车载dj高清mv紧身衣:儿童基点 数学视野

        作者：省数学特级教师、江苏启东市教育局教研室 蔡宏圣

    应该说，“和谐”更多地带有中国文化的烙印，是中国传统文化中各派各学共同的精髓，其道义宏大。仔细考量，在现代汉语中，和谐可以用作形容词，也可以用作名词、动词，并不特别限定于某个特定的论域，因而，其对数学教育的影响注定是全面而又多层次的。比如就指导思想而言，和谐是“继承与发展”的相辅相成；就课堂目标而言，和谐是“知识与智慧”的相伴共生；就课程内容而言，和谐是“生活与数学”的相得益彰；就学习方式而言，和谐是“建构与接受”的相机融合……这样的情形，“和谐”便像油一样渗入了数学教学的各个方面、各种枝节，不同取向间彼此圆润通融，交合凝聚而成更高境界。但，各个方面、各种枝节的和合，也容易被人误读为各种因素的掺合中和。看来，我们必须超越那些枝节，首先要直抵和谐之于数学教学最核心的地带——而这一方面要汲取教育的经典要义，另一方面又要呈现出鲜明的数学教学特质。

   深入考察“和谐”的意义，可发现其内涵可以凝聚在“和而不同”这四个字中。换言之，和谐并不来自于事物的同一，而恰恰来自于事物不同方面的对立统一。在“不同”的基础上形成“同”，这才是“和”，才能促进事物发展。大凡人类的大智慧都是相通的，这也不正是世间万物联系发展的矛盾统一规律吗？小学数学教学，说白了就是引导儿童学习数学。儿童的世界更多地充满着经验、直观、形象；而数学，无论怎样改造过的数学，其价值都指向于理性、抽象、形式化，因此在笔者看来，“儿童”与“数学”间的不同，便是小学数学教学中最主要的“不同”，那么，“儿童基点，数学视野”就是和谐之于数学教学的核心内核。

            儿童基点：教学从这里生长

   没有人反对儿童的发展是现代教育的核心和根本，因此，教育教学活动应该以儿童为基点。在数学教学的论域中，论及儿童基点的话题，固然要汲取上位的相关教育理论的精髓，但更应该具有数学教育的意味。每次数学教育的改革，都有其相应的数学观为理论假设。在拟经验主义数学观的观照下，数学学习是学习者主动建构的过程，鉴于此，“儿童基点”意味着：

   把握儿童的已有。建构主义刻画了儿童的数学学习在很大程度上取决于主体已有的知识和经验，所谓的对新知识的理解，也是新的学习内容与学习者已有知识与经验间建立起适当的联系。这一切都和学习者已有什么相关，因此，“儿童基点”首要的意义是把握儿童的认知起点。由于学生的数学认知结构大致与数学教科书的知识结构相同，因此，教师对儿童已有的旧知储备还是容易把握的，困难的是把握儿童的生活经验基础。为什么困难？因为同样的事物，儿童观察和体会到的，和成人并不一致。认识厘米的教学后，教师出了一组填空题，其中有“黄瓜长约20（ ）”一题，竟然有不少孩子空着。批改后不由得去询问孩子们。原来，城镇的孩子所看到的黄瓜一般都是切成了段或片的，没有看到过整条的黄瓜。人民币的认识和使用，在我们的想象中，孩子们应该积累了相当的经验，但在“小红有1元2角的硬币，她可能有哪些硬币”的练习中，有约25%的孩子认为“小红可能有一枚1元硬币和一枚2角硬币”，看来儿童对人民币的实际体验远没有我们想象中的那么丰富。卢森堡说， “一个匆忙赶往伟大事业的人没心没肺地撞到一个孩子是一件罪行”，就数学教师来说，在数学学习的路上，不知道儿童在那里，贸然地用自己的想法去替代孩子们的已有状况，使得儿童从属于教师的安排，这和行进途中撞到孩子并无两样。

   儿童的数学学习植根于他们的生活经验，循此更深入地思考，一方面各人的生活经验各异，另一方面经验之所以被称为经验，就是因为孩子们在生活中感悟到的数学事实都是粗糙、零碎的，所以，经验之于数学学习来说，还有个精致化的问题——尽可能缩小经验和纯粹知识间的距离，或者清楚地揭示经验和纯粹知识间的差异，以便为孩子们的数学学习提供有效的支撑。例如，“用字母表示数”的教学中，多数教法都会从生活中字母运用的情况导入。粗看这样，自然顺畅，并无异议。但稍一琢磨，数学中用字母表示数，字母并不表示特别的意义，是抽象的符号；而生活中用字母表示事物，往往是特定意思的缩写，cctv是china center television的缩写，VIP是very important person的缩写。即使是数学中字母的其他用法，也一般是缩写的用法，比如cm是centermeter（厘米）的缩写，kg是kilogram（千克）的缩写。这样看来，在导入的最后，应该要引导学生看到这种用法的本质，而在学习了用字母表示数之后，还可以组织两者间的比较，以此来明晰数学中用字母表示数的理性意义。

