铝箔淋膜保温被:向量在解析几何中的综合应用教学设计

向量在解析几何中的综合应用教学设计

高密发达学校    李秀贵    2011年7月21日 16:24

一、教学目的

1．经历分析、研究的过程，使学生能正确运用平面向量的有关知识，将涉及平面向量的解析几何问题，化归为较熟悉的解析几何问题。

2．培养学生在较为复杂的问题情景中能冷静观察，积极思考。注意培养学生正确运用数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。

3．培养学生在问题的变化中积极创新，在问题的发展中敢于创新的精神。

二、教学过程

1．导言

平面向量是新课程关注的内容。近几年全国各地的高考试题中，向量与解析几何的综合问题时有出现。

2.例题

例1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则直线的方程                      .

教师：画出草图，请学生分析问题。

学生：

有同学给出如下思路：

教师：问题的关键是求. 题设中的“向量”条件为我们提供了的坐标关系式。参数思想的正确运用也是本题考查的重点。

题中的向量条件还能告诉我们什么？

（学生相互交流，有学生回答：向量条件还告诉我们线段的比例关系）

教师在表扬学生能认真观察，积极思考的同时，指出根据抛物线定义，发现焦半径、有特殊的几何意义，通过平面几何的比例关系，求得的值。（请同学们课外完成）

变化1  将例1中过定点（0，1）改为过定点，求的方程.用什么方法？

变化2  将例1中抛物线改为 弦过焦点，其它条件不变，用哪一个方法解决问题较为简便？

变化3  将例1中的抛物线改为中心为原点，焦点在轴上的椭圆，仍为过焦点的弦，给出新的共线向量，就是2005年全国卷试题压轴题（见例2）

[评析]  问题的变化，拓宽了学生的思维空间，增强了学生对问题的进一步认识。问题的变化，不仅对共线向量坐标化这一基本方法深刻理解，而且培养了学生思维的广阔性，也增强了学生的学习热情。

 例2．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆与、两点，与共线.  (Ⅰ)求椭圆离心率. (Ⅱ)设为椭圆上任一点，且，求证为定值.

教师：回顾例1中， 给出向量的共线关系，我们从共线关系出发，获得“坐标关系式”，打开解题大门。例2中也有类似的共线向量！

学生：我们可以从与共线入手，给出“坐标关系式” 。

（教师鼓励学生继续探索下去）

教师：刚才我们仍然从共线向量出发，没有在椭圆的焦半径上停留“脚步”。单刀直入，迅速获得 使问题明朗化。

由此我们认为，题中给出的共线向量一般可转化为相应的坐标关系式，进而通过韦达定理等方法获得问题的解。（教师和同学们一起总结、归纳、比较，提高对解题思路的理性认识）  例1到例2，问题变了，解题思想方法没变——即本质没变。

[评析]：教师及时进行评价。教师的评价体现了教师的眼光，它是引导学生学会学习、学会思考、学会研究的重要的教学环节，是教学过程中不能缺少的也无法替代的内容。

教师：一起看第（Ⅱ）题。

同学们情绪很好，全身心投入到问题的探索过程中。许多同学能抓住，把看成一个向量，又看到“共线向量”，为此设：

及 可得

又

则

教师通过多媒体（或投影）整理学生的上述解题过程。再次指出，由共线向量，获取坐标关系式是解题的关键一步，由此使复杂的问题转化为一般的熟悉的解几问题了，大大降低了思维难度。当然，运算中对称式的运用要有一定技巧，否则，运算很可能陷入困境。

教师：问题（Ⅱ）是怎样改编来的？（让学生当老师，当命题人，教室气氛热烈）

经过交流、讨论、思考，学生终于发现“”，题Ⅱ是由“”改编而来的。这就是问题背后的问题。

[评析]：问题背后的问题，又一次让学生看清了问题的本质，懂得了问题之间是有联系的哲学道理！问题的主线是“共线向量——坐标关系式——参数思想”。

学生发现了问题背后的问题，“出乎意料”。这是数学的奇异美的体现。这种让人能感受到一种奇异的美感愉悦的教育也体现了“知识课堂”与“智慧课堂”与“生命课堂”三者之间的辩证统一。

例3．椭圆的弦过焦点，又. 求椭圆的离心率.

