黑暗复仇者93加点:河图洛书的数学奥秘（四）

来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/08 20:32:17
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  • 今天讲的是河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（四）河图洛书的数学奥秘前面介绍了，李光地《周易折中》一书当中，卷二十一“启蒙附论”所记述的4阶幻方的构成方法，李光地认为利用洛书，“上下对易、左右相更”的
  • 换位法，可以来构成4阶幻方。就是每边为4的方阵。从1到16这16个数组成的方阵。李光地提出了两种换位法，刚才我们看到第一种换位法。就是这16个数，自左而右，自上而下列之。“至左而右，自上而下列之。”就是这样一种排列方法。
  • “自左而右，自上而下列之”，就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16这么一个排列方法。按照这样一种排列法，
  • 然后就按照他所说的两组换位法来进行换位，就构成了两个4阶幻方图。现在我们看他所说的第二种排列法，第二种排列法，这个第二个排列法是什么呢？以十六数自右而左，自下而上列之以十六数自右而左，自下而上列之。李光地说“以十六数自右而左、自下而上列之”
  • 这就正好和刚才所说的那个第一种排列法相反。那就是“自右而左自下而上”。从这个位置开始排，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16。
  • 用这样的这个排列法，排出之后，同样的按刚才所说的那两种换位法来交换，一种就是，就是这一种，
  • 刚才说“居中与居四隅者不易，居四方者交易。”就换对称者换位。另外一种方法就是“居四方者不易， 居四隅与居中者交易。”——清·李光地《周易折中》（图1 李光地）这个“居四方者不易，居四隅与居中者交易，”就要求对称换位，来构成幻方图。这就是他用这种排列法，同样也是按照刚才所说的那样两种换位法来交换位置。
  • 这样也构成两种4阶幻方图。然后这样构成两种4阶幻方图，构成之后我们一比较实际上也就是原来那两种图，没有新的。所以这个具体换的过程，这个就不再仔细地来罗嗦了。但是换的结果，
  • 就是和刚才这两个图是一样的。这实际上就是，4阶幻方的基本图形之一，基本图形，就是1、4、13、16这四个数居于四角，不管它是怎么颠倒，居于四角。6、7、10、11这四个数居于中间，大概就这么一个分布。所以李光地
  • 尽管介绍了两种排列方法，和每一种排列方法所产生的一种4阶幻方图。我们仔细加以比较可以看出来，它实际上是同一个基本图，同一个基本图，李光地在介绍了这样的方法之后，他有一段总结，
  • 我认为他这段总结是非常深刻地。李光地说，“自洛书以三三积数为数之原，而自四以下皆以为法焉，何则？”——清·李光地“自洛书以三三积数为数之原，而自四以下皆以为法焉，何则？”他的意思就是，
  • 洛书是三三这样组成的方阵，是数之源，它是最原始的，最本源的一种图形。但是自四以下，四以后的这种各种方阵，都可以以为法焉。就可以取法与它，以它为依据。为什么呢？那就下面这一段话：“三者，天数也，故其象圆，如前图，居四方与居四隅者或动或静，居中者一定不易，而各成纵横皆十五之数矣。四者，地数也，故其象方，如后图，居中居四隅与居四方者或动或静，亦各成纵横皆三十四之数矣。自五五以下皆以三三图为根，自六六以下皆以四四图为根，而四四图又实以三三图为根，故洛书为数之原，不易之论也。”—— 清·李光地“三者，天数也，故其象圆，如前图，
  • 居四方与居四隅者或动或静居中者一定不易，而各成纵横皆十五之数矣。四者，地数也，故其象方，如后图，居中居四隅与居四方者或动或静，亦各成纵横皆三十四之数矣。自五五以下皆以三三图为根，
  • 自六六以下皆以四四图为根，而四四图又实以三三图为根，故洛书为数之原，不易之论也。”这就是李光地带有总结性和结论性的一段话。他认为三是最基本的一种图，因为三是奇数，是天数。
  • 这个四，是偶数阶幻方的最基本的图，因为2阶幻方不构成幻方图，边为二的不构成幻方图，所以边为四的是偶数幻方的最基本的图形。所以他认为以三为边构成的这个幻方就是三阶幻方，就是洛书，是天数，以四构成的这个最简单的幻方是地数，
