
14. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则
15. 已知数列1，3，6……的各项是由一个等比数列的对应项相加而得到，其中等差数列的首项为0。（1）求的通项公式；（2）求这个数列的前n项和。
16. 已知数列，，当满足。
（1）求；（2）求证：当。
17. （05年天津卷，文18）若公比为c的等比数列（1）求c的值；（2）求数列

【试题答案】
1. C 2. B 3. C 4. B 5. C
6.7. 16 8. A 9. C
10. D 11. C 12. C 13.14. 1
15. 解：（1）设数列1，3，6，…为，其中为等差数列，、数列∴
解得
（2）
16. 解：（1）（2）证：

∴ 当（3）证：易算出当，则为首项，公差为由，解出因此，满足或17. 解：（1）由题设，当则
由已知条件易知，解得或
（2）当时，数列，这时，数列当时，数列的等比数列，即的前n项和①式－①式，得

所以
等差、等比数列的综合应用
一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用
二、教学目标：
综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
三、知识要点：
（一）等差数列
1. 等差数列的前项和公式1：
2. 等差数列的前项和公式2：
3.（m， n， p， q ∈N ）
5. 对等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
（1）利用>0，d<0，前n项和有最大值，可由≤0，求得n的值。
当≤0，且二次函数配方法求得最值时n的值。
（二）等比数列
1、等比数列的前n项和公式：
∴当① 或②
当q=1时，时，用公式②
2、是等比数列不是等比数列
②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列
3、等比数列的性质：若m n=p k，则
【典型例题
例1. 在等差数列{＋＋＋。
解：由等差中项公式：＋，＝2＋＋＝450，＋＝180
＋＋＋＋
＝（＋＋）＋（）＋＝9为项的和。
解：（用错项相消法）
①
①-②时，

当时，例3. 设数列项之和为，若，问：数列，
∴
即：，∴，
∴即：
例4. 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项中数值最大的项为54，求此数列。
解：由题意 
代入（1），，从而
∴项中数值最大的项应为第项
∴∴
∴
∴此数列为
例5. 求集合M={m|m=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素个数及这些元素的和。
，又∵n∈N*
∴满足不等式n＜==900
答案：集合M中一共有30个元素，其和为900。
【模拟试题
1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.<0的最小的n值是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有 （ ）
A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项
6. 数列并且。则数列的第100项为（ ）
A.C. 7. 在等差数列{＝－15，公差d＝3，求数列{的元素个数，并求这些元素的和。
9. 设
（1）问数列是否是等差数列？（2）求＝＋3d，∴ －15＝＋9，＝－24，
∴＝－24n＋＝[（n－－|最小时，最小，
即当n＝8或n＝9时，＝－108最小
解法2：由已知解得＝－24，d＝3，≤0得n≤9且＝得共有14个即的集合
∴
又因为
数列的基本概念与等差数列
一. 教学内容：数列的基本概念与等差数列
二. 教学目标：
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项。
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
4. 明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。
5. 熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。
6. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题。
三. 本周知识要点：
4，5，6，7，8，9，10． ①
1，，，，，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
－1，1，－1，1，－1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？
（一）数列的基本概念
1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…。
3. 数列的一般形式：，其中的第n项注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…，它的通项公式可以是
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项。
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点。

5. 数列的图像都是一群孤立的点。
6. 数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法。
7. 有穷数列：项数有限的数列。例如，数列①是有穷数列。
8. 无穷数列：项数无限的数列。
（二）等差数列
1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{－，则此数列是等差数列，d 为公差。
2. 等差数列的通项公式：
3. 等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做 a与b的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，4. 性质：在等差数列中，若m n=p q，则，（m， n， p， q ∈N ）
但通常 ①由推不出m n=p q ，②
5. 等差数列的前项和公式 （1）（2）
公式二又可化成式子：若。
【典型例题
例1. 根据下面数列
解：（1）
例2. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
（2），－.
解：
（1）项1=2×1－1 3=2×2－1 5=2×3－1 7=2×4－1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，
∴它的一个通项公式是： （2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1 1 3=2 1 4=3 1 5=4 1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是：
这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： 例3. ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项？如果是，是第几项？

n=20，得⑵由得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即－401是这个数列的第100项。
例4. 在等差数列，求，，
解法一：∵，∴解法二：∵ ∴
小结：第二通项公式 【模拟试题】
1、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3， 5， 9， 17， 33，……；
（2），}中，（1）已知=19，求与d；（2）已知=3，求。
4、在等差数列，中， 若＝2n＋1；
（2）＝；
（4）将数列变形为1＋0， 2＋1， 3＋0， 4＋1， 5＋0， 6＋1， 7＋0， 8＋1， ……，
∴＝（－1）n（n＋1）
2、（1）解：根据题意可知：=3，d=7－3=4
∴该数列的通项公式为：=4n－1（n≥1，n∈N*）
∴=10 （n－1）×（－2），即：<1" style='width:14.25pt; >=－2n 12，
∴=－2×20 12=－28.
