股骨头医院官网:第三章第七节第一小节

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第七节 曲率

一、弧微分

作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的概念。

设函数f(x)在区间（a ,b）内具有连续导数，在曲线 y=f(x)上取固定点作为度量弧长的基点 ，并规定依x增大的方向作为曲线的正方向. 对曲线上任意一点 ，规定由向弧段的值s（简称为弧s） 如下：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s> 0.相反时 s < 0,显然，弧s= 是x的函数：s=s(x) 是s的单调增加函数。下面求s(x)的导数与微分。

M0

M

M’

x0

x

x+

　

设为（a ,b）内两个邻近的点，他们在曲线y=f(x)上的对应点为，，并设对应于x增量 为，弧s 的增量为 ，那么                   

于是                            

变换得                          

令 取极限，由于时，，这是弧的长度与弦的长度之比的极限等于 1 ,即

于是得到  ，即    这就是 弧微分公式 。

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