让 戈达尔:江苏省南京外国语学校2011届高三3月份调研考试 数 学 试 题

江苏省南京外国语学校2011届高三3月份调研考试

数 学 试 题

（本试卷满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）

1．复数z =i²(1+i)的虚部为___ _ __．

2．已知 ，则 ＝_________．

3．若曲w ww.k s5u.c om线 在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为          ．

4．如图所示，墙上挂有一边长为 的正方形木板，它的四个角的空白部分

都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设

每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴

影部分的概率是__   ___．

5．设 ，若 ，则实数 的取值范围是         ．

S← 1

For I from 1 to 9 step 2

S←S + I

End for

Print S

，线段 被抛物线 的焦点 分

成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为        ．

7．左面伪代码的输出结果为          ．

8．公差w ww.k s5u.c om为 的等差数列 中, 是 的前 项和,

则数列 也成等差数列，且公差为 ，类比上述结论，相应地在公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有          ．

9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 ，则方程 有实根的概率为          ．

则          ．

11．已知点O为 的外心，且 ,则            ．

12．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是            ．

13．对于函数 ，在使 ≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数  的“下确界”，则函数 的下确界为            ．

14．三位同w ww.k s5u.c om学合作学习，对问题“已知不等式 对于 恒成立,求 的取值范围”提出了各自的解题思路.

    甲说：“可视 为变量， 为常量来分析”.

 乙说：“不等式两边同除以 ²，再作分析”.

    丙说：“把字母 单独放在一边，再作分析”.

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 的取值范围是         ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分）

15．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）

已知向量a=(sin( +x), cosx)，b =(sinx,cosx), f(x)=a·b．

⑴求f(x)的最小正周期和单调增区间；

⑵如果三角形ABC中，满足f(A)= ，求角A的值．

16．（本小题满分14分）

已知函数f(x)=x²－x＋alnx

    (1)当 时， 恒成立，求 的取值范围；

    (2)讨论 在定义域上的单调性；

17．（本小题满分14分）

即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数)

18．（本题满分16分，第1问6分，第2问10分）

已知函数 ，常数 ．

（1）设 ，证明：函数 在 上单调递增；

（2）设 且 的定义域和值域都是 ，求常数 的取值范围．

19．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）

已知数列 中， 且点 在直线 上.

（1）求数列 的通项公式；

（2）若函数 求函数 的最小值；

（3）设 表示数列 的前项和。试问：是否存在关于 的整式 ，使得 对于一切不小于2的自然数 恒成立？ 若存在，写出 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）

已知函数 ,过点P(1,0)作曲线 的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．

（1）当 时，求函数 的单调递增区间；

（2）设|MN|= ，试求函数 的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内，总存在m＋1个数 使

得不等式 成立，求m的最大值．

江苏省南京外国语学校2011届高三3月份调研考试

数 学 试 题 答 案

一、填空题：

1． -1　2． 　3．（1，0）　4． 　5． 　6． 　7．26

8． 　9． 　10．60　11．6　12．

13．0.5 　14．  

二、解答题：

15．解：⑴f(x)= sinxcosx+ + cos2x = sin(2x+ )+

T=π，2 kπ- ≤2x+ ≤2 kπ+ ，k∈Z,

     最小正周期为π，

单调增区间[kπ- ,kπ+ ],k∈Z.

     ⑵由sin(2A+ )=0, <2A+ < ,

∴2A+ =π或2π，∴A= 或

16．(1)解：由 恒成立,得: 在 时恒成立

       当 时                   -----------------------2分

       当 时即 ，令  ,        --------4分

       时  , 在 时为增函数， 在 时为减函数

       ∴    ∴              -------------------------------6分

(2)解：f(x)=x²－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋ = ，x＞0

（1）当△=1－8a≤0，a≥ 时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数． ----8分

（2）当a＜ 时

①当0＜a＜ 时， ，f(x)在 上为减函数，

f(x)在 上为增函数．           --------------------------11分

②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． ----------12分

③当a＜0时， ，故f(x)在（0， ]上为减函数，

       f(x)在[ ，＋∞）上为增函数．           ------------------------14分

18、（12分）设这列火车每天来回次数为 次，

每次拖挂车厢 节                2分

     则设  由   解得

                                            4分

   设每次拖挂 节车厢每天营运人数为 人                1分

   则                         2分

   当 时,总人数最多为15840人                 2分

答:每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人.  1

17．解:（1）任取 ， ，且 ，

，

因为 ， ， ，所以 ，即 ，故 在 上单调递增．或求导方法．

（2）因为 在 上单调递增，

的定义域、值域都是 ，

即 是方程 的两个不等的正根

有两个不等的正根．所以 ，

19．解：（1）由点P 在直线 上，

即 ，且 ，数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列

   ， 同样满足，所以   （2）

     所以 是单调递增，故 的最小值是

（3） ，可得 ，      ，

，n≥2   

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立

20． 解：（1）当    

.则函数 有单调递增区间为 -

   （2）设M、N两点的横坐标分别为 、 ，

    同理，由切线PN也过点（1，0），得  （2）

    由（1）、（2），可得 的两根，

        把（*）式代入，得

     因此，函数                      

（3）易知 上为增函数，

    由于m为正整数， .                                             又当

    因此，m的最大值为6.