铝箔淋膜保温被:向量在解析几何中的综合应用教学设计
向量在解析几何中的综合应用教学设计
高密发达学校 李秀贵 2011年7月21日 16:24
杜乾古于11-7-21 23:27推荐教学过程、举例与分析,设计新颖,值得借鉴学习。韩相河于11-7-22 10:15推荐教学设计层层深入,例题经典,分析透彻,值得借鉴。一、教学目的
1.经历分析、研究的过程,使学生能正确运用平面向量的有关知识,将涉及平面向量的解析几何问题,化归为较熟悉的解析几何问题。
2.培养学生在较为复杂的问题情景中能冷静观察,积极思考。注意培养学生正确运用数学思想方法,提高分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生在问题的变化中积极创新,在问题的发展中敢于创新的精神。
二、教学过程
1.导言
平面向量是新课程关注的内容。近几年全国各地的高考试题中,向量与解析几何的综合问题时有出现。
2.例题
例1.过抛物线
教师:画出草图,请学生分析问题。
学生:
有同学给出如下思路:
教师:问题的关键是求
题中的向量条件还能告诉我们什么?
(学生相互交流,有学生回答:向量条件还告诉我们线段的比例关系)
教师在表扬学生能认真观察,积极思考的同时,指出根据抛物线定义,发现焦半径
变化1 将例1中
变化2 将例1中抛物线
变化3 将例1中的抛物线改为中心为原点,焦点在
[评析] 问题的变化,拓宽了学生的思维空间,增强了学生对问题的进一步认识。问题的变化,不仅对共线向量坐标化这一基本方法深刻理解,而且培养了学生思维的广阔性,也增强了学生的学习热情。
例2.已知椭圆的中心为坐标原点
教师:回顾例1中,
学生:我们可以从
(教师鼓励学生继续探索下去)
教师:刚才我们仍然从共线向量出发,没有在椭圆的焦半径
由此我们认为,题中给出的共线向量一般可转化为相应的坐标关系式,进而通过韦达定理等方法获得问题的解。(教师和同学们一起总结、归纳、比较,提高对解题思路的理性认识) 例1到例2,问题变了,解题思想方法没变——即本质没变。
[评析]:教师及时进行评价。教师的评价体现了教师的眼光,它是引导学生学会学习、学会思考、学会研究的重要的教学环节,是教学过程中不能缺少的也无法替代的内容。
教师:一起看第(Ⅱ)题。
同学们情绪很好,全身心投入到问题的探索过程中。许多同学能抓住
又
则
教师通过多媒体(或投影)整理学生的上述解题过程。再次指出,由共线向量,获取坐标关系式是解题的关键一步,由此使复杂的问题转化为一般的熟悉的解几问题了,大大降低了思维难度。当然,运算中对称式的运用要有一定技巧,否则,运算很可能陷入困境。
教师:问题(Ⅱ)是怎样改编来的?(让学生当老师,当命题人,教室气氛热烈)
经过交流、讨论、思考,学生终于发现“
[评析]:问题背后的问题,又一次让学生看清了问题的本质,懂得了问题之间是有联系的哲学道理!问题的主线是“共线向量——坐标关系式——参数思想”。
学生发现了问题背后的问题,“出乎意料”。这是数学的奇异美的体现。这种让人能感受到一种奇异的美感愉悦的教育也体现了“知识课堂”与“智慧课堂”与“生命课堂”三者之间的辩证统一。
例3.椭圆
学生很快给出如下解答:
(备用)例3.如图,已知椭圆
由
椭圆方程为:
教师:没有急于给出例4,而是让学生思考:例3与例1、例2有何联系?有何区别?
学生: 很快发现了问题之间的区别和联系。学生认为,例3中的向量“几何化”,这是与例1、例2的重大区别。
教师表扬学生在简单的问题中能发现哲理性的内容。学生由共线向量的情景切换到向量的数量积这一新的情景中,教师要循循诱导,引导学生,让学生比较问题之间的区别与联系,能进一步巩固已经取得的教学成果。例3中给出了向量的数量积等于0这一条件,能否使这一条件更一般化?(拓展研究空间) 由此引出例4
例4.如图,直线
若
教师:题设中给出共线向量,也给出向量的数量积,我们从何下手?迈好第一步非常重要,人生不也是如此?
教师展示自己问题研究的思维过程,并请同学们进行评价。学生评价教师的思维过程增强了教学的民主性和科学性。教学要坚持科学、民主,新课改也关注这一理念。
教师:我们希望建立
设椭圆上
则
由
则
由
即
由
为此,
椭圆为
学生A评价:老师抓住“当
学生B评价:获得①时,并没有什么进展,老师能冷静分析,运用向量的数量积的坐标标示,建立
教师:刚才同学们的评价是正确的、科学的,很高兴同学们在学习中用自己的眼光、思想来看“世界”,来评价“世界”。巴尔扎克曾说,一个有思想的人,是一个能力无限的人。
变化:将
教师:用上面的方法很难完成。
师生讨论:
教师:比较是一种哲学思想,让学生在比较中获取智慧。再次强调例3、例4与例1、例2的联系与区别。例4的条件中既有“共线向量”,又有“向量的数量积”,共线向量一般可转化为坐标关系式。向量的数量积用坐标表示,还是用定义表示,还是“几何化”,要全面分析,正确选择!
[评析]:真实展现老师的思维过程,让学生真实地看到老师的研究过程,看到老师是如何绕过障碍,如何修正错误……这是心灵的交流。科学、民主的教学活动对培养学生的理性思维、创新意识尤为重要。2006年考试大纲指出:“对思维能力的考查贯穿于全卷,重点体现对理性思维的考查,强调思维的科学性、严谨性、抽象性”。学生C指出了教师思维还不很科学,并改进了解题过程,对全体同学的教育很有意义。学生A、学生B品味教师思维过程中合理的部分、成功的部分,能引起同学们更多更深入地思考。其实,在每个学生心中最隐秘的一角,都有一根独特的琴弦,拨动它就会发出特有的音响。要使学生的心同我们讲的话发生共鸣,我们自身就需要同学生的心弦对准音调。(苏霍姆林斯基)
小结:
⑴今天我们研究了“解几与向量的综合问题”。一类涉及共线向量,另一类涉及向量的数量积。研究这二类综合问题,首先应从“向量”条件入手,去寻求合理的解题线索。基本的思想方法是:
⑵正确运用方程思想、函数思想、参数思想、化归思想是解决这类问题的关键。
⑶在任何环境下,我们要冷静思考,积极观察,从研究主要矛盾研究入手,沟通信息之间联系,使复杂问题简单化。