艾利天镜多久刷新:且把金针度于人

且把金针度于人

转载

中考数学试题

赏析

教育价值

杂谈

且把金针度于人

    说明：本文是我结合2010年天津市中考数学第（25）题写的，也是希望借此可以

探讨中考数学试题之中所蕴含的教育价值，以更好地服务于中学数学课堂的教与学。

已发表于《中学数学教学参考》2010年第9期（中旬）

 “鸳鸯绣了从教看，莫把金针度与人”，意思是说好诗可以任人欣赏，但不要把作诗的秘诀传授给他人．胡适先生曾将后面的一句改为“且把金针度与人”，一字之差，袒露了他的胸襟和豁达．2010年天津市中考数学第（25）题（以下简称本题），不仅依托基本几何图形的特性，以点或线段的运动对图形产生的影响为载体，考查了学生对“图形与变换”、“图形与坐标”的理解，而且，也将基本的解题思路、将解决数学问题的一般方法予以呈现，使试题赋予了丰厚的“度与人”的内涵．

本文拟结合本题的呈现方式、解法分析、拓展性问题等方面的研究，浅析中考数学试题设计中蕴含的教育价值．

1  问题的呈现温馨友善，彰显人文关怀

1.1  试题呈现

（原题请见天津市中考数学试题第（25）题）

1.2  简要评析

本题以基本几何图形为背景，主要考查轴对称变换、平移变换的基本概念和基本应用，以及在图形的变化过程中，对基本图形的识别、推理论证和计算的能力．

第（Ⅰ）问，要求确定“使△ 的周长最小时”点的坐标，关键是要找到点的位置．为帮助更多的考生解答本题，本题设计了“温馨提示”．这种呈现方式，一方面，具有很好的亲和力，增强了考生解答本题的信心，体现了命题者对广大考生的关爱；另一方面，通过提示本题解答的切入点，点拨解题思路，使考试功能得到很好的补充和完善，考试不仅仅是评价的过程，同时，也是一种指导考生自主学习的过程．

第（Ⅱ）问，要求确定“使四边形 的周长最小时”点、的坐标．事实上，是将第（Ⅰ）问“确定点的位置”的问题，拓展为“确定线段的位置”的问题．可以借助第（Ⅰ）问中的“温馨提示”，通过适当地平移线段，将问题转化为第（Ⅰ）问的情况予以解决，体现的是一种思路上的自然的延续．

营造温馨的解题氛围，降低起点，延缓坡度，将“思路”与“方法”同时“度与人”的设计，彰显了中考数学试题“关爱每一位考生”的人文情怀．

2  问题的解决注重方法，突出数学思维

通常情况下，研究几何图形的基本思路，关键是探寻“变化过程中的规律性”，解决的一般方法是“先定性，后定量”，本题就是一个很好的范例．

2.1  第（Ⅰ）问解法探究

首先，第（Ⅰ）问的“定性”，是命题者以“温馨提示”的方式给出的，可以证明依照这样的方法作出的点 ，能够使△ 的周长最小．

如图③，作点D关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点E， 连接 ，若在边 上任取点 （与点E不重合），连接 、 、 ，由，可知点 到 、 两点的距离之和是最小的，即△ 的周长最小.

接下来的“定量”，可以有四种基本的方法．

方法1，利用相似．因为 所在的三角形为△ 或△ ，借助与之相似的三角形，如Rt△ ∽Rt△ ，或Rt△ ∽Rt△ ，得到含有 的比例式 或 ，再结合已知矩形 中线段的长，可求得 ，所以，满足条件的点 的坐标为（1，0）.

方法2，借助于直线的解析式．根据题意，易得点 、点 ，可得直线 的解析式为，点即为该直线与轴的交点，令，得 ，于是点 的坐标为（1，0）.

方法3，借助于面积之间的关系．设 ，由 ，再结合已知矩形 中相关线段的长，可得关于的关系式，解得 ，即点 的坐标为（1，0）.

方法4，利用勾股定理．设 ，则 ．在Rt△ 、Rt△ 和Rt△ 中，根据勾股定理，得 ， ， ，由 ，得关于 的关系式，解得 ，即点 的坐标为（1，0）.