（3）解：根据题意可得：<3" >=2，d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：=－<8" >n <9" >，
令－n=－20，解得n=
因为－n=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项。
3、解：（1）由题意得：解之得：
（2）解法一：由题意可得：， 解之得
∴该数列的通项公式为：=3d，∴=3 3×（－1）=0.
4、解：由题意可知
解之得，即这个数列的首项是－2，公差是3。
或由题意可得：，即：31=10 7d
可求得d=3，再由
数列、等差数列
一. 教学内容：
2.1 数列
2.2 等差数列
二. 教学目的：
1. 了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式。
2. 类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类。
3. 掌握等差数列的概念、等差中项的概念，会根据定义判定数列是否是等差数列。
4. 掌握等差数列的通项公式及推导方法，会类比直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质，能熟练运用通项公式求有关的量：a1，d，n，an。
5. 掌握等差数列的前n项和公式及推导方法．当al，d，n，an，Sn中已知三个量时，能熟练运用通项公式、前n项和公式求另两个量。灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题。能构建等差数列模型解决实际问题。
三. 教学重点、难点：
重点：数列的概念、数列的通项公式；等差数列的通项公式和前n项和公式。
难点：等差数列的通项公式和前n项和公式的推导以及它们的综合运用。
四. 知识分析：
（一）数列
1. 数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫数列，数列中每一个数叫这个数列的项，第n项记作an，叫做数列的通项，我们常把一般形式的数列简记作{an}。
2. 数列是特殊函数
数列可以看成以正整数集N＋（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数。an=f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时，所对应的一列函数值。
3. 通项公式：如果数列{an}的第n项与项数n之间的函数关系，可以用一个公式an=f(n)来表示，那么就把这个公式叫这个数列的通项公式。
通项公式可以看成数列的函数解析式。
4. 数列的分类：
（1）按项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列；
（2）按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
5. 前面学习过数集，如果把数集中的元素按一定顺序排成一列，就是数列。但数列和数集有较大区别：数集中的元素是无序的，也是互异的；而数列中的元素却是有序的，而且是可以重复出现的。
6. 根据所给出的数列的前几项，写出符合要求的一个通项公式，主要方法是：
①要观察给出的若干数中的“不变”的内容，注意研究an与n的关系。
②多角度思考，全方位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，化为基本数列或特殊数列，常用技巧是：分解条件，寻找规律。
7. 如何利用数列与函数的关系来解题？
一方面，数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。如由数列是定义在N*和它的子集{1，2，3，…，n}的函数可知an是n的函数，即an=f(n)。因此当{an}通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式或某个记号代替后，则两端的所有的“n”必须用同一个代替，特别地有)，则图象呈上升趋势，即数列是递增的，即an递增，对任意的n（n∈N*）都成立。类似地有{an}递减< >。对任意的n（n∈N*）都成立。
8. 如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
9. 若数列{an}的前n项和记为Sn，即，则。
10. 通项公式和递推公式的区别在于：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an
11. 用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”?D?D数列{an}的第1项或前几项；②递推关系?D?D数列{an}的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示。
如果两个条件缺一个，数列就不能确定。例如，已知数列{an}的al＝1，a2＝2，这个数列就不能确定。因为有的说an＝n；有的说，则，将这些等式相加得到
若a1适合，则用一个公式表示an，若al不适合，则要用分段形式表示an，此处切不可不求a1，而直接求an.
