黑铁矿石:古代战争中的博弈——庙算

三个快枪手秦楚汉

秦二世九年，章邯命王离领军20万围钜鹿，自领20万兵屯于不远处的棘原，筑甬道直达钜鹿城外，供应王离军粮草。战旗猎猎，黑烟滚滚，钜鹿城墙在秦兵汹涌冲击下簌簌战栗。
项羽、刘邦诸军集结于彭城，共议破秦大计。是时大雨滂沱，人心惶惶。天下之势如风云变幻，诡谲莫测，胜负之判只在一念之差耳！起义军何去何从？
抛开历史，我们引入一个模拟游戏，以三位快枪手分别代表秦楚汉三军，以枪法的优劣代表三军武力的大小。枪手甲的命中率为80%，代表强大的秦军；枪手乙的命中率为60%，代表羽翼渐丰的楚军；枪手丙的命中率为40%，代表孱弱的汉军。三人均有不可调和的矛盾，不存在彼此间的信义，只存在永远的利益与仇恨。这样，他们只好以决斗的方式作个了断。那么一阵乱枪之后，谁会被干掉？谁又会活下来？
乍一看，枪法最好的甲活下来的机会最大，丙最惨，40%的命中率还不如用来自杀呢。然而，一阵嘈杂的枪声后，结果却是甲和乙横尸于野，饮恨西归。丙则望着自己冒烟的枪口，傻愣愣的吹着气。
怎么会这样？道理很简单，甲首先选择攻击的目标是乙，因为乙对他的威胁最大。同样，乙也会毫不迟疑的把枪口对准甲。烂枪手丙自然也要对甲开枪，不管怎么说，乙到底比甲差一些。于是乱枪决战之后，甲和乙还能活下来的机会少得可怜，分别只有24%，20%，丙是100%。普鲁士军事理论家克劳塞维茨说，战争不过是一场较大规模的决斗。没错，把三个快枪手的决斗模型搬到战争中，也颇合乎情理。在钜鹿之围中，秦军的势力最强，总兵力达40万，其中20万是王离防御匈奴的精锐部队。且刚刚击溃项梁，攻略赵地，挟新胜之威，武力盛极。楚军实力次之，定陶一战，主将项梁身亡。但楚对秦朝的反抗基础仍在，所谓亡秦必楚。汉军最差，基本上没与秦军主力正面交锋过。楚汉双方任一方都不足以与秦军抗衡。这样，在气焰正炽的秦军压力下，楚汉的结盟是博弈的结果，是历史的必然。秦楚的血腥碰撞亦然。
彭城会议的决策是：一路以宋义为上将军、项羽为次将军率楚军主力5万救钜鹿，另一路由刘邦率汉军趁虚经函谷关攻咸阳，并约定二路大军先入咸阳者为关中王。楚军是这个联盟中最肯卖命的一方，所以楚军不但在钜鹿一役中破釜沉舟，重创了秦军。更在此后的推翻秦王朝统治的战争中长期充当主力。而刘邦几乎是兵不血刃就清空了秦王朝的后方，就像是那个拙劣的快枪手丙冲甲无关痛痒的开了几枪。他却率先入关，可谓占尽了便宜。隔远一点看，秦楚汉三军的命运是不是有点像三个快枪手的结果呢？
当然，战争中有士气、统率力、民心、天气等诸多不测因素，以这个博弈模型一概而论有失简单。但是纵观数千年战争史，将帅们在决策上的斗智斗勇无不是博弈的结果。博弈用孙子的话说就是“庙算”。夫未战而庙算胜者，得算多也。夫未战而庙算不胜者，得算少也。孙子是世界上第一个将计算科学引入战略决策的军事家。他的许多观点被认为是战争经验的高度总结，而今天看来，《孙子兵法》的许多内容也包含不少理论演绎的成分。
图  普鲁士军事理论家克劳塞维茨
 

