小学生原创奥数题 涉及“埃及分数”内容

　　昨晚和孩子吃饭时聊天，说到网上评价仁华一班奥数高手的标志之一是那些牛孩能自己出题。我孩听后说，他最近也在琢磨一道题，琢磨快一个月了。我和他妈妈都很吃惊，也没见他说过一次啊。他告诉我们是隔三差五自己断断续续思考的，因为一直没能最后确定答案，所以也没告诉我们。这孩子，还挺能琢磨和藏事的。在我们劝说下，孩子将他自己原创的习题说了出来如下：

　　分子全部为1，分母不能重复的5个分数相加之和为1的情况有多少种？

　　据孩子说，他琢磨出有72种可能。
　　但是我们让他写出答案时，他说已经都扔掉了。
　　劝说一番，也不愿写出，说太麻烦，记不住了。
　　感觉孩子出的这道题很有意思。很想知道他的答案是否正确。
　　所以请出洞网友、天极网友等各位高手们一起帮助解答一下，孩子的答案是否正确。

by wxg129

　　听说楼主的孩子还很小啊，这么小就有思考问题的习惯，很好啊。
　　这个题，就是俗称“埃及分数”一类的题目。仁华的课本上专门有一章讲这个的。建议你们孩子先看看。
　　因在古埃及，人们使用单位分数的和(形如1/a的, a是自然数)表示一切有理数。 如：2/3=1/2+1/6,但不允许2/3=1/3+1/3,因为加数中有相同的。所以叫做“埃及分数”。
　　如果要深入研究，可以写一个走美的论文了。
　　大体思路是，任意一个埃及分数（分子为1的分数）拆成2个埃及分数之和，这是一定的！且只有有限解。
　　如果从1开始拆成2个埃及分数，只能是1/2，1/2，继续拆下去，有不同的拆法，拆到5个埃及分数，就可以算出所有的解。
　　接下来很自然的问题是，上述方法是否满足完备性？即会不会漏掉一些解？
　　这里牵涉到一个命题：“如果1表示为5个埃及分数之和，则这5个埃及分数是否一定能缩减为4个”。这可以让你孩子考虑考虑。

by 自出洞来

　　再讲清楚一点，比方分解成4个埃及分数一共有10种（瞎说的，打个比方），从中任意选取1个埃及分数，再分解成2个（有好几种分法），那么我们就能得到5个埃及分数。这样进行下去，假设一共可以得到100种（5个埃及分数之和）。（这是从4个埃及分数之和推导出来的）
　　问题是，这100种是否囊括了所有可能的情况？“如果1表示为5个埃及分数之和，则这5个埃及分数一定能缩减为4个”成立，说明我们从4个埃及分数推出的5个埃及分数之和共100种已经是完全的了。
　　如果命题不成立呢，说明100种还不全。
　　所以让您孩子思考一下我提的命题是否成立。
　　一个问题不光要自己能解出来，还要能确定是否正确、以及是否完备，这才是真正懂了。当然对太小的孩子来说，可能有点苛刻了。
　　至于您说的72是否是所有可能的解，那是需要花费时间的。一时半会谁能回答出来？我说过，这可以写一个走美建模论文了。

by 自出洞来

找到72个了

2 3 7 43 1806
2 3 7 44 924
2 3 7 45 630
2 3 7 46 483
2 3 7 48 336
2 3 7 49 294
2 3 7 51 238
2 3 7 54 189
2 3 7 56 168
2 3 7 60 140
2 3 7 63 126
2 3 7 70 105
2 3 7 78 91
2 3 8 25 600
2 3 8 26 312
2 3 8 27 216
2 3 8 28 168
2 3 8 30 120
2 3 8 32 96
2 3 8 33 88
2 3 8 36 72
2 3 8 40 60
2 3 8 42 56
2 3 9 19 342
2 3 9 20 180
2 3 9 21 126
2 3 9 22 99
2 3 9 24 72
2 3 9 27 54
2 3 9 30 45
2 3 10 16 240
2 3 10 18 90
2 3 10 20 60
2 3 10 24 40
2 3 11 14 231
2 3 11 15 110
2 3 11 22 33
2 3 12 13 156
2 3 12 14 84
2 3 12 15 60
2 3 12 16 48
2 3 12 18 36
2 3 12 20 30
2 3 12 21 28
2 3 14 15 35
2 4 5 21 420
2 4 5 22 220
2 4 5 24 120
2 4 5 25 100
2 4 5 28 70
2 4 5 30 60
2 4 5 36 45
2 4 6 13 156
2 4 6 14 84
2 4 6 15 60
2 4 6 16 48
2 4 6 18 36
2 4 6 20 30
2 4 6 21 28
2 4 7 10 140
2 4 7 12 42
2 4 7 14 28
2 4 8 9 72
2 4 8 10 40
2 4 8 12 24
2 4 9 12 18
2 4 10 12 15
2 5 6 8 120
2 5 6 9 45
2 5 6 10 30
2 5 6 12 20
3 4 5 6 20
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是不是就72个还不得而知，有待证明。

by 望山
 

本文由巨人网友“wxg129”发表于“巨人家长社区”