  • 是幻方当中最基本的两种图形。然后这个5阶幻方，就是五五以下。都是以洛书图为根。就是所有的奇数阶幻方，是以洛书那种3阶幻方为根。自六六以下就是所有的偶数阶幻方，都是以四四图为根，都是以4阶幻方为根。
  • 而这个4阶幻方也是以三三图，以3阶幻方为根，也是以洛书为根。所以他认为“故洛书为数之原，不易之论也。”李光地认为说来说去，洛书是整个幻方构成的最基础的基础。所以我认为这段论述，明确指出了
  • 洛书在幻方中的本原地位，洛书是构造各种复杂幻方的基础即洛书是构造各种复杂幻方的基础。前图——洛书所表示的3阶幻方后图——依据洛书换位法所构成的4阶幻方所谓“前图”，指洛书所表示的3阶幻方，所谓“后图”，指依据洛书换位法所构成的4阶幻方。由此推断，他认为5阶以上的各种奇数阶幻方，
  • 都是以3阶幻方为根的，6阶以上的各种偶数阶幻方都是以4阶幻方为根的，而4阶幻方又是以3阶幻方为根的。因此他得出洛书为数之原“洛书为数之原”的重要论断。这一观点，在幻方研究史上，已经受到了高度的重视。
  • 下面谈第四个问题，河图和8阶幻方河图和8阶幻方。8阶幻方的构成比较复杂，当代数学家已经做出圆满地回答，这里不多讲，只介绍一种与河图有关系的8阶幻方。《易经》中的八卦，互相配合成六十四卦，
  • 这就是八八六十四。伏羲那个卦，在邵雍那个推演之后，就成了八八六十四卦，而且每一注卦都有名字。《易经》的整个内容，也就是这个八卦加以推演，八八六十四卦，所以《易经》里面是六十四节。
  • 这个卦数64是8的平方数，河图洛书又都和八卦密切相连。因此八卦、河图和8阶幻方有密切的关系。前面说到南宋那个数学家杨辉，《续古摘奇算法》这本书当中，他就制作了两种8阶幻方图，他称为“易数图”。
  • 他为啥把8阶幻方图称为易数图呢？实际上就是这个8阶幻方他就跟那个八八六十四卦是关系非常密切的，所以称为“易数图”。他的意思就是这种8阶幻方反映着《易经》的数理。杨辉的这个“易数图”有两个，两个。称为“阴图”和“阳图”，
  • 阴、阳两式图。我们这里只看一看，他这个图什么样子。杨辉这个构图过程这里就不细讲了，因为和我们要讲的内容关系不是很大。这个图我们看作是一个8阶幻方，这就是杨辉所构成的
  • 易数图的阳图。第一个图，阳图。每边为8个数，八八六十四这个方阵，填进去的数是从1开始，一直到64结束，填满这个方阵，这样填满之后，它就成为一个幻方，就具有幻方的基本性质。每个横行，每一数列加上两条对角线，每一组8个数的和都相等。
  • 这一个8阶幻方图是杨辉所构成的这个易数图的阴图。这两个图填法是不一样的，但是在做出来之后呢，同样具有幻方的基本性质。不管是哪一种8阶幻方图，这个幻方常数我们仍然可以用我们刚才介绍的那个公式来计算一下，8阶幻方常数×8×（1﹢82），1+64=65 65×8×1/2=260
  • 这个8阶幻方的幻方常数就是×8×（1﹢82），1+64，这个1+64是65。65乘8，再乘1/2，那就是乘4（得）260。就是8阶幻方的幻方常数是260。杨辉创造的这两个8阶幻方固然非常巧妙，
  • 但是和我们要讨论的河图洛书问题关系不是太直接，因此在这里不作过多地分析。这里介绍的一个幻方图是元代李简制作的一个8阶幻方。李简他有一本著作叫《学易记》，《学易记》卷首“图说”
  • 这一部分当中有一幅“先天衍河图万物数图”，这就是李简的这个图。就是刚才说在《学易记》这本书当中的卷首，有这么一个图。这个图它是用汉字表示的数字。
  • 在这个八八六十四这么一个方阵当中，填入从1到64这64个数。这个做出来之后，它具有这个8阶幻方的具有幻方的基本性质。但是他这个填法，和刚才我们看到的杨辉做出来的易数图的阳图和阴图都不一样。
  • 李简做出来的这个幻方更奇妙，他和八卦这个形式更接近，这个图产生过程这个是怎么样做出来的，我曾经做了很长时间思考，我了解了他的做的这个方法。它产生这个过程，
  • 在我的《河图洛书探秘》这本书当中，有比较详细地分析。在这里由于时间关系，就不再介绍这个图产生的过程。我们只是从欣赏的角度，我们来看一看，李简所做的这个幻方，它是怎么样的一个情况。怎么样的一个情况，我们在李简这个图当中我们可以看出来，
  • 他这前面的这个8个数，前面的这8个数。就是1、2、3、4、5、6、7、8，他在这个图当中把它涂黑了，这8个数正好构成了一个环形。而且这个环形，正好和这个八卦，就是和伏羲先天八卦那个八卦图一致。1、2、3、4、5、6、7、8