（二）等差数列
1. 等差数列的定义：一般地，如果一个数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，用式子可表示为，则数列{an}叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
2. 等差数列的单调性：等差数列的公差d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列；d=0时，数列为常数列。
3. 等差数列的通项公式
4. 要证明数列{an}为等差数列，只要证明：当等于同一个常数d。
5. 对等差数列{an}而言：
（l）公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差（同一常数），即都成立。
（3）时，an是关于n的一次函数。故的图象是直线y=dx （a1?Dd）上当x∈N*时的点的集合。
由此可利用共线的方法解决有关等差数列问题。
（4）对任意的m，n∈N*，有。
（5）公式中含四个量a1，an，d，n，已知任意三个，可求第四个量。
6. 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
7. 等差数列的判定方法
（1）。
（3）。
（5）。
（7）数列（、b是常数）是公差为的等差数列。
（8）下标成等差数列且公差为m的项组成公差为md的等差数列。
（9）若也为等差数列，则仍成等差数列（首项不一定选）。
（11）是等差数列，则。
（2）若有三个数成等差数列，则一般设为
2. 若数列{an}的前n项和公式为可进一步变形为：
，若令，（*），（*）式是等差数列前n项和公式的另一种表达形式。
（2）当A≠0，即d≠0时，（*）式是n的二次函数，即（n，Sn）在的图象上，因此，当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图象是抛物线上的一群离散的点。
（3）在求等差数列的和Sn时，如已知al、an、n，可用公式来解，如已知al、n、d，则可用公式）是等差数列，其公差等于kd。
6 . 若在等差数列{an}中，a1＞0，d<0，则Sn存在最大值；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在最小值。
7. 若
（四）与和有关的等差数列的性质：
1. 若项数为2n，则；
若项数为，
。
4. 若也为等差数列。
【典型例题】
例1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

解析：若要根据给出的前 4 项写出数列的通项公式，首先要细心观察四个数变化的规律，为了便于发现规律应注意两点：
第一是将个别破坏规律的项还原，如（l）中首先观察发现第一个数1应写成分数，然后发现分母应从小变大，则第三个数应还原为。再由很容易写出其通项公式。（2）题中由分母为31、32、33、34，分子为10、20、10、40，发现均为第三个数破坏了规律，分析可知应还原为，再写分子为n 1，最后写分母为，又如（4）的分母的规律不易看出，可将分母一分为二，变为，。
点评：
1. 求数列的通项公式时，一般通过分解?D?D探索?D?D综合的方法进行归纳。要注意观察数列中的各项通过分解后哪些部分是不变的，哪些部分是变化的，变化的部分随其序号的变化情况如何，归纳时要重视从整体上把握数列的构成规律，写出通项公式。
2. 为了方便，掌握下面一些简单的常用数列的通项公式是有好处的：



。求证：当
。
证明：

整理得解得n≥9
∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减。
点评：数列是特殊函数，可用研究函数的方法研究数列相应问题（如本题数列的增减性）
例3. 已知数列为等差数列，。
解法一：设数列的首项为，公差为d
由已知得360docimg_501_
解之得360docimg_502_
360docimg_503_
360docimg_504_
则由题设，得360docimg_505_
故所求四数分别为2，5，8，11或11，8，5，2
解法二：设这四个数分别为360docimg_506_
360docimg_507_
所以所求四数分别为2，5，8，11或11，8，5，2
点评：本题巧设未知数，减少了未知量，简化了运算。一般地，三个数成等差数列，且它们的和已知时，可设为a－d，a，a d。而四个数可设为a－3d，a－d，a d，a 3d（公差为2d）。
例5. （2005年北京市模拟题）已知a，b，c成等差数列，那么a2（b＋c），b2（c a），c2（a b）是否构成等差数列？
证明：∵a，b，c成等差数列 ∴360docimg_508_
360docimg_509_
即360docimg_510_。
（2）360docimg_511_
整理得360docimg_512_
解之得n=12或360docimg_513_
解之得n=4
又由360docimg_514_
即得360docimg_515_
360docimg_516_
360docimg_517_
解法二：由360docimg_518_
得360docimg_519_
360docimg_520_
点评：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解。这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用。
例7. 已知数列360docimg_521_的前n项和360docimg_522_，求数列360docimg_523_的前n项和360docimg_524_
∵n=1也适合上式
∴数列360docimg_525_
由360docimg_526_时
360docimg_527_
（2）当360docimg_528_
故360docimg_529_
点评：由an与Sn的关系求通项公式是一类重要题型，要注意分类讨论的必要性。
例8. （2005年西安市统考题）一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和。
解法一：设等差数列360docimg_530_的公差为d，前n项和360docimg_531_
则360docimg_532_
由已知得360docimg_533_
①×10－②整理得360docimg_534_
360docimg_535_
360docimg_536_
故此数列的前110项之和为－110
解法二：设360docimg_537_
360docimg_538_
360docimg_539_
解法三：设等差数列的首项为360docimg_540_，公差为d
则360docimg_541_
①－②得
360docimg_542_