学生很快给出如下解答：

    代入

 （备用）例3．如图，已知椭圆为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，求椭圆的方程.

由，，得，

代入得，

椭圆方程为：

教师：没有急于给出例4，而是让学生思考：例3与例1、例2有何联系？有何区别？

学生: 很快发现了问题之间的区别和联系。学生认为，例3中的向量“几何化”，这是与例1、例2的重大区别。

教师表扬学生在简单的问题中能发现哲理性的内容。学生由共线向量的情景切换到向量的数量积这一新的情景中，教师要循循诱导，引导学生，让学生比较问题之间的区别与联系，能进一步巩固已经取得的教学成果。例3中给出了向量的数量积等于0这一条件，能否使这一条件更一般化？（拓展研究空间）  由此引出例4

例4．如图，直线交椭圆于、，过右焦点，在射线上. 的面积为，且.

若，，，在椭圆上，求最小时的椭圆方程.

教师：题设中给出共线向量，也给出向量的数量积，我们从何下手？迈好第一步非常重要，人生不也是如此？

教师展示自己问题研究的思维过程，并请同学们进行评价。学生评价教师的思维过程增强了教学的民主性和科学性。教学要坚持科学、民主，新课改也关注这一理念。

教师：我们希望建立，谁为变量呢？还不清楚，需要我们去选择。

设椭圆上点坐标为，

则 ，、中哪一个为变量？继续探索

由，在椭圆上，设

则 (共线向量坐标化.)

           由得

      即           ②

      由得     ③

为此，为变量， .

     椭圆为 .  

 学生A评价：老师抓住“当最小时”这一信息，努力建立，运用了函数思想，思路清晰。

学生B评价：获得①时，并没有什么进展，老师能冷静分析，运用向量的数量积的坐标标示，建立的关系式，从而走出困境。要学习老师遇挫折时冷静分析，敢于探索的品质。学生C评价：老师建立了后，老师可能急于选择变量，思考的落脚点转向，这一段思维过程不合理，对建立没有帮助。在出现后，应积极探索的关系式。在求得时，，再由共线向量坐标化，得。教师接受该同学的建议。

教师：刚才同学们的评价是正确的、科学的，很高兴同学们在学习中用自己的眼光、思想来看“世界”，来评价“世界”。巴尔扎克曾说，一个有思想的人，是一个能力无限的人。

变化：将改为 并将“求最小时的椭圆方程”改为“求向量和的夹角的范围”.

教师：用上面的方法很难完成。

师生讨论：用定义表示会使问题简单化。

教师：比较是一种哲学思想，让学生在比较中获取智慧。再次强调例3、例4与例1、例2的联系与区别。例4的条件中既有“共线向量”，又有“向量的数量积”，共线向量一般可转化为坐标关系式。向量的数量积用坐标表示，还是用定义表示，还是“几何化”，要全面分析，正确选择！

 [评析]：真实展现老师的思维过程，让学生真实地看到老师的研究过程，看到老师是如何绕过障碍，如何修正错误……这是心灵的交流。科学、民主的教学活动对培养学生的理性思维、创新意识尤为重要。2006年考试大纲指出：“对思维能力的考查贯穿于全卷，重点体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性”。学生C指出了教师思维还不很科学，并改进了解题过程，对全体同学的教育很有意义。学生A、学生B品味教师思维过程中合理的部分、成功的部分，能引起同学们更多更深入地思考。其实，在每个学生心中最隐秘的一角，都有一根独特的琴弦，拨动它就会发出特有的音响。要使学生的心同我们讲的话发生共鸣，我们自身就需要同学生的心弦对准音调。（苏霍姆林斯基）

 小结：

⑴今天我们研究了“解几与向量的综合问题”。一类涉及共线向量，另一类涉及向量的数量积。研究这二类综合问题，首先应从“向量”条件入手，去寻求合理的解题线索。基本的思想方法是：

⑵正确运用方程思想、函数思想、参数思想、化归思想是解决这类问题的关键。

⑶在任何环境下，我们要冷静思考，积极观察，从研究主要矛盾研究入手，沟通信息之间联系，使复杂问题简单化。