2.2  第（Ⅱ）问解法探究

解答第（Ⅱ）问，可以完全类比第（Ⅰ）问的方法，关键也是要先确定点 、 的位置．由于、的长为定值，要使四边形的周长最小，只需最小．

如图④，在 边上截取 ，即将 平移至 的位置，不论 落在边 的何处，四边形 始终为平行四边形，有 ．此时，只需 最小，问题转化为第（Ⅰ）问的情况．于是，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，在 上截取 ，得点．这样得到的点、，使四边形的周长最小．其中，关键的想法，是“先平移，后作轴对称”，即先通过截取 ，将 平移至 ，再作点 关于 轴的对称点 ，为转化成第（Ⅰ）问的情况奠定了基础．

类似地，也可以按照如图⑤的作法，在确定点、的位置时，“先作轴对称，后平移”．即先作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 轴的平行线，并截取 ，连接 ，得点，再在 上截取 ，得点，连接，则四边形 为平行四边形，此时是把 平移到了 的位置，使 ，为运用“两点之间线段最短”创造了条件．

对于第（Ⅱ）问的“定量”，也可以类比第（Ⅰ）问的四种基本方法，进行解答．如类比方法1，如图④，借助于Rt△ ∽Rt△ 或Rt△ ∽Rt△ ，列出关系式，得 ， ，所以， 满足条件的点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）.同样，类比方法2、方法3、方法4，结合图⑤的作法，均可得到上述结论．

可见，本题第（Ⅱ）问的解答，就是建立在第（Ⅰ）问的基础上，通过几何图形的平移、轴对称的变换，紧扣“周长最小”这个“不变量”，实现了解题思路的正迁移．

像这样，能综合运用分析、类比、转化、推理等思维方式，以达成解题效率最优化的设计，也正是本题在“数学思维”层面上要“度与人”的内容．

3  问题的拓展内涵丰富，体现研究价值

3.1  数学模型的应用价值

本题第（Ⅰ）问，实质上，就是已知直线 及 同侧两点 ， ，要在直线 上找一点 ，使 最小．

如图⑥，点 为点 关于直线 的对称点，连接 ， 与直线 交于点，由于直线是线段的垂直平分线，根据“两点之间线段最短”，此时的点一定满足“到，两

点的距离之和”最短．这一基本的数学模型，在实际生活中，有着广泛的应用．

如人教版课标实验教材（供天津用）八年级上册“13.2轴对称变换”，在“探究”栏目中设置的“选址修建泵站”的问题，即“要在燃气管道上修建一个泵站，分别向，两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？”其数学模型就是如图⑥的情形．

本题第（Ⅱ）问，实质上，就是已知直线及同侧两点、，要在直线 上找两个点 、 ，（线段 的长为定值），使 最小．

如图⑦，过点 作直线 ∥ ，截取 ，相当于将 平移至的位置，事实上，不论在直线上位于何种位置，四边形始终都是平行四边形，这样，只需确定点的位置就可以了，其问题的本质还是如图⑥的数学模型．

这在解决实际问题中，也是屡见不鲜的．如人教版课标实验教材（供天津用）七年级上册“2.4平移”一节的习题中，设置的“选桥造址”问题，就是一个典型的例证．

应该说，数学模型的应用价值，一方面，是从实际问题中抽象出数学模型，通过解决数学问题，完成对实际问题的解答；另一方面，就是以数学的“眼光”，审视实际生活情景中遇到的问题，回归数学模型的“原始状态”，学以致用．本题的设计，也正是基于这样的想法，将一基本的数学模型，“嫁接”于平面直角坐标系中的矩形之内，让“图形与变换”、“图形与坐标”有机整合，使试题具有了一定的探究“空间”．

3.2  进一步深化的研究价值

本题所涉及的矩形 ，限定了边长 ， ，如果进行适当的拓展，取 ， ，其中 、为定值，且满足，，则在轴上仍然存在长为2的线段，可以使四边形的周长最小，此时，点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）.本题第（Ⅱ）问就是当时的特殊情况．当然，在此基础上，若将线段的长设为，同样可以探究“使四边形的周长最小”时的点 、 的坐标．

事实上，如果将本题中的“矩形”改为“三角形”或“梯形”等，也同样可以得到一系列变式的题目，其本质，仍然是通过轴对称变换或平移变换，借助于“两点之间线段最短”，转化为如图⑥的基本模式予以解决．有兴趣的读者不妨一试，或者您还可以尝试着“变式”出更多更优美的题目．

中考数学试题，能否将中学数学的核心内容、思想方法，将解决问题的一般思路和策略，以及考查内容本身进一步研究的价值，加以提炼和概括，并以恰当的呈现方式“度与人”，使其在更大的范围内发挥效能，应该是中考数学试题设计的追求，也是一项值得深入探讨的话题．

后记：实在没有办法，数学符号和图总是粘贴不上，也只好这样了。原文请见《中学数学教学参考》2010年第9期（中旬）。