诸神混乱之女神:谈谈对高中数学新课程高考的认识

谈谈对高中数学新课程高考的认识

深圳中学 郭慧清

将高中数学课程标准下的数学高考大纲与高中数学教学大纲下的数学高考大纲进行比较，我们会发现，无论是考查的知识，还是考查的思想方法与能力都发生了不少变化．下面就笔者的教学与备考谈一点认识．

一、高考内容的变化

1．数学知识

知识块

理　科

文　科

（一）集合与逻辑

新增：全称量词与存在量词．

新增：全称量词与存在量词．

（二）算法初步

新增：算法步骤与基本逻辑结构，程序框图，基本算法语句与程序．

新增：算法步骤与基本逻辑结构，程序框图，基本算法语句与程序．

（三）函数及应用

新增：分段函数，幂函数，函数与方程，函数模型及其应用．减少：反函数，函数的极限，函数的连续性．降低：映射．

新增：分段函数，幂函数，函数与方程，函数模型及其应用．减少：反函数，函数的极限，函数的连续性．降低：映射．

（四）导数及其应用

新增：定积分及其应用．加强：导数的意义．

加强：导数的意义．

（五）平面向量

保持稳定．

保持稳定．

（六）三角

减少：反三角函数．

减少：反三角函数．

（七）不等式

新增选考内容：绝对值不等式，柯西不等式与排序不等式．

减少：不等式的证明．

（八）数列

加强：等差、等比数列与一次、指数函数之间的联系．减少：数列的极限．

加强：等差、等比数列与一次、指数函数之间的联系．减少：数列的极限．

（九）解析几何

降低：双曲线．新增选考内容：平面直角坐标系下的伸缩变化，柱坐标系与球坐标系，简单曲线的极坐标方程，参数方程．

降低：双曲线，抛物线．新增选考内容：平面直角坐标系下的伸缩变化，柱坐标系与球坐标系，简单曲线的极坐标方程，参数方程．

（十）立体几何

新增：三视图．降低：三垂线定理．加强：空间向量的应用．

新增：三视图．降低：空间位置关系的证明，三垂线定理，距离与角度的计算．减少：空间向量．

（十一）计数与二项式定理

不考．

（十二）统计与概率

新增：几何概型，随机数与蒙特卡罗方法，超几何公布，独立事件，条件概率，统计案例与检验方法．

新增：几何概型，随机数与蒙特卡罗方法，统计案例与检验方法．

（十三）数系扩充与复数

保持稳定．

保持稳定．

（十四）推理与证明

新增必考内容．

新增必考内容．不考数学归纳法．

（十五）几何证明选讲

新增选考内容．

新增选考内容．

2．数学思想

大纲考纲要求

课标考纲要求

数形结合思想，分类讨论思想，方程与函数思想，转化的思想．

数形结合思想，分类讨论思想，方程与函数思想，转化的思想，模型的思想，算法思想，统计思想（估计的思想，回归的思想，检验的思想）．

3．能力要求

大纲考纲要求

课标考纲要求

思维能力，运算能力，空间想像能力，解决实际问题的能力．

空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.

二、高考备考建议

1．正确处理平时教学与高考备考之间的关系

在有些人的教学观念中，早一点完成全部高中数学必考内容的教学，然后尽快进入高考复习，这才是数学教学的全部意义．我们在这里暂且不去讨论这样做与数学教育的真正意义之间的差距，从实际效果看，这样做对于学生在高考中取得一定的考试成绩是有作用的．但是，要使学生取得高水平的考试成绩却是困难的．因此，正确处理好平时教学与高考备考之间的关系是非常重要的． 

上图是笔者根据自己所教学生在高考中的表现总结出来的，它反映了学生数学学习的状态与考试成绩的关系．一般说来，要使学生在高考中取得好成绩，必须使他们的数学学习状态同时达到“概念清，原理透，方法熟，思想通”．通常，对数学的概念与原理，可以通过不断地重复学习，使学生在相对较短的时间内理解或掌握．但是，对于方法与思想（特别是思想），是需要有较长的时间让学生练习与体会才能达到“熟”与“通”的状态的．因此，在平常教学中，不仅要引导学生重视知识的学习，而且不能急于求成，要留有足够的时间让他们去悟出思想方法的真谛．只有这样，才能真正让他们体会到学习数学的意义，并在高考中考出好成绩．

例1．（2007年高考广东数学第21题）已知函数 ， 是方程 的两个根（ ）， 是 的导数，设 ， ．

（1）求 的值；

（2）证明：对任意的正整数 ，都有 ；

（3）记 ，求数列 的前 项和 ．

答案：（1） ；（3） .

