高尾山攻略:整式的乘法

一、教材解读，精华要义

数学与生活

著名诺贝尔奖获得者法国科学家居里夫人发明了“镭”，据测算：1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×10⁵千克煤放出的热量.估计地壳里含有1×10¹⁰千克镭，试问这些镭蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？

思考讨论  由题意可知，地壳里1×10¹⁰千克镭完全蜕变后放出的热量相当于（3.75×10⁵）×（1×10¹⁰）千克煤放出的热量，所以，如何计算这个算式呢？由乘法的交换律和结合律可进行如下计算：（3.75×10⁵）×（1×10¹⁰）=3.75×10⁵×10¹⁰=(3.75×1)×(10⁵×10¹⁰)=3.75×(10⁵×10¹⁰)，那么如何计算10⁵×10¹⁰呢？

知识详解

知识点1  同底数幂的乘法法则

a^m·aⁿ=a^m+n(m，n都是正整数).

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例如：计算.

(1)2³×2⁴；  (2)10⁵×10²；

解：(1)2³×2⁴=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=2⁷.

(2)10⁵×10²=(10×10×10×10×10)×(10×10)

=10×10×10×10×10×10×10

=10⁷.

由2³×2⁴=2⁷，10⁵×10²=10⁷可以发现:2³×2⁴=2³⁺⁴，10⁵×10²=10⁵⁺².

猜测一下：a^m·aⁿ=m+n(m，n为正整数),推导如下：

a^m·aⁿ= =a^m+n

知识点2  幂的乘方

(a^m)ⁿ=a^mn(m，n都是正整数).

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

【说明】 （1）幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的.

                  （2）(a^m)ⁿ与的a 区别。

其中，(a^m)ⁿ表示n个a^m相乘，而a 表示mⁿ个a相乘，例如：(5²)³=5^2×3=5⁶，5 =5⁸.因此，(a^m)ⁿ≠a ，要仔细区别.

知识点3  积的乘方

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n为正整数).

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

探究交流

填空，看看运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？

(1)(ab)²=(ab)·(ab)=( a·a)(b·b)= a^{(   )}b^{(   )}

(2)(ab)³=    =    =a^{(   )}b^{(   )}

点拨 由积的乘方法则得知：(1)2  2  (2)(ab)·(ab)·(ab) ( a·a·a)(b·b·b)  3  3

【说明】 在运用积的乘方计算时，要注意灵活，如果底数互为倒数时，可适当变形.如：( 1/2)¹⁰·2¹⁰=( 1/2·2)¹⁰=1¹⁰=1；4²·(- 1/2)⁵=2⁴·(- 1/2)⁵=[2⁴·(- 1/2)⁴]·(- 1/2)=[(-1/2 )·2]⁴·(- 1/2)

=1·(-1/2 )= - 1/2

知识点4  单项式的乘法法则

单项式乘法是指单项式乘以单项式.

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如

x²y·4xy²=( ×4)·x²⁺¹y¹⁺²=2x³y³.

在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用所学的知识.

【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减.

                   (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误.

知识点5  单项式与多项式相乘的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

例如：a(m+n+p)=am+an+ap.

【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.

                  (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘.

探究交流

下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？

(1)3a(b-c+a)=3ab-c+a

(2)-2x(x²-3x+2)=-2x³-6x²+4x

(3)2m(m²-mn+1)=2m³-2m²n+2m

点拨  (1)(2)不正确，(3)正确.(1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘.(2)题错在没有将-2x中的负号乘进去.

知识点6  多项式相乘的乘法法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【说明】  多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.

(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.

计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算。

二、典例剖析，师生互动

基本概念题

本节有关基本概念的题目包括以下几个方面：(1)同底数幂的乘法；(2)幂的乘方与积的乘方；(3)整式的乘法.

例1  计算.

(1)①10³×10⁴；②a·a³；③a·a³·a⁵；④(m+n)²·(m+n)³.

(2)①(10³)⁵；②(b³)⁴；③(-4)³·(-1/4 )³.

(3)①(2b)³；②(2a³)²；③(-a)³；④(-3x)⁴.

(分析) 本题主要考查三个公式：a^m·aⁿ=a^m+n，(a^m)ⁿ=a^mn，(ab)ⁿ=aⁿbⁿ，其中，m，n均为正整数.

解：(1)①10³×10⁴=10³⁺⁴=10⁷.   ②a·a³=a¹⁺³=a⁴.