  • 构成一圈，是很奇妙的。所以这个图它就叫作“先天衍河图万物数图”。他认为这样既然与八卦图形有点接近，所以也就和河图非常接近，所以他叫了这么一个名称。这个图因为是古代这个书籍是黑白的印刷，
  • 除了这8个数涂黑之外，其它的数我们还看不太很明确。现在我们就可以把这个图，换一下，用阿拉伯数字表示，我把它改造一下，实际上和这个图是一模一样的。而且我把中间的相关的数，用彩色来表示。这样一看我们就觉得
  • 这个图是非常有趣了。刚才在李简那个图当中涂黑的部分就是1、2、3、4、5、6、7、8这个前8个数，构成了一个循环。好像是八卦的分布。除了这8个数之外，我们再看，接着的8个数，就是从9到16怎么分布的？
  • 我在这个图当中用绿色表示，9、10、11、12、13、14、15、16，又一圈。正好在1到8这个一圈的外面，又构成一圈。看最后的8个数，就是从57到64。57、58、59、60、
  • 61、62、63、64又一圈，在这一圈的倒数第二圈那个数就是从这个49到56我们看。49、50、51、52、53、54、55、56就是倒数的第二圈，和倒数的第一圈，正数的第一圈，和正数的第二圈，就是这一共有四圈，都构成这种像类似八卦的
  • 这么一个图形。所以这个图，所以说这个是非常奇妙的，非常奇妙的。就是像刚才所介绍的，如果把1到64按8个数一组，分为8组，每一组数的排列都很有规则，很有规则。
  • 1到8这8个数构成环形，这个分别表示乾、坤、艮、坎、巽、震、离、兑，正是八卦的位置，只是这个八卦，它的方位和先天八卦、后天八卦都不太一样。9到16这8个数的位置，正处于1至8这8个数的外圈对角位置，就刚才我们看到的对角位置，
  • 非常有规律地分布着。49到56这一圈，紧贴着这个1至8的外侧，也构成一个环形，57到64也贴着这个1到8的外侧，又构成一个环形，所以这四个环形呈对称互补的这么一个规律。除了这四圈之外，如果我们再来考察其它的这个4组数，
  • 就还有4组嘛一共还有这个四八三十二个数，就是17到24、25到32、33到40、41到48，这在里面也很有规律，我们就不再仔细地再来看它了，如果有兴趣的话，大家可以看看这里面的几组数也很有规律。很有规律，
  • 所以这个图，不知道当时李简他是怎样研究出来的，就是动多少脑筋，研究这么一个非常奇怪而奇妙的一个图，所以我认为这个图呀是妙不可言的，它是这个8阶幻方的一个非常典型的情况，而且是和我们所说的河图关系非常密切的一个8阶幻方图。
  • 现在讲第五个问题，洛书数字排列原理的推论和应用。如前面所讲的，洛书的数字排列原理是构成所有奇数阶次幻方的基础。现在，我们还可以在洛书数字排列的基础上
  • 进行推论，构造出各种形式的幻方。洛书表示的3阶幻方就是原来说过的就是这么一个图。在这个基础上，可以做出的推论很多，这里主要介绍四种类型。类型一在自然数的序列中任意截取9个连续的数，按洛书的数字规则排列，都可以形成幻方。
  • 第一种类型，在自然数的序列中任意截取9个连续的数，按洛书的数字规则排列，都可以形成幻方。意思就是这个洛书的9个数就是1到9，分别加上一个相同的数，仍然是幻方。
  • 比如说从1到9这9个数各加100，就是从101到109，这么9个数，如果按照这个洛书的原理，排列起来也是幻方。就是这样一个图，这个图很显然，这个101在这个洛书中间1的位置，
  • 然后102、103、104、105、106、107、108、109，这就是和这个洛书的从1到9的那个数字排列顺序完全一样。就是在这个原来9个数各加100，从101到109，它同样可以构成幻方。
  • 那这个幻方的幻方常数是315。这个幻方常数的计算就和前面所说的那个公式不太一样。前面那个公式就是n（1+n2）那只能计算于，计算那个从1开始的连续的自然数用那个公式。所以这是一种类型。类型二洛书的9个数分别乘以一个相同的数，仍然是幻方。第二种类型洛书的9个数
  • 分别乘以一个相同的数，仍然是幻方。比如说我们把洛书的从1到9各乘以100，就是从100到900这样9个数。按照洛书的数字排列规则，排列起来它仍然是幻方。就是这样一个图，这就从100开始，就是在那个洛书中间的
  • 1的位置。然后这个200、300、400、500一直排到900。900就是在这个洛书的9的位置了。这个次序，就是和洛书的从1到9的次序是完全一样的。它也同样构成幻方。这个幻方的幻方常数那就是1500。同样在这个洛书的幻方常数也乘以100，100倍。