人海战术与线性平方律

孙子所处的春秋末年，弩作为一种较弓更强劲的远射武器登上了历史舞台。《孙子兵法》中已将弩与甲胄并列为兵器，又以弩机的扩张形容战势：势如扩机。这暗示着一种崭新的战斗方式线性战术越来越频繁的出现。所谓线性战术是指正面的直线冲锋，这种战斗方式一直沿续到19世纪晚期，直到强大杀伤力武器机枪的问世。孙子敏锐的从这种新的战斗类型中总结出一条规律：十则围之，五则攻之，倍则分之。这十二字箴言被历代兵家视为圭臬，但他们完全不能领悟这一庙算的奥妙。直到2000多年后一位英国工程师兰切斯特用微分方程证明了这条规律。
兰切斯特线性平方律说的是：在线性战术下，近距离格斗时，任一方的实力和本身战斗单位的数量的平方成正比。这就是说，如果蓝军平均单位战斗力是红军四倍的话，100名蓝军和400名红军的战斗力相同，两军远距离射击的结果是同归于尽。但若是近距离搏斗，则红军的战斗力满足线性平方律，100名蓝军和400名红军近战后，当蓝军100人全军覆没时，红军仍有346人留下，即损失54人①。这便是人海战术的数学解释。兰切斯特成功的用此定律解释了特拉法尔加海战中纳尔逊各个击破的成功诀窍。
上述孙子兵法恰好是这一数学规律博弈的结论。孙子的理论实际上隐含了一个前提，即假设我军的单位战斗力是敌人的一半。这当然是一种保守的假设，吴兵的单位战斗力在春秋末年应不是最差的。但是这种假设可确保在战场上万无一失的取胜。在这个前提下，当我军人数五倍于敌军时，直接进攻，因为兵力优势明显。当我军人数是敌人的两倍时，由于单位战斗力是敌人的一半，远距离攻击时总战斗力是势均力敌。直接进攻，不符合孙子所崇尚的以最小伤亡取得最大胜果的期望。而若是切割敌人，使其首尾不能兼顾，分而歼之，则能把己方损失降低到最小。这实际是人海战术的另一种巧妙运用。当兵力是敌人的十倍时，围而不歼。因为此时敌人已经知道取胜无望，不太可能负隅抵抗，只会自动投降。不战而屈人之兵，善之善者矣。
孙子亲力履行这一条战争规律，领吴兵三万，在山岳、丛林、水网等不同地形，采取迂回奔袭、寻机决战、深远追击、蚁附攻城等机动作战方案，集中优势兵力，对楚军各个击破。五战五捷，破强楚二十万，并攻陷郢都。尉缭子赞曰：有提三万之众而天下莫当者谁？曰武子也！
 

先下手为强与战争主动权

公元前506年，吴军在柏举迎战楚军。吴王的弟弟夫概早晨请示阖闾说：“楚令尹子常不仁，他的部下缺乏必死的斗志。我们抢先进攻，他们的士兵一定溃败。”阖闾拒绝了夫概的建议。夫概退下，与孙子商议，孙子表示赞同。夫概于是说：“臣义而行，不待命。”率部抢先攻击子常的部队。楚军大败，部将史皇所率车兵全部战死，令尹子常弃军仓皇逃往郑国。
孙子兵法素来强调“先机之利”。善战者，立于不败之地，而不失敌之败也，是故胜兵先胜而后求战。围棋上黑子有先行优势，战场上也是如此。闪电战便是一种以尽可能短的时间折叠空间的主动攻击战。先下手为强为什么在战争中会有优势？其中不乏庙算之奥妙。
举个例子，如果给你两个师，任务是攻克敌人的城市。你当司令。敌守军是三个师。通往城市有甲乙两条路。战场规律是当你发起攻击时，若你的兵力超过敌人则获胜，若等于或少于敌人兵力则失败。那么你取胜的概率是多少呢？战术又应该如何制定？
从表面上看这似乎是不可能完成的任务。按照克劳塞维茨的观点，同等兵力用来防守比用来进攻更有利。所以在相等的兵力下，城是攻不下来的。更何况敌人比你还多一个师呢。
然而，答案是集中兵力从一条道路攻击，取胜概率为一半对一半。分析如下。
敌人只有两种战术：A，两师守甲，一师守乙。B，反之。敌人不可能用三个师守一条路线。因为用三个师守与用个二师防守效果是一样的。
我军也只有两种战术：A，全军进攻甲。B，全军进攻乙。我军不可能还有第三种战术，比如分开兵力，一师进攻甲一师进攻乙。因为这样必败。所以，采用A、B两种战术的任一种，若攻在敌军薄弱处，则取胜。取胜的概率为1/2。
为什么我军兵力不及敌人，反而能够在进攻战术下不处劣势呢？道理很简单，你拥有战争的主动权，可以决定何时何地开战。毛泽东说：“一切战争的敌我双方，都力争在战场、战地、战区以至整个战争中的主动权，这种主动权即是军队的自由权。”
这道题普林斯顿大学的博弈课堂上的测试题。许多博弈大师曾在普林斯顿大学求学或任教，包括天才纳什。