360docimg_543_成等差数列，设其公差为D。前10项的和360docimg_544_
360docimg_545_
又360docimg_546_
点评：本例解法较多，望同学们认真分析每种解法的思想实质，达到开阔思想探索研究，寻求简捷解法的目的。解法一是基本方法，不容忽视，解法二属函数观点，高瞻远瞩，解法三运用整体思想，解法四则利用性质，简捷明快，解法五利用了等差数列的性质。
【模拟试题】
1. 数列360docimg_547_的通项公式360docimg_548_，作为函数，它的定义域是（ ）
A. 正整数集N*
B. 自然数集N
C. 正整数集N*或N*的任一子集
D. 正整数集N*，或其有限子集{1，2，…，n}
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B. 数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C. 数列360docimg_549_）两数之间插入n个数，使它们与a,b组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A.360docimg_550_C.360docimg_551_
4. 在数列{360docimg_552_，则360docimg_553_都是等差数列，且360docimg_554_，则360docimg_555_＋360docimg_556_，则此数列前20项的和等于（ ）
A. 160 B. 180 C. 200 D. 220
7. （2004年福建文）设Sn是等差数列360docimg_557_的前n项和，若360docimg_558_（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D.360docimg_559_
8. （2004年重庆卷）若360docimg_560_是等差数列，首项360docimg_561_成立的最大自然数n是（ ）
A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008
9. （2005年吉林省实验中学第一次检测）在等差数列360docimg_562_中，360docimg_563_，则360docimg_564_等于__________。
11. 等差数列360docimg_565___________。
12. 在数列360docimg_566_中，已知360docimg_567_，那么使其前n项和360docimg_568_，两个数列：360docimg_569_都是等差数列，求360docimg_570_
其中每行、每列都是等差数列，360docimg_571_的计算公式。
15. 设360docimg_572_为等差数列，360docimg_573_为数列360docimg_574_的前n项和，已知360docimg_575_的前n项和，求360docimg_576_。
（1）求通项360docimg_577_12. 12
13. 解：设两个等差数列的公差分别为360docimg_578_
解得360docimg_579_
14. 解：（1）360docimg_580_
第二行是首项为7，公差为5的等差数列
360docimg_581_，公差为360docimg_582_
15. 解：设等差数列360docimg_583_的公差为d，则
360docimg_584_
解得360docimg_585_
360docimg_586_
360docimg_587_
360docimg_588_
16. 解：（1）360docimg_589_
360docimg_590_
360docimg_591_
360docimg_592_
360docimg_593_
故360docimg_594_
数列通项与数列求和
一. 教学内容：数列通项与数列求和
二. 教学要求：
n求an时，用公式an＝Sn－1要注意a1应由an＋1－f（n），f（an＋1＝q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．
2、数列的前n项和
（1）数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
（2）等差数列的前n＝ ＝ ．
（3）等比数列的前q＝1时，Sq≠1时，Sn的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。
③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前360docimg_595_，360docimg_596_是等比数列，并求360docimg_597_，∴360docimg_598_
假设存在某个360docimg_599_，则可以推出与360docimg_600_矛盾。
∴360docimg_601_。
例2. 在数列360docimg_602_=n?360docimg_603_的表达式。
360docimg_604_的前n项和Sn的公式，求360docimg_605_
例4. 设数列解：设360docimg_606_
例5. （天津文20）在数列360docimg_607_中，360docimg_608_，360docimg_609_．
（I）证明数列360docimg_610_是等比数列；
（II）求数列360docimg_611_的前360docimg_612_项和360docimg_613_，得
360docimg_614_．
又360docimg_615_是首项为360docimg_616_，且公比为360docimg_617_，于是数列360docimg_618_的通项公式为
360docimg_619_．
所以数列360docimg_620_的前360docimg_621_项和360docimg_622_．
例6. 已知数列：1，360docimg_623_，360docimg_624_，求它的前n项的和Sn．
解：∵360docimg_625_＋360docimg_626_＋……＋360docimg_627_
＝360docimg_628_∴an＝2－360docimg_629_
则原数列可以表示为：
（2－1），360docimg_630_，360docimg_631_，…前n＝（2－1）＋360docimg_632_＋…＋＝2360docimg_633_
＝2360docimg_634_＝2n－2＝360docimg_635_＋2n－2
例7. 已知数列{n项和Sn2－9（1）求证：{ n的最小值及相应的n项和为Tn，求T解：（1）a1＝S1＝－8
an＝Sn－1＝2
∴ n－10 an＝2
∴ {n＝n2－9n－360docimg_636_）2－360docimg_637_
∴当n＝4或n有最小值－20.
