九乡新闻网芜湖市长:贫富差距，洛伦兹曲线和基尼系数
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/30 06:50:14
贫富差距，洛伦兹曲线和基尼系数
所谓贫富差距，指的是富人和穷人所拥有的财产数量的差距
首先我们看两个极端的例子
例一：
假象一个极端公平的社会，不存在富人和穷人之分，所有的人的财产都是相等的，这样一个乌托帮式的理想国具体是怎么样的呢？在这样的社会里任何比例的人就拥有该比例的财产，％20的家庭拥有社会总财产的％20，％50的家庭应该拥有50％的财产。
例二：
再设想另一个极端不公平的社会，一个人拥有所有的财产，而其他所有人都没有财产，这有点像普天之下莫非王土的中国古代社会，即使在那个社会也没办法满足那样极端不公平的要求。在一个100人的社会中1个人占有100％的财产，而％99的人拥有0％的财产。
问题：用什么来衡量贫富差距？或者，如果不考虑已经拥有的财产，如何来衡量收入分配的不平衡？
在回答这个问题之前，我们先来看一个表格
% 人口的百分比
% 收入的百分比
% 人口的百分比
% 收入的百分比
20
8.7
20
8.7
20
14
40
22.7
20
18.1
60
40.8
20
22.9
80
63.7
20
36.3
100
100
这个是意大利2000年的统计数据，左边两列是将人口平分得出的结果，右边两列则是左边的累加产生的结果。
从这个表格我们可以发现，最贫穷的20％的人口仅得到8.7％的收入，而最富有的20%人群得到36.3%的收入，从这个表格我们可以看出收入分配的不平衡。
将表格的右边两列分别做为x周坐标和y轴坐标，并在图中标出，就可以得到一个曲线
（注：这个曲线画的并不准确）
再回想，刚开始提到的两个极端的例子，这里直线y=x就是第一种极端情况的曲线，代表任意比例的人拥有该比例的财产。而x＝0和y=1形成的曲线则是代表第二种极限情形。
因此我们可以认为这样一个曲线可以用来表示收入的差距或者贫富的差距，也就是
- 先将所有住户以所得由小到大排列
- 横轴代表住户的"百分等级", 纵轴所显示的是"累积所得"占总所得的百分比
如下图:
如此一来, 描绘出来的点画成的曲线即为洛伦兹曲线。
尽管洛伦兹曲线很直观，但是做为一个标准还是稍显麻烦，于是我们需要一个更加简便的做法
- 我们可以想见: 如果每个住户的收入都一样的时候, 画出来的洛伦兹曲线是(0,0)到(1,1)的直线, 如果贫富差距愈大, 则 洛伦兹就会离那条直线愈远, 于是我们定义一个新的量，它是洛伦兹曲线和对角线围成的面积（也就是图中阴影面积）与三角形OEF的比:
很明显，这个比值越多，说明收入分配的差距越是明显，当它们达到极端情况时分别取到0和1。但是实际上阴影中的面积并不容易得到
为了得到这样一个阴影的面积
我们将采用不同的方法
1． 拟和法
我们假设洛伦兹曲线是一条连续光滑的曲线
利用刚开始给出的表格，我们有
20
8.7
40
22.7
60
40.8
80
63.7
100
100
于是我们知道这条曲线过6个点
(0,0),(0.2,0.087),(0.4,0.227),(0.6,0.407),(0.8,0.637),(1,1)
为了保证这几个标准值的一致性，我们假设这条曲线是一条5次函数
即存在
f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f
利用mathematica 可以分别得到
a=1.30208
b=-2.00521
c=0.833333
d=0.567708
e=0.302083
f=0
再对该曲线在[0,1]上取定级分得到S’=0.364583，再用S=1－S’=0.635417
就可以求出所需要的面积
实际上mathemetica还提供了用二次三次四次函数拟和的功能
2． 离散法
n是社会成员人数，xi和xj分别是不同成员的收入数
图片资料：
Reference
http://homepages.luc.edu/~gdituri/frame3.htm
http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/canswer11/
日本的贫富差距——从收入与资产进行分析 商务印书馆