  • 这是第二种类型。类型三用洛书原理可以构造非常规幻方第三种类型用洛书原理可以构造非常规幻方。这个非常规幻方可以有各种各样的形式，其中在这介绍两种。在1900年西方有个数学家叫杜德尼
  • 他构造出一种素数幻方。所谓素数就是质数，在数论当中，素数，就是质数，是只能被1和自身整除而不能被其他任何数整除的数。就是这样的数叫质数，只能被1和自身整除，不能被任何其它数整除的这样的数叫质数。杜德尼他就是用全部质数，来组成一个幻方。他做这个幻方是这样子的。
  • 从1，选9个数，1、7、13、31、37、43、61、67、73这么9个数。它的排列顺序从小到大，仍然是按照洛书从1到9的次序。这个最小的数1在洛书中间的1的位置，最大的数，还在洛书中间的9的位置。
  • 所以这个幻方杜氏素数幻方叫做“杜氏素数幻方”。它就是一个非常规幻方。在二十世纪初的数学界，1是被作为素数看待的。后来呢这个国际数学界谈到质数问题，谈到素数问题认为1不是素数，素数从2开始。再后来又一个数学家鲁道尔夫
  • 这个数学家就是叫鲁道尔夫他又重新做出来一个由素数构成的3阶幻方，就是这样一个幻方，他选择的质数最小的是5，最大的是113。从5到113这9个质数，它排列的顺序，仍然是按照洛书从1到9的顺序。
  • 5、17、在2的位置。29在3的位置依次类推。到最大的数113在9的位置。这个幻方叫鲁氏幻方“鲁氏幻方”。举这两个例子说明了，这样的非常规幻方，它在构成的基本的规则，和洛书的数字排列原理是完全一致的。类型四用洛书原理构造组合幻方。
  • 第四种类型，用洛书原理构造组合幻方。在洛书原理的基础上，凡是阶数为3的倍数的幻方，都可以用组合的方法进行构造。在能够做出4阶幻方的基础上，凡是4的倍数的幻方，也可以用组合法进行构造。
  • 这里我们以12阶幻方为例来演示一下。12是3与4的乘积，12的平方等于3的平方和4的平方之和，就是：122=（3×4）2=9×16=144122=（3×4）2=9×16=144这个我们做的办法就是把从1到144分成9组，
  • 每组16个数，各做成一个4阶幻方，然后把这9个4阶幻方按照洛书的数字排列规则摆放起来，就成为一个12阶的幻方。我们看就是这样一个图。这个最小的一组从1到16，组成一个4阶幻方，
  • 在洛书中间的1的位置。然后这个9个4阶幻方按照这个洛书的次序，1、2、3、4、5、6、7、8、9。最大的这一组数是从129到144。这个最大的这个幻方在洛书中间的9的位置。就是说我们把这个12阶幻方
  • 由9个4阶幻方组成，按照洛书的数字次序排列，它就构成一个12阶幻方。这个12阶幻方，它也具有幻方的基本性质，就是每一横行，每一竖列，和两条对角线的12个数，和都相等。这个12阶幻方的P12=×12×（1﹢122）=870幻方常数是870。同样道理，
  • 我们把这个从1到144，分成16组，每组9个数，这每一组9个数，按照洛书的数字排列规则，可以做成一个3阶幻方。然后把这个16个3阶幻方，按照4阶幻方的规则摆放起来也构成12阶幻方。这就是这个图，从这个图上可以看出
  • 这是16块，每一个小块它是一个3阶幻方，就是说从这个1到144，我们把它分成16组，最小的一组是从1到9，构成一个3阶幻方。然后每9个数，组成一个3阶幻方，这一共做成16个，这16个摆放的规则按照4阶幻方的规则
  • 把它摆起来，这就组成了一个12阶幻方，这个12阶幻方和刚才那个12阶幻方不同，但是同样它具有幻方的基本性质，就是说每横行，每竖列和两条对角线的和，都等于870。当然我们还可以，根据洛书的基本原理，构造其它形式的组合幻方，总之是幻方的形式千变万化，
  • 总是离不开洛书的原理。这一节就讲到这里，谢谢大家。
    • 河图洛书的数学奥秘（四） 河图洛书的数学奥秘 河图洛书的数学奥秘（二）1 河图洛书的数学奥秘（一）1 河图洛书的数学奥秘（二）2 河图洛书的数学奥秘（一） 河图洛书的数学奥秘（二） 河图洛书的数学奥秘（三） 易经的奥秘（四）曾仕强 要懂得高一数学的奥秘 数学是这样学习的（四） 聊聊五行的奥秘（四）——水 [趣味数学]拿破仑的四等分圆 《易经的奥秘》1-15视频及了凡四... 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 企业百年不衰的奥秘：坚持四种价值观 【小学数学解题思路大全】（四） 【小学数学解题思路大全】四） 小学数学评课稿精华汇编（四） 数学精品网址大全（四）