（3）n－10 ∴ | an |＝| 2an≥0360docimg_638_n≤4时，|n
Tn＝360docimg_639_，当n＝－a2－a4＋a6＋…＋＝（a1＋a2＋…＋an）－（a1＋a2＋a3＋a4）＝S＝n2－9n2－9n＝360docimg_640_
数列360docimg_641_项和。
360docimg_642_，求前360docimg_643_项和。
360docimg_644_
360docimg_645_
例11. 已知函数f（x）＝（x－1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q≠1），若a1＝f（d－1），a3＝f（d＋1），b1＝f（q－1），b3＝f（q＋1），
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}对任意的自然数n均有：360docimg_646_，求数列{cn}的前n项和Sn．
解：（1） d－2）2，d2，a3－a1＝2d2－（d－2）2＝2d，解之得a1＝0，n－1）
又b1＝（q－2）2，q2，b3＝b1q2
即q2＝（q－2）2q＝3
∴b1＝1，n－1
（2）360docimg_647_
n
＝4（1×30＋2×31＋3×32＋…＋ n－1）
设n×3360docimg_648_1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3360docimg_649_1＋3＋32＋33＋…＋3n×3360docimg_650_n?n
360docimg_651_
∴Sn＝2n?3n＋1
【模拟试题
1. 数列360docimg_652_=
3. 数列{360docimg_653_的前20项和为
4. 已知数列360docimg_654_的通项公式为
5. 设360docimg_655_则360docimg_656_的值为
6. 求数列1，360docimg_657_的前360docimg_658_项和。
7. 数列360docimg_659_的前360docimg_660_项和360docimg_661_项和360docimg_662____________
9. 数列360docimg_663_的前360docimg_664_项和为
10. 求和：360docimg_665_项和的公式的方法，可求得
360docimg_666_360docimg_667_，360docimg_668_，求：13. 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f （x）=（x－1）2，且a1 = f （d－1），a3 = f （d 1），b1 = f （q 1），b3 = f （q－1），求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
360docimg_669_
【试题答案】
1.360docimg_670_，
360docimg_671_
7.360docimg_672_
8. 1
9.360docimg_673_
10.
360docimg_674_
11.360docimg_675_
360docimg_676_
360docimg_677_
等比数列、数列求和
一. 教学内容：等比数列、数列求和
二. 重点、难点：
1. 理解等比数列的有关概念；掌握等比数列的通项公式和前360docimg_678_项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。
2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的方法，求数列的前360docimg_679_项和。
【典型例题
[例1] 在等比数列360docimg_680_，360docimg_681_，求360docimg_682_和360docimg_683_是等比数列，故360docimg_684_，结合360docimg_685_，可知360docimg_686_的两根，解方程，得360docimg_687_
故360docimg_688_，360docimg_689_或360docimg_690_时，360docimg_691_，得360docimg_692_，故360docimg_693_360docimg_694_
当360docimg_695_时，360docimg_696_
综上所述，360docimg_697_或360docimg_698_
[例2] 已知数列360docimg_699_，360docimg_700_，360docimg_701_
解：设360docimg_702_成等比数列
∴360docimg_703_
∵360docimg_704_
∴360docimg_705_
360docimg_706_为等差数列，360docimg_707_，360docimg_708_。
解：由360docimg_709_为等比数列
∴360docimg_710_
由已知360docimg_711_∵360docimg_712_∴360docimg_713_知360docimg_714_
360docimg_715_知
360docimg_716_或360docimg_717_或360docimg_718_
[例4] 设等比数列360docimg_719_，360docimg_720_）
解：方法一：设公比为360docimg_721_化简得360docimg_722_解得360docimg_723_
设数列360docimg_724_前360docimg_725_项和为360docimg_726_，则
360docimg_727_360docimg_728_360docimg_729_
可见，当360docimg_730_时，<4" >360docimg_731_最大
而360docimg_732_，
故360docimg_733_的前5项和最大
方法二：接前，360docimg_734_于是360docimg_735_
∴ 数列<9" >360docimg_736_是以360docimg_737_为首项，以360docimg_738_，得360docimg_739_
由于360docimg_740_∴360docimg_741_的前5项和最大
[例5] 求数列的前360docimg_742_项和：360docimg_743_
360docimg_744_时，360docimg_745_时，