后发制人与军事冒险

战争中在取得巨大的优势的情况下，此时敌人若采取狗急跳墙式的冒险战略，我方亦可采取后发制人的战略。不过此时的后发制人指的是一种因敌制宜的博弈战略。田忌赛马便是一种典型的后发优势的应用，只有在齐王率先出牌的情况下，田忌才能随机应变以不同优劣的赛马战而胜之。
春秋末年，晋国四卿中最具实力的智伯胁迫韩、魏两氏出兵向赵襄子宣战。赵襄子采纳谋臣张孟谈的建议，在坚固的晋阳城进行固守。
智伯统率三家联军猛攻晋阳三月不下，又围困一年多未克。联军顿兵坚城之下，渐渐趋于被动。而晋阳城中军民却是同仇敌忾，士气高昂。战势逐渐逆转，赵襄子便派遣张孟谈乘夜潜出城外，秘密说服韩、魏两家暗中倒戈。此时形势对智氏已经非常不利。智伯眼见战事拖延两年而进展甚微，不仅取胜无望还有可能自取灭亡。情急之下他想出一条妙计：引晋水淹灌晋阳城的计策，企图用它来攻破晋阳坚城。于是，智伯命令士兵在晋水上游筑坝，再挖一条河通向晋阳城西南。这是个相当冒险的决策，因为大水无情，对自军也构成一个强大的威胁。他于是又在围城部队的营地外，筑起一道拦水坝，以防水淹晋阳的同时也淹了自己的人马。而且此计之成功还取决于天气，如若雨季没有准时到来，决堤灌城只能是白费心机。然而他赌对了，工程竣工后，连日大雨不止，河水暴涨。智伯下令，掘开堤坝，一时间大水奔腾咆哮，直扑晋阳城。很快地晋阳全城都被浸没在水中了。城内军民只好支棚而居，悬锅而炊，病饿交加，情况十分危急。在这种形势下，赵襄子又该如何决策呢？
博弈论给出的答案是，在赢者通吃的游戏中，比如战争，取得巨大优势时如果敌人采取冒险措施作最后一博，那么你所要做的是模仿敌人。普林斯顿大学教授阿维纳什曾用一个帆船比赛的故事来说明这种模仿策略的原理。
1983年美洲杯帆船赛决赛前4轮结束后，“自由女神号”在总共7轮比赛中暂时以3胜1负领先。第5轮比赛一开始，“自由女神号”就因为竞争对手“澳大利亚二号”的抢发而取得了37秒的优势。落后的“澳大利亚二号”的船长决定孤注一掷，转向赛道左侧，寄望于风向的变化，可以帮助他们赶上去。而“自由女神号”在优势心理下采取了保守策略，留在原来的右赛道。结果风向果然发生变化，“澳大利亚二号”反超，最终以4：3赢得了决赛桂冠。
实际上，在“自由女神号”取得了37秒的领先优势时，他们就获得了后动优势：对手押什么风向，他们就跟随押什么风向。这样，他们必胜无疑。因为如果对手押对了，他们也跟着押对。同样，如果对手押错了，那么大家都错。那37秒优势仍然管用。这便是后动优势的奥妙。
赵襄子固然不懂什么博弈论，但并不妨碍他选择对策略。他决定以其人之道还治其人之身，在一个约定的夜间展开军事行动：赵襄子在韩、魏的配合下，派兵杀死智伯守堤的官兵，掘开了卫护堤坝，放水倒灌智伯军营。智伯的部队从梦中惊醒，乱作一团。赵军乘势从城中正面出击，韩、魏两军则自两翼夹攻，大破智伯军，并擒杀智伯本人。三家乘胜进击，尽灭智氏宗族，瓜分其土地。
克劳塞维茨说：“战争有时就是冒险，但必须是有算计的，这样的冒险比不冒险事实上更安全。”可见风险这个家伙是最容易迷惑人的。不管它有多高，假如对手与自己冒同样的危险的话，则它是不可惧的!

