九乡新闻网魔鬼搭讪学电子书:费氏数的神奇性质
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/03 21:23:04
费氏数的神奇性质：
一、如果你把前五个费氏数加起来再加 1，结果会等于第七个费氏数；如果把前六个费氏数加起来，再加 1，就会得出第八个费氏数。那么前 n个费氏数加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 个费氏数呢？
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 =13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
由于每一个费氏数都是其前两项费氏数的和，
事实上，我们的确可以利用数学归纳法证明数学归纳法原理 对每一个自然数 n，P(n) 为一命题。若
1.P(1) 为真
2.对任意自然数 k，若P(k) 为真，则 P(k+1) 亦为真
则对每一个自然数 n，P(n) 为真。
数学归纳法就像骨牌效应一样：如果你敢肯定你的骨牌排的很好 每一张骨牌被推倒时，都能连带地把下一张骨牌也推倒那么只要有人推倒第一张骨牌，它就会推倒第二张骨牌，结果又推倒了第三张骨牌，以此类推，你就知道后面所有的骨牌都会跟着倒下，没有一个例外。因此当我们要证明「某性质对所有自然数都成立」时，不再需要大费周章地检验每一个自然数，就如同不用亲自把骨牌一张张地推倒一样。只要确定 n = 1成立，再确定对任意自然数 k，若 n = k 成立，则 n = k + 1 亦成立；由数学归纳法原理我们就可以肯定此性质对所有自然数 n都成立。
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2
证明：
1.n = 1 时，
左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2
右式 = F1+ 2 = F3 = 2
故等式成立。
2.对任意自然数 n，假设 n = k 时等式成立，即
F1 + F2 + …… + Fk +1 = Fk + 2
则
F1 + F2 + …… + Fk + Fk + 1 + 1
= ( F1 + F2 + …… +Fk+ 1 ) + Fk + 1
= Fk + 2 + Fk+ 1
= Fk + 3
故 n = k + 1时等式成立
由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2
二、如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？
1 + 2 + 5 = 8
1 + 2+ 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34
我们可以得到下列的结果：
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n
1 + F2 + F4 +…… + F2n = F2n + 1
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n -------------- ( a)
1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1 --------- ( B )
证明：
( a ) 利用数学归纳法：
1.当 n = 1 时，
左式 = F1 = 1
右式 = F2 = 1
故等式成立。
2.对任意自然数 n，若n = k时等式成立，即
F1 + F3 + …… + F2k - 1 = F 2k
当n = k + 1 时，
左式 = F1 + F3 + …… + F2k - 1 + F2k + 1
= (F1 +F3 + …… + F2k - 1 ) + F2k + 1
= F 2k + F2k + 1
=F2k + 2
右式 = F2( k + 1) = F2k + 2
故等式成立。
由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1+ F3 + …… + F2n - 1 = F2n
( B ) 的证法与 ( a ) 相同。
三、更不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项：
22 + 32 = 4 + 9 = 13
试试看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？
32 + 52 = 9 + 25 = 34
82+ 132 = 64 + 169 = 233
四、所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線，如下圖：
一個黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過這些正方形的端點（黃金分割點），可以描出一條等角螺線《為什麼》，而螺線的中心正好是第一個黃金矩形及第二個黃金矩形的對角線交點，也是第二個黃金矩形與第三個黃金矩形的對角線交點。如下圖：
我們可以在鸚鵡螺的外殼發現這樣的螺線。
五、自然界中的費氏數：
自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3、梅花 5、桔梗常為 8、金盞花13、…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針，網頁上的圖；仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數目為「34 及55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及233」。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。數數看，下圖這朵向日葵的螺線數目是多少？
大部份雛菊的螺線數目則是「21 及 34」：
也有些品種雛菊的螺線數目是「13 及21」：
為什麼呢？
植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。
例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generativespiral）。之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。
晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste andLouiseBravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。 想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31 的原基之間的角度。
他們並且發現發散角往往非常接近 137.5度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是――「黃金角」。如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：
由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為
。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360? – 360?/Φ 大約是137.5 度。1907年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。
六、菠萝与费氏数列：
除了在松果的鳞片、向日葵上的小花可以看到明显的生成螺线外，菠萝上的生成螺线更是清楚可数，因为它的外皮可被分成一些几乎是六角形的小格子，如下图。其中有五条较平缓的平行螺线往右上旋，有八条较陡的平行螺线往左上旋，另外还有更陡的十三条平行螺线是往右上旋。
如果我们将菠萝视为一个圆柱体，并延着一条垂直线将它切开摊平，便得到一个长方形，其左右两边表示的是同一条线 圆柱体被切开的地方。我们令左方的边为 x = 0，而右方的边为 x =1，下方的边是 y = 0。
七、为什么是 137.5 度？
大自然的机制使得原基的生长遵循着有效率堆排的几何原理。一九七九年，数学家伏格（H.Vogel）以电脑模拟原基的生长情形，他用圆点来代表向日葵的原基，在发散角为固定值的假设下，试图找出最佳的发散角使这些圆点尽可能紧密地排在一起。他的电脑实验显示，当发散角小于 137.5 度，圆点间就会出现空隙，而只会看到一组螺线；同样的，如果发散角超过 137.5度，圆点间也会出现空隙，但是这次看到的是另一组螺线。因此，如果要使圆点排列没有空隙，发散角就必须是黄金角；而这时，两组螺线就会同时出现。简言之，要使花头最密实、最坚固，最有效的堆排方式是让发散角等于黄金角。
下面的图是用数学软件模拟伏格的实验结果：
发散角为137.6度
发散角为137.4度
发散角为137.5度
事实上，如果我们选用的发散角是三百六十度的有理数倍，就必定会得到一组径向直线。由于直线之间都有空隙，所以原基就无法排列得很紧密。结论是：想要以最有效的方式填满一个平面，发散角就必须是三百六十度乘以某个无理数，也就是乘以不能表示为分数的数。但是要用哪一个无理数呢？实数不是有理数就是无理数，不过，某些无理数却比其他无理数更［无理］些。数论学家很早就知道，最［无理］的无理数就是黄金数，它很难以有理数近似，如果我们能将近似的困难程度量化，将会发现它是最差的一个，这就是说黄金发散角会使原基排列得最致密。费氏数列相邻两项的比值趋近于黄金比值，由黄金矩形又可描出等角螺线，等角螺线又出现在松果、菠萝、雏菊、向日葵等，而它们的左右旋螺线数自又是费氏数列相邻的两项，自然之造物真令人叹为观止！
一、如果你把前五个费氏数加起来再加 1，结果会等于第七个费氏数；如果把前六个费氏数加起来，再加 1，就会得出第八个费氏数。那么前 n个费氏数加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 个费氏数呢？
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 =13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
由于每一个费氏数都是其前两项费氏数的和，
事实上，我们的确可以利用数学归纳法证明数学归纳法原理 对每一个自然数 n，P(n) 为一命题。若
1.P(1) 为真
2.对任意自然数 k，若P(k) 为真，则 P(k+1) 亦为真
则对每一个自然数 n，P(n) 为真。
数学归纳法就像骨牌效应一样：如果你敢肯定你的骨牌排的很好 每一张骨牌被推倒时，都能连带地把下一张骨牌也推倒那么只要有人推倒第一张骨牌，它就会推倒第二张骨牌，结果又推倒了第三张骨牌，以此类推，你就知道后面所有的骨牌都会跟着倒下，没有一个例外。因此当我们要证明「某性质对所有自然数都成立」时，不再需要大费周章地检验每一个自然数，就如同不用亲自把骨牌一张张地推倒一样。只要确定 n = 1成立，再确定对任意自然数 k，若 n = k 成立，则 n = k + 1 亦成立；由数学归纳法原理我们就可以肯定此性质对所有自然数 n都成立。
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2
证明：
1.n = 1 时，
左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2
右式 = F1+ 2 = F3 = 2
故等式成立。
2.对任意自然数 n，假设 n = k 时等式成立，即
F1 + F2 + …… + Fk +1 = Fk + 2
则
F1 + F2 + …… + Fk + Fk + 1 + 1
= ( F1 + F2 + …… +Fk+ 1 ) + Fk + 1
= Fk + 2 + Fk+ 1
= Fk + 3
故 n = k + 1时等式成立
由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2
二、如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？
1 + 2 + 5 = 8
1 + 2+ 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34
我们可以得到下列的结果：
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n
1 + F2 + F4 +…… + F2n = F2n + 1
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n -------------- ( a)
1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1 --------- ( B )
证明：