   体会儿童的障碍。从一定意义上说，教学并不是为数学天赋高的孩子准备的，对于他们来说，教的价值似乎并不凸显。在数学悟性迟缓的孩子们面前，教学才更像教学——恰当的提示，细微的点拨，精要的提炼，儿童的认识由此实现提升。而这些价值的彰显都首先要体会儿童们的学习困难在何处，教如果不在“不懂”向“懂”转化的关节处下功夫，那么就取不到一通百通的效果。特别是基于建构主义的学习观，儿童的数学学习是他们自身利用已有的知识和经验对新知识赋予意义的过程，因此，儿童在课堂中所体会到的，可能并非教师所教的。在知识的客观意义上，儿童的认识可能是错误的，但在儿童已有的旧知经验和新知识间却是自洽的、“合理的”。所以，作为教师就要特别关注儿童的真实思维状况，琢磨他们认识出错的原因，体会认知提升的障碍在那里，然后采取针对性措施，以引导儿童在旧知经验和新知间实现“好的”平衡。

   着眼儿童的发展。泛化意义上的发展并不是学科教学讨论的首要，在学科领域中讨论发展，最基本的是对学科本质的把握和领悟。就数学来说，首先是对位值制、分数、四则运算等基本数学概念的理解，其次是对分类、转化、数形结合等数学思想方法的把握，以及对类比、抽象、猜想等数学特有思维方式的感悟，最后是对数学美的鉴赏和对理性精神的追求。

   数学作为一门学科，其研究对象和研究方式都是心灵的创造，皆是人类思维的产物。因此，就如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔所言，学生学习数学是一个再创造的过程。思维，是儿童数学学习的最根本方式。也只有通过思维，儿童才能由外而内逐步触及数学的肌肤、结构直至灵魂，获得数学上的发展。从这些意义上说，思维是数学教学中实现发展的最根本方式。

   一个教师教学“减法的意义”，自主活动中教师要求学生创作一个用减法解决的问题，为总结提炼出减法的意义作铺垫。一个孩子用水果学具演示了可以用“5-2=3”的一个问题。话音刚落，另一个孩子就嚷道：怎么还是“5-2=3”，老师刚才已经讲过了。这个孩子反驳道：老师的算式说的是汽车，我的算式说的是水果。两个孩子不免争执了起来。此时，教师安抚道：先不用争，想想还能编出用“5-2=3”解决的事情吗？于是孩子们的思维开了锅，编出了多种多样的问题。

   教师在此基础上，追问道：为什么有的事情发生在教室里，有些事情说的是吃水果，有的事情说的是买文具，完全不一样的事情，怎么都用“5-2=3”？孩子们终于体会到了，虽然情境各不一样，但数学意义却是相同的。不由得有孩子感叹道：“这么多事情都可以用‘5-2=3'来表示，它的本领可真大呀！”

   案例中孩子最精彩的回答是“5-2=3的本领可真大呀”，此回答将减法作为一种解决问题的模型的数学认识阐释得浅白无比。从这个案例中，我们进一步可以窥见的是，儿童如果在数学学习中得到了发展，其必然经历一个抽象和具体的辩证转化过程，这正如数学发展中的那样，新的抽象的认识被琢磨得直观浅白、透彻明白了，变得具体了，认识也就跃升到了一个新的层次了。因此，儿童在数学学习中得到发展的一个显性标志是，他们能用童趣的言语表达自己对某数学概念的感悟了。

数学视野：教学就此铺就底色

   数学教学中的问题，一般的教育教学理论及其规律并不能指导一切。估算教学中，学生的估算结果到底有没有对错之分，在教育学的范畴里，这个疑问得不到科学的回答，两种意见纷争不下。运用数学的“数量级”概念来分析，两种意见才得到了统一：在同一个数量级里，估计的结果都可以算正确，但结果是几百的估计成了几千，那可以判为错。这样的标准不仅合理，而且具有一定的科学性。杜威说：“人类喜欢采用极端对立的方式去思考。他们惯用‘非此即彼'的公式来阐述他们的信念，认为在两个极端之间没有种种调和的可能。”和谐的数学教学就要在儿童和数学间达成一种平衡，数学课堂中不仅要树立儿童立场，也应该有意识地确立数学视野——从数学的角度观察、分析、考量教学问题的意识与习惯。当下一些课堂缺失数学味，其根源就在于教师只有儿童基点，丧失了数学视野。数学视野，更全面地看，应该是以数学为基点的各种理性认识的指导。