③a·a³·a⁵=a¹⁺³⁺⁵=a⁹.         ④(m+n)²·(m+n)³=(m+n)²⁺³=(m+n)⁵.

(2)①(10³)⁵=10^3×5=10¹⁵.            ②(b³)⁴=b^3×4=b¹².

③(-4)³·(- 1/4)³=[(-4)·(- 1/4)]³=1³=1.

(3)①(2b)³=2³b³=8b³.          ②(2a³)²=2²(a³)²=4a⁶.

③(-a)³=(-1)³a³=-a³.          ④(-3x)⁴=(-3)⁴x⁴=81x⁴.

小结  在应用这三个公式时要准确，尤其是公式(a^m)ⁿ=a^mn，不要写成(a^m)ⁿ=a ，这是不正确的.

基本知识应用题

本节的基础知识应用包括：(1)经历探索整式乘法运算法则的过程；(2)会进行简单的整式乘法运算.

例2  计算.

(1)3x²y·(-2xy³)；   (2)(-5a²b³)·(-4b²c).

(分析)  单项式乘法，其实质就是同底数幂乘法与乘法交换律和结合律.

解：(1)3x²y·(-2xy³)=［3·(-2)］(x²·x)(y·y³)=-6x³y⁴.

(2)(-5a²b³)·(-4b²c)=[(-5)(-4)]a²·(b³·b²)·c=20a²b⁵c.

例3  计算.

(1)2a²(3a²-5b)；  (2)(-2a²)(3ab²-5ab³).

(分析)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.

解：(1)2a²(3a²-5b)

=2a²·3a²-2a²·5b

=6a⁴-10a²b.

解法1：(2)(-2a²)(3ab²-5ab³)=(-2a²)·3ab²-(-2a²)·5ab³

=-6a³b²+10a³b³.

解法2：(2)(-2a²)(3ab²-5ab³⁾ =-(2a²·3ab²-2a²·5ab³)

=-(6a³b²-10a³b³)

=-6a³b²+10a³b³.

小结  单项式与多项式相乘时，要注意两个问题：

(1)要用单项式与多项式的每一项相乘，避免漏乘；

(2)单项式带有负号时，如(2)小题，乘的时候容易弄错符号，为了避免这一错误出现，可以用(2)小题的第二种解法，就能有效地解决.

例4  计算.

(1)(x-3y)(x+7y)；  (2)(5x+2y)(3x-2y).

(分析)先用多项式乘法法则计算，最后要合并同类项.

解：(1)(x-3y)(x+7y)=x²+7xy-3xy-21y²=x²+4xy-21y².

(2)(5x+2y)(3x-2y)=15x²-1Oxy+6xy-4y²=15x²-4xy-4y².

学生做一做  计算.

(1)(x+2)(x-3)；  (2)(3x-1)(2x+1).

老师评一评  (1)(x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6.

(2)(3x-1)(2x+1)=6x²+3x-2x-1=6x²+x-1.

综合应用题

本节知识的综合应用包括：(1)整式乘法与方程的综合应用；(2)整式乘法与不等式的综合应用；(3)整式乘法与整式加减的综合应用.

例5  化简.

(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)5x(x²+2x+1)-(2x+3)(x-5).

(分析)  整式加减与整式乘法的混合计算，要依照先乘法，后加减的顺序计算.

解：(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)

=(a²-ab-2b²)-(a²+ab-2b²)

=a²-ab-2b²-a²-ab+2b²

=-2ab.

(2)5x(x²+2x+1)-(2x+3)(x-5)

=(5x³+10x²+5x)-(2x²-7x-15)

=5x³+10x²+5x-2x²+7x+15

=5x³+8x²+12x+15.

学生做一做  化简.

(1)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；

(2)(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+31x²-7x-13.

老师评一评  (1)原式=5y-26.

(2)原式=32x²-20x+53.

例6  解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1).

(分析)  解方程时，有括号的先去括号.

解：(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)，

6x²-13x+6=6x²-x-5，

6x²-13x-6x²+x=-5-6，

-12x=-11，

∴x= .-11/12

学生做一做   解下列方程。

例7  解不等式(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3).

解：(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3)，

9x²-16＞9(x²+x-6)，

9x²-16＞9x²+9x-54，

9x²-9x²-9x＞16-54，

-9x＞38,∴x＜-38/9 .

学生做一做  解不等式(x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).

老师评一评  x＜-1.