360docimg_746_
[例6] 在数列360docimg_747_，求数列360docimg_748_项的和。
解：∵360docimg_749_
∴ 数列360docimg_750_项和
360docimg_751_
360docimg_752_的值。
解：设360docimg_753_①
将①式右边反序得
360docimg_754_
① ②得360docimg_755_
[例8] 已知数列360docimg_756_的表达式；
（2）如果360docimg_757_，求360docimg_758_项和360docimg_759_
解：
（1）360docimg_760_，当360docimg_761_
∴360docimg_762_
因而360docimg_763_
∴360docimg_764_①
则360docimg_765_360docimg_766_
360docimg_767_又1 3 5 …360docimg_768_
[例9] 已知数列360docimg_769_项和为360docimg_770_，且满足360docimg_771_），360docimg_772_是等差数列；
（2）求360docimg_773_时，求证：360docimg_774_
解：
（1）证明：∵360docimg_775_
360docimg_776_
又360docimg_777_∴360docimg_778_
∴ 当360docimg_779_[或360docimg_780_]
当360docimg_781_时，360docimg_782_
∴360docimg_783_
（3）证明：由（2）知，
360docimg_784_
360docimg_785_中，首项360docimg_786_等于（ ）
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
2. 若等比数列360docimg_787_的公比360docimg_788_项和为360docimg_789_，则360docimg_790_与360docimg_791_的大小关系是（ ）
A.360docimg_792_C.360docimg_793_满足360docimg_794_（360docimg_795_），则当360docimg_796_时，360docimg_797_B.360docimg_798_C.360docimg_799_中，若360docimg_800_B.360docimg_801_D.360docimg_802_（360docimg_803_）的结果是（ ）
A.360docimg_804_C.360docimg_805_D.360docimg_806_
6. 数列360docimg_807_项和为360docimg_808_，则360docimg_809_等于（ ）
A. 1003 B.360docimg_810_C. 2006 D.360docimg_811_等于（ ）
A.360docimg_812_
B.360docimg_813_
D.360docimg_814_，第三年的增长率为360docimg_815_，则下列关系正确的是（ ）
A.360docimg_816_C.360docimg_817_
二. 解答题：
1. 等比数列360docimg_818_项中，数值最大的一项是54，若该数列的前360docimg_819_，求：
（1）前100项之和360docimg_820_。
2. 已知数列1，360docimg_821_，360docimg_822_（360docimg_823_项和。
3. 已知360docimg_824_
（1）当360docimg_825_的前360docimg_826_项和360docimg_827_；
（2）求360docimg_828_
4. 设数列360docimg_829_的等差数列，求和：360docimg_830_
360docimg_831_
360docimg_832_
【试题答案】
一.
1. C
解析：∵360docimg_833_，360docimg_834_或2. A
解析：由等比数列通项公式和前360docimg_835_项和公式得
360docimg_836_
360docimg_837_
360docimg_838_又360docimg_839_， 即3. C
解析：由已知360docimg_840_
得到360docimg_841_，360docimg_842_由此猜想出4. D
解析：由360docimg_843_），当360docimg_844_时，360docimg_845_不适合，所以360docimg_846_
5. B
解析：∵360docimg_847_
360docimg_848_
6. A
解析：360docimg_849_（共1003个）=1003
7. D
解析：原式360docimg_850_
8. B
解析：设平均增长率为360docimg_851_，则第三年产量为360docimg_852_，所以应该有360docimg_853_
即360docimg_854_
二.
1. 解：设公比为360docimg_855_
∴360docimg_856_（∵360docimg_857_②
360docimg_858_③
由①②③解得360docimg_859_，则
（1）前100项之和360docimg_860_
（2）通项公式为360docimg_861_
2. 解：由题意可知，360docimg_862_的通项是等差数列360docimg_863_的通项与等比数列360docimg_864_的通项之积，设①－②得当360docimg_865_
∴360docimg_866_
当360docimg_867_时，360docimg_868_
3. 解析：
（1）当360docimg_869_，这时数列360docimg_870_项和360docimg_871_①
①式两边同乘以360docimg_872_，得360docimg_873_
若360docimg_874_
360docimg_875_
若360docimg_876_时，360docimg_877_
则360docimg_878_
当360docimg_879_
360docimg_880_此时，360docimg_881_
若360docimg_882_，360docimg_883_
若360docimg_884_，360docimg_885_
4. 解析：∵ ∴ ∴ 又360docimg_886_