黔驴技穷与不完全信息博弈

匈奴大举入侵上郡时，李广有一次带一百名骑兵，与匈奴数千骑兵遭遇。李广的一百骑兵非常恐慌，想仓皇逃奔。李广说：“我们离大军几十里，现在仅以一百骑逃跑，匈奴若追赶射击我们可能全军覆没。现在我们若留下，匈奴一定以为我们是为大军来诱敌，必不敢来袭。”李广于是命令骑兵说：“前进!”进到离匈奴阵地二里许停了下来，又下令说：“都下马解鞍!”他的骑兵说：“敌人多而且离得近，如果有紧急情况，怎么办?”李广说：“那些敌人以为我们会走，现在都解鞍就表示不走，可以使敌人更加坚持认为我们是来诱敌的错误判断。”于是匈奴骑兵就没敢攻击。有个骑白马的匈奴将军出阵监护他的兵卒，李广立即上马奔驰前去射杀了这个匈奴白马将军，然后又返回到他的骑兵中间，解下马鞍，命令士兵把马放开，随地躺卧。夜半时，匈奴兵还以为汉军有伏兵在附近准备夜间袭击他们，就全部撤走了。天亮，李广率部平安回到大军驻地。
在这次遭遇战中，双方兵力是严重不对称的，然而双方的信息同样是不对称的。李广的成功正是由于巧妙的利用了手里唯一一张好牌：信息。匈奴不知道自己与汉军在不同行动策略下的支付，即攻击汉军的成败，而李广对此了然于心。李广可选择的策略是“逃跑”或“留在原地”，不管哪种选择，只要匈奴知道他自己的支付，那么汉军均会惨败。李广唯一的办法就是不让匈奴知道他自己的策略结果。他主动出击，射杀匈奴白马将军以耀武扬威，这等于降低了匈奴的可能收益。在信息不充分的情况下，博弈参与者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的“期望支付”最大。比如，如果让你在50%的可能获得100元与10%的可能获得200元两者之间选择，你当然选择前者。制造解鞍休息的假象的目的是让匈奴感到进攻有较大失败的可能，用概率术语来说，李广的做法是加大匈奴对进攻失败的主观概率。其实匈奴完全可以派出一只小分队侦察探明虚实，这样，即使真中了汉军的埋伏，损失也不大。如果没有中计，就可以全歼汉军。显然，这个风险是值得冒的。
黔驴技穷中的老虎用的便是这种策略。老虎从未见过驴这种“庞然大物”，即不知道对抗下的“支付”，开始有点害怕这个家伙。可是长期共处后，发现笨驴并无高能。于是开始试探，每次进一小步，直到摸清对方底牌“技止此耳”，于是就吃掉了笨驴。这正是一个逐渐掌握信息并在此基础上作出判断的过程。
孙子非常重视信息在战略决策中的意义，他说：兵者，诡道也。知己知彼，百战不殆。在战争这种非合作博弈中，敌我双方都会猜测对方的战略行动以制定己方的战略行动，因此尽可能的了解敌人的信息，便显得尤其重要。这便是《孙子兵法》要为“用间”专例一篇的理由。反过来，若能千方百计隐藏己方的信息，甚至用诡道迷惑敌人，便能使敌人处于信息相对劣势，从而掌握战争主动权。可见，《孙子兵法》实为战争博弈之集大成著作。