探索与创新题

主要考查灵活解决问题和创新的能力.

例8  已知m ·m =m¹²，求a的值.

(分析)由同底数幂乘法法则可把原式变形为m =m¹²，由此得到(a+b)+(a-b)=12，进而求出a的值.

解：∵m ·m =m¹²，∴m =m¹².

∴(a+b)+(a-b)=12，

∴2a=12.∴a=6.

学生做一做  (1)若64⁴×8³=2^x，则x=      ；

(2)若x²ⁿ=4，x⁶ⁿ=      ，(3x³ⁿ)²=      ；

(3)已知a^m=2，aⁿ=3，则a^m+n=      .

老师评一评  (1)33  (2)64  576   (3)6

小结  在应用同底数幂乘法、幂的乘方及积的乘方运算解决问题时，贵在灵活，尤其是公式：a^m·aⁿ=a^m+n，(a^m)ⁿ=a^mn,(ab)^m= a^mb^m(m，n为正整数)，它们的逆应用非常广泛，大家要引起充分的重视.

例9  计算(-3)²⁰⁰⁴·( )²⁰⁰⁵.

(分析)按照本题的运算级别，应先乘方后乘法，但是我们看到，要计算出(-3)²⁰⁰⁴·( )²⁰⁰⁵的具体值是相当困难的，也是不必要的.因此我们不妨仔细观察本题的特点，虽然两个乘方运算的指数都很大，但是它们两者却只相差1，而且它们的底数互为负倒数，而且互为负倒数的乘积是-1，因此考虑公式(ab)^m=a^mb^m的逆应用，即把指数大的乘方运算中的指数进行变化.

解：(-3)²⁰⁰⁴·( 1/3)²⁰⁰⁵

=(-3)²⁰⁰⁴·( 1/3)²⁰⁰⁴⁺¹

=(-3)²⁰⁰⁴·(1/3 )²⁰⁰⁴·1/3

=[(-3)·1/3 ]²⁰⁰⁴·1/3

=(-1)²⁰⁰⁴·1/3

=1×1/3 = .1/3

学生做一做  (1)( 1/5)⁵⁹⁹³×25²⁹⁹⁶=      ；

(2)(- 1/2)²⁰⁰¹×(2 )¹⁰⁰⁰=      ；

(3)(2)²⁰⁰¹×(-2 )²⁰⁰²×(-1/4 )²⁰⁰³=       .

老师评一评  (1)( 1/5)⁵⁹⁹³×25²⁹⁹⁶=( 1/5)⁵⁹⁹³×(5²)²⁹⁹⁶=( 1/5)⁵⁹⁹³×5⁵⁹⁹²= 1/5·( 1/5)⁵⁹⁹²·5⁵⁹⁹²= .1/5

(2)(- 1/2)²⁰⁰¹×(4 )¹⁰⁰⁰=(- 1/2)²⁰⁰¹×( 4)¹⁰⁰⁰=(-1/2 )·(- 1/2)²⁰⁰⁰×[(2 )²]¹⁰⁰⁰=(-1/2 )×(- 1/2)²⁰⁰⁰×(2 )²⁰⁰⁰=(- 1/2)×[(- 1/2)× 2]²⁰⁰⁰=(- 1/2)×(-1)²⁰⁰⁰=(-1/2 )×1=- 1/2

(3)原式=(2 )²⁰⁰¹×(-2 )²⁰⁰²×(- 1/4)²⁰⁰³=[2 ×(-2 )×(-1/4 )]²⁰⁰¹×(- 2)×(- 1/4)²=1²⁰⁰¹×(- 2)×1/16 =- 1/8.

例10  已知2^x=3，2^y=5，2^z=15.求证x+y=z.

(分析)要说明x+y=z，只需说明2^x+y=2^z即可.

证明：∵2^x=3，2^y=5，

∴2^x+y=2^x·2^y=3×5=15.

又∵2^z=15，∴2^x+y=2^z.∴x+y=z.

例11  比较大小.

(1)16²⁵与2⁹⁰；(2)2¹⁰⁰与3⁷⁵.

(分析)  比较两个正数幂的大小，一种是指数相同，比较底数大小，另一种是底数相同，比较指数大小.

解：(1)∵16²⁵=(2⁴)²⁵=2¹⁰⁰，2⁹⁰=2⁹⁰，

又∵2＞1，∴2⁹⁰＜2¹⁰⁰，即16²⁵＞2⁹⁰.