   数学科学本体。由于儿童的年龄特点所限，教育形态的小学数学知识其形式化程度极其有限，更多地借用生活中的词语来表述数学概念，由此带来的负面效应是，概念中关键词语的生活意义可能遮蔽其要表达的数学意义。这方面非常典型的一个案例是“三角形的稳定性”的教学。稳定在生活中可以理解为稳固、牢靠，因此较多老师在教学三角形的稳定性时，都组织学生分别用力拉小棒钉成的三角形框架和四边形框架，在用力拉之后的“不动”和“动”的比较中，体会三角形具有稳定性。而殊不知，在数学意义上，三角形的稳定性指“三角形的三边确定了，它的形状与大小也就确定了”，三角形框架的拉不动只不过是这种性质的应用罢了。因此，作为一个数学教师有意识地把概念中的关键词语回归数学科学的本体，考究这些关键词语的数学意义，并适当地利用这些词语的生活意义，这样，设计的教学就有可能达到一种和谐：既充分利用了学生的生活经验，而又超越了经验层面提升为初步理性的认识。

   数学历史科学。数学历史科学是研究数学发生发展历史的一门学科。波利亚说“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”皮亚杰也指出，各个个体的认识发展在一定意义上即可被看成整个人类认识发展在较小范围内的重演或缩影。这些论述非常精辟地道出了数学史之于数学教学的价值。人的认识提升后，往往会感觉这种认识就是理所当然的，并不觉察有什么困难。而在数学史中，研读相关概念的发生发展过程，会给我们预见儿童在学习战略性数学概念中可能会遇到什么障碍，提供了独特而又不可替代的视角。

   比如“负数”，在我们已经有了相关概念的成人看来，负数就是比0小的数，这种认识的流淌是那么顺畅，毫无障碍。儿童们构建“负数”的初步认识，也会这般自然吗？翻开数学史，料想不到的是，人类认识负数大费周折，数学史上把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的例子不在少数，其中有的数学家也是当时的大数学家。例如帕斯卡认为：从0减去4纯粹是胡说！笛卡尔也认为负数是“不合理的数”，19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”，如此等等。德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是 1表示一件物体，2表示两件物体……，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识：怎么把负数的意义和0的认识沟通起来！找到了认识提升的关节点，教学在那里下功夫也就显而易见了。

   数学教育心理。数学学习中每一个新的领域，都意味着一种新的思维方式；不同孩子在学习过程中每一种相同的典型错误，都意味着共同的心智障碍。这些都可以从数学教育心理学中得到具体的阐释和深入的剖析。虽然数学的教育心理，并不涉及数学知识本身的本质意义，但其聚焦于数学学习中学生的内部认知过程，所呈现出的理性规律，确保了我们的教学走在纯正的数学思维提升的高速路上。

   认知心理的研究中曾经有过这样的测试，要求被试者用笔和纸写出或画出在听到一个数学概念的一瞬间，脑子里浮现出的东西，以了解概念是怎样被人的内部心智所把握的。结果显示，几乎很少有人用纯粹的词语或命题，而更多的被试者用了词语、与概念相关的画、概念的某个鲜明特例等多种成分的复合物。这说明，数学概念的定义只是用来揭示这个概念的内涵，以把这个概念和其他概念区别开，因此，为了儿童发展的概念教学，不应该过多地在定义本身上纠缠，而应该善于呈现与概念特质相符的示意图，或列举形象的生活事例。这对儿童进行数学教学显得格外重要。有位教师教学“减法的性质”：从一个数里连续减去两个数，等于从这个数里减去这两个数的和来，学生虽然经历性质的概括过程，但在应用中还总是错误不止。教师灵机一动，打了一个比方：连续减去两个数好比教师要把脚上的两只鞋扔到教室外面，既可以把鞋一只一只地扔出去，也可以把两只鞋捆在一起后一下子扔出去。没想到，效果出奇的好。用具体直白的生活事理阐述理性的数学命题，看似肤浅，却是有智慧的举措。郑毓信先生提及教师的数学教育能力时，就把“善于举例”放在了第一条。因此，一个高明的数学教师，不仅仅是自身要有较好的数学素养，更重要的是能善于用童趣的事例把数学的道理说清楚。

   为了表达的方便，笔者将“儿童基点”与“数学视野”分别进行了表述，但这并不表明两者的分离。而实际上，在分别表述的同时，大家能体会到文字里两者间的相互交融。在论及“儿童基点”的时候，笔者是紧紧围绕着数学学习的建构性进行的；在阐述“数学视野”的时候，将纯粹的数学本体发掘开，涉及到了数学史、数学教育心理等学科，其出发点都是为了科学而又准确地理解儿童的思维。爱因斯坦说，“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还要取决于你用什么样的思维方式，思维决定你到底能观察到什么”。儿童和数学的和谐本质是客观存在的，但数学教学是否和谐，最重要的取决于教师是否确立了辩证思维方式。当设计和考量教学的出发点是儿童的时候，应该要有意识地指向数学；当设计和考量教学的出发点是数学的时候，不要忘记主旨是为了儿童的发展。无论怎样，都努力达成儿童和数学间的平衡，这才是根本。

       ---该文已经发表于《小学教学》2010年第9期