分析：这个考题，与函数零点和方程的解的联系，用“二分法求方程的近似解”（见人教A版数学1），直线的点斜式方程（见人教A版数学2），数列的表示（见人教A版数学5），导数的几何意义，“用牛顿切线法求方程近似解”（见人教A版数学2－2），极限思想等等均有着密切的关系．如果在平时教学中没有让学生体会好教科书上的内容，在高考时是很难完成好全部解答的．

例2．（2008年的高考广东理科第21题）设p、q为实数， 、 是方程 的两个实根．数列 满足 ， ， （n = 3，4，…）．

（1）证明： ；　（2）求数列 的通项公式；

（3）若p = 1，q = ，求 的前n项和 ．

分析：（1）本小题不仅仅是给大多数学生有一个得分的机会，更重要的在于揭露 与 的关系，即 可以用 表示出来， 也可以用 表示出来．也就是说，在问题的解答中，可以选用 去表达所有结论，也可以选用 去表达所有结论．

（2）本小题当然可以直接用“特征根”的方法求解，但超出了高中数学的知识范围．当然，也可以用待定系数法的方法求解：

设 ，则 ．由 ，得　 ，故 、 是方程 的两根，即有

从而将问题转化为等比数列来求解，但过程仍然不简单．

大家知道，在高中数学新课程中，不仅增加了一些新的数学知识，也增加了不少新的数学思想与方法．如“合情推理”就是新增的属于思想方法的内容．在实际教学中，不少人没有重视这些新增内容的教学意义与育人意义．在当今数学教学中，教师较多关注的是数学本身的逻辑体系，教学中演绎的过程多，但帮助学生通过观察、类比、归纳和概括而发现结论或提出猜想的教学过程少，实践证明这样的教学过程，对于学生思维的健康发展是不利的．

因此，在高中新课程的实施过程中，教师如果注意到了上述所说的问题，在教学中就会较好地落实选修系列1、2中增加“合情推理”的内容．这样，对于上述高考试题就会有如下的思考：

将 ， ， ，…用 表示，试图从中发现 如何用 表示，但很难得出 如何用 表示．

基于（1）的结论，我们尝试将 ， ， ，…用 进行表示，希望通过列举、归纳得到 的表示，这就是“合情推理”．

由已知得

猜想：

利用数学归纳法容易证明上式．因此可以得到

在上述过程中，由于较好地利用了合情推理，使得复杂的问题变简单了．

其实，为了方便学生作答，试卷还在公式列表中给出了下述公式：

而上述公式，正是《普通高中课程标准实验教科书》数学必修5（人教A版）第二章“数列”的习题2.5B组中的问题．

（3）本小题实际上是（2）的一种特殊情形．

把 ， 代入 ，得 ，解得 ．由（2）得　 ．再利用“错位相减求和法”可得 ．

2．关注新增内容的教学与备考

在新课程中，增加了不少新的教学内容，如三视图、算法、统计、定积分（理科）等等，也增加了不少新的思想方法，如模型的思想，回归的思想，算法思想等等．同时，重视培养学生的阅读与理解（特别是图表）的能力．

例3．（2007年的高考广东理科第4题）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 与时间 之间关系的图象中，正确的是（　　）

    例4．（2008年的高考海南、宁夏理科第12题）某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（    ）

A.                             B.                C. 4                            D.

例5．（2007年的高考海南、宁夏理科第20题） 如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．

（I）求 的均值 ；

（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．

附表：

例6．（2007年的高考广东理科第17题）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据．

3

4

5

6

2.5

3

4

4.5

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；

（3）已知该厂技改前 吨甲产品的生产能耗为 吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值： ）

例7．（2008年的高考海南、宁夏理科第22－24题）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1：

几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．

（1）证明：OM·OP = OA²；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM = 90°．

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C₁： ，曲线C₂： ．

（1）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

（2）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， ．写出 ， 的参数方程． 与 公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数 ．（1）作出函数 的图像；（2）解不等式 ．

例8．已知正数数列 的前n项和为 ，且有 ，求数列的通项 ．

此题可以改为下列情景题：给定程序框图如右图所示，请根据程序框图解决下列问题：

（1）若输入m的值为3，请依次写出输出的t的值；

（2）对于输入的正整数m，记第n次输出的t的值为 ，求 的表达式.

解：（1）当m=3时，输出的t的值依次是；

（2）由第（1）题的结论，猜想：

下面证明上述猜想．

当 时，由（1）知猜想是正确的．设 时，猜想正确，即

由程序框图表达的算法知道，

．

所以，由 得

      ，

   由 ，所以得

      ，

   即 时猜想正确．

   根据数学归纳法，知猜想是正确的．所以，

3．高考备考中的“模特元定界”

所谓“模”，就是思考问题中所涉及的数学模型是什么，是否有不同的模型可供选择，哪个数学模型是自己最熟悉的，在使用这个数学模型时要特别注意什么.

所谓“特”，就是问题的特殊情形是什么，问题在特殊情形下的结论怎样，能否用特殊情形检验自己的结论的正确性.

所谓“元”，就是问题中的数学对象是几元的，问题中的条件是几阶的，问题中条件的“阶数”与数学对象的“元数”是一个怎样的关系，能否由这个关系寻找到问题的解决途径.