(2)∵2¹⁰⁰=(2⁴)²⁵=16²⁵，3⁷⁵=(3³)²⁵=27²⁵，且16＜27，

∴16²⁵＜27²⁵，即2¹⁰⁰＜3⁷⁵.

学生做一做  比较3⁵⁵，4⁴⁴，5³³的大小.

老师评一评  ∵3⁵⁵=(3⁵)¹¹=243¹¹，4⁴⁴=(4⁴)¹¹=256¹¹，5³³=(5³)¹¹=125¹¹，且256＞243＞125，

∴256¹¹＞243¹¹＞125¹¹，即4⁴⁴＞3⁵⁵＞5³³.

例12  如果(x+q)(x+ )的积中不含x项，那么q=      .

(分析) 欲求q的值，则需化简(x+q)(x+ )=x²+( +q)x+ q，因为积中不含x项，即x项的系数是0，所以 +q=0，所以q=- .

小结  欲求多项式中不含某项，即某项的系数为0.

例13  若n为自然数，试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.

解：∵n(2n+1)-2n(n-1)

=2n²+n-(2n²-2n)

=2n²+n-2n²+2n

=3n，

且n为自然数，

∴n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数.

学生做一做  用你所学的知识，说明5²³-5²¹能被120整除.

老师评一评   ∵5²³-5²¹=5²¹⁺²-5²¹=5²¹·5²-5²¹=5²¹·(5²-1)=24×5²¹=24×5×5²⁰=120×5²⁰，∴是120的整数倍，∴5²³-5²¹能被120整除.

例14  设m²+m-1=0，求m³+2m²+2004的值.

(分析)  欲求代数式的值，从m²+m-1=0中求m的值是比较困难的，也是不必要的，只需利用单项式与多项式的积的逆运算即可.

解：∵m²+m-1=0，∴m²+m=1.

∴m³+2m²+2004

=m(m²+m)+m²+2004

=m·1+m²+2004

=m²+m+2004

=1+2004

=2005.

∴m³+2m²+2004=2005.

学生做一做  若2x+5y-3=0，则4^x·32^y=      .

老师评一评  ∵2x+5y-3=0，∴2x+5y=3，

∴4^x·32^y=(2²)^x·(2⁵)^y-2^2x·2^5y=2^2x+5y=2³=8。

三、中考展望，点击中考

中考命题总结与展望

历年中考多为填空题、选择题或化简求值题，经常与函数、方程等知识综合出题.

中考试题预测

例1 (2004·河北)化简(-x)³·(-x)²的结果正确的是(    )

A.-x⁶           B.x⁶            C.x⁵            D.-x⁵

(分析) 本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x³)·x²=-x⁵；②原式=(-x)⁵=-x⁵.故正确答案为D项.

例2 (2004·长沙)下列运算中，正确的是(    )

A.x²·x³=x⁶                      B.(ab)³=a³b³

C.3a+2a=5a²                     D.(a-1)²=a²-1

(分析) 本题主要考查整式的乘法与合并同类项.其中A项不正确，x²·x³=x⁵，主要考查同底数幂的乘法公式；B项正确，主要考查积的乘方；C项不正确，主要考查合并同类项；D项不正确，主要考查多项式相乘，故选择B项.

例3  (2004·黑龙江)下列运算正确的是(    )

A.x²·x³=x⁶                      B.x²+x²=2x⁴

C.(-2x)²=-4x²                    D.(-2x²)(-3x³)=6x⁵

(分析)  本题主要考查整式的加减和乘法.

答案:D

例4  (2004·桂林)计算：4x²·(-2xy)=       .

(分析)  本题旨在检测单项式乘法法则.4x²·(-2xy)=-8x³y.

例5  (2004·临汾)计算：(- x³y)²=       .

(分析) 本题旨在考查积的乘方与幂的乘方.(- x³y)²=(- )²(x³)²y²= x⁶y².

例6  (2004·哈尔滨)下列各式正确的是(    )

A.(-a)²=a²       B.(-a)³=a³       C. =-a²         D. =a³

答案:A

例7  (2004·青海)化简：a³·a²b=      .

答案：a⁵b

例8  (2004·西宁)计算：9xy·(- x²y)=       .

答案：-3x³y²

四、课堂小结

1.本节主要学习了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方公式.整式的乘法，包括单项式乘法、单项式乘以多项式及多项式乘法.

2.必须掌握每种情况的运算法则，计算时一定要正确运用法则和有关知识.