( a ) 利用数学归纳法：
1.当 n = 1 时，
左式 = F1 = 1
右式 = F2 = 1
故等式成立。
2.对任意自然数 n，若n = k时等式成立，即
F1 + F3 + …… + F2k - 1 = F 2k
当n = k + 1 时，
左式 = F1 + F3 + …… + F2k - 1 + F2k + 1
= (F1 +F3 + …… + F2k - 1 ) + F2k + 1
= F 2k + F2k + 1
=F2k + 2
右式 = F2( k + 1) = F2k + 2
故等式成立。
由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1+ F3 + …… + F2n - 1 = F2n
( B ) 的证法与 ( a ) 相同。
三、更不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项：
22 + 32 = 4 + 9 = 13
试试看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？
32 + 52 = 9 + 25 = 34
82+ 132 = 64 + 169 = 233
四、所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線，如下圖：
一個黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過這些正方形的端點（黃金分割點），可以描出一條等角螺線《為什麼》，而螺線的中心正好是第一個黃金矩形及第二個黃金矩形的對角線交點，也是第二個黃金矩形與第三個黃金矩形的對角線交點。如下圖：
我們可以在鸚鵡螺的外殼發現這樣的螺線。
五、自然界中的費氏數：
自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3、梅花 5、桔梗常為 8、金盞花13、…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針，網頁上的圖；仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數目為「34 及55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及233」。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。數數看，下圖這朵向日葵的螺線數目是多少？
大部份雛菊的螺線數目則是「21 及 34」：
也有些品種雛菊的螺線數目是「13 及21」：
為什麼呢？
植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。
例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generativespiral）。之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。
晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste andLouiseBravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。 想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31 的原基之間的角度。
他們並且發現發散角往往非常接近 137.5度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是――「黃金角」。如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：
由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為
。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360? – 360?/Φ 大約是137.5 度。1907年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。六、菠萝与费氏数列：
除了在松果的鳞片、向日葵上的小花可以看到明显的生成螺线外，菠萝上的生成螺线更是清楚可数，因为它的外皮可被分成一些几乎是六角形的小格子，如下图。其中有五条较平缓的平行螺线往右上旋，有八条较陡的平行螺线往左上旋，另外还有更陡的十三条平行螺线是往右上旋。
如果我们将菠萝视为一个圆柱体，并延着一条垂直线将它切开摊平，便得到一个长方形，其左右两边表示的是同一条线 圆柱体被切开的地方。我们令左方的边为 x = 0，而右方的边为 x =1，下方的边是 y = 0。
七、为什么是 137.5 度？
大自然的机制使得原基的生长遵循着有效率堆排的几何原理。一九七九年，数学家伏格（H.Vogel）以电脑模拟原基的生长情形，他用圆点来代表向日葵的原基，在发散角为固定值的假设下，试图找出最佳的发散角使这些圆点尽可能紧密地排在一起。他的电脑实验显示，当发散角小于 137.5 度，圆点间就会出现空隙，而只会看到一组螺线；同样的，如果发散角超过 137.5度，圆点间也会出现空隙，但是这次看到的是另一组螺线。因此，如果要使圆点排列没有空隙，发散角就必须是黄金角；而这时，两组螺线就会同时出现。简言之，要使花头最密实、最坚固，最有效的堆排方式是让发散角等于黄金角。
下面的图是用数学软件模拟伏格的实验结果：
发散角为137.6度
发散角为137.4度
发散角为137.5度
事实上，如果我们选用的发散角是三百六十度的有理数倍，就必定会得到一组径向直线。由于直线之间都有空隙，所以原基就无法排列得很紧密。结论是：想要以最有效的方式填满一个平面，发散角就必须是三百六十度乘以某个无理数，也就是乘以不能表示为分数的数。但是要用哪一个无理数呢？实数不是有理数就是无理数，不过，某些无理数却比其他无理数更［无理］些。数论学家很早就知道，最［无理］的无理数就是黄金数，它很难以有理数近似，如果我们能将近似的困难程度量化，将会发现它是最差的一个，这就是说黄金发散角会使原基排列得最致密。费氏数列相邻两项的比值趋近于黄金比值，由黄金矩形又可描出等角螺线，等角螺线又出现在松果、菠萝、雏菊、向日葵等，而它们的左右旋螺线数自又是费氏数列相邻的两项，自然之造物真令人叹为观止！
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