所谓“定”，就是问题中数学对象的确定性，这常常涉及到数学对象的“元数”与问题中的条件“阶数”的关系，高考中的数学对象通常是确定的，或在条件的约束下是“一元数学对象”，因此，问题往往可以转化为研究一元函数，或有一个独立变元的方程，等等.

所谓“界”，就是变化的数学对象的“临界”是什么，比如两个变量通常呈“不等”，但它们就是以“相等”作为“临界”的；再如变量的变化范围（如定义域、值域等等）通常以“最大”、“最小”为界.因此，通常以研究“临界”情形而决定其它情形，这也是分类讨论中要特别注意的情形.

一般说来，在“模特元定界”所蕴含的思想指引下，通常都能找到问题的解决途径.下面举例加以说明.

例9．（2005年高考广东数学第20题）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图示1）.　将矩形折叠，使点A落在线段DC上.

（Ⅰ）若拆痕所在直线的斜率为k，试写出拆痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求拆痕的长的最大值.

　　　　　（图1）　　　　　　　　　　　　　（图2）

分析：（1）“模”：主要数学模型是直线的斜截式方程 （任何拆痕的斜率均存在）与分段函数；

（2）“特”：折痕的特殊情形是过AD的中点、过点B、过点D、过AC的中点；

　　　　　　（图3）　　　　　　　　　　　　　　（图4）

　　　　　　（图5）　　　　　　　　　　　　　　（图6）

（3）“元”：我们的数学对象是“拆痕”，它在平面直角坐标系中原本是一个二元对象，但在条件“将矩形折叠，使点A落在线段DC上”下就成为了一元数学对象；

（4）“定”：由于“拆痕”是一元数学对象，所以，当k确定后，截距b就随着确定了.　因此，b一定可以用k表示出来；如果为简便还引进了其它n个变元，则一定可以找到关于这n+2个变元的n+1个等式；

　　（5）“界”： “拆痕”的特殊情形不仅为我们写出其所在直线的方程提供了方便，也为我们求出“拆痕”的长的最大值指明了方向.

解：设点A关于拆痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为（t，1）（ ）．

（Ⅰ）若 ，则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为

　　　　　　　　　　　　　 ；

若 ，由 ，则

，

    从而线段AE的中点M的坐标为 ，故“拆痕”所在直线的方程为

　　　　　　　　　　 ．

    综上所述，“拆痕”所在直线的方程为 ．

（Ⅱ）设“拆痕”的长为 ．

（1）当“折痕”过AD的中点时（如图3）， ；当“折痕”过点B时（如图4），由于 求得 ．所以，当 时，“折痕”与y轴及 均有交点，分别求得为

、 ．

此时，　　　　　　　　 ．

由于l是关于k的函数，它在 上是减函数，所以，当 时，

．

（2）当“折痕”过点D时（如图5）， ．所以，当 时，“折痕”与y轴及 轴均有交点，分别求得为

、 ．

此时，　　　　　　　　 ．

设　 ，则 ，由此得：

当 时， ；当 时， ；当 时， ．所以， ，或 ．

由于 ，所以，

．

（3）当“折痕”过AC的中点时（如图6），求得 ．所以，当 时，“折痕”与 及 轴均有交点，分别求得为

、 ．

此时，　　　　　　　 ．

由于l是关于k的函数，它在 上是增函数，所以，当 时，

．

由于 ，所以拆痕的长的最大值为 ．

例10．在等比数列 中，若a ₁ +a ₂ =20，a ₃ +a ₄ =40，则该数列的前6项和S₆等于(   )

  　　　　(A)80        (B)120       (C)140      (D)180

答案为C.

例11．在等差数列 中，若a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450，则a₂+a ₈的值是(   )

  　　　　(A)45       (B)75      (C)180      (D)300

答案为C.

例12．（2007年高考江苏理科）已知 是等差数列， 是公比为 的等比数列， ， ，记 为数列 的前 项和．

（1）若 （ 是大于 的正整数），求证： ；

（2）若 （ 是某个正整数），求证： 是整数，且数列 中的每一项都是数列 中的项；

（3）是否存在这样的正数 ，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．

解：（1）设等差数列的公差为 ，则由题设得 ， ，且 ．由 得 ，所以 ，

．

    故等式成立．

（2）（ⅰ）证明 为整数：

    由 得 ，即 ，

    移项得 ．

    因 ， ，得 ，故 为整数．

（ⅱ）证明数列 中的每一项都是数列 中的项：

设 是数列 中的任一项，只要讨论 的情形．

   令 ，即 ，

   得 ．

   因 ，当 时， ， 为 或 ，则 为 或 ；

   而 ，否则 ，矛盾．

   当 时， 为正整数，所以 为正整数，从而 ．

   故数列 中的每一项都是数列 中的项．

（3）取 ， ， ．

      ．

   所以 ， ， 成等差数列．