起凡皮肤碎片在哪看:线性代数矩阵论——矩阵的属性

来源：百度文库编辑：九乡新闻网时间：2024/04/30 07:28:38

线性代数矩阵论——矩阵的属性

图1 一般矩阵和方阵的属性

一般矩阵A=[a_ij]_m*n，n阶方阵A=[a_ij]_n*n

属性

标记

属性含义

属性求解方法或步骤

一般矩阵

行数

列数

秩

r(A)

矩阵A中不等于零的子式的最大阶数

1) 对矩阵A使用Gauss消元法得到等价标准形B

2) B中的非零行数即是A的秩

n阶方阵

行列式

|A|（|A|=λ₁λ₂…λ_n(所有特征值的乘积)）

n=1时，D=a11

n>1时，D=a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+…+a_i1A_i1+…+a_n1A_n1

Aij=(-1)^i+jM_ij为代数余子式，M_ij表示n阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1行n-1列元素组成的n-1阶行列式

特征值

AX=λX(X为非零n维向量)

|λI-A|=0

特征向量

AX=λX(X为非零n维向量)

对于每一个特征值λ_i，代入(λ-A)X=0，可求出对应的X_i

矩阵相似对角形

A~B

可逆n阶方阵P，使P^-1AP=B

1) 充要条件：A的每一个ti重特征值λi对应ti个线性无关的特征向量

2) 矩阵相似对角形

迹

tr(A)

主对角线上元素之和

tr(A)==

表1 一般矩阵和方阵的属性

Matlab实现

矩阵属性

算符

行数、列数

size(A)

长度（行、列数最大的一个）

length(A)

秩

rank(A)

行列式

det(A)

特征值

[B,C]=eig(A)，

B为A的特征向量，C为A特征值

特征向量

相似对角形、Jordan标准形

[B,C]=jordan(A) B为转换矩阵，其列是特征向量，C为约当标准型，它是特征值的对角矩阵，即其对角线元素是特征值

参考文献：

[1] 刘先忠, 杨明. 线性代数. 北京: 高等教育出版社.

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