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小学数学公式及数量关系

2010年02月25日

　　小学数学公式及数量关系式

　　

　　一．用字母表示运算定律或性质

　　加法交换律：a+b＝b+a

　　加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）

　　乘法交换律：ab=ba

　　乘法结合律：（ab）c=a（bc）

　　乘法分配律：a（b+c）＝ab+ac

　　二．几何图形计算公式

　　1．教材编排：在小学阶段图形教学的重心是六形与四体，六形，即长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形、圆形，四体，即长方体、正方体、圆柱、圆锥。从纵向看，教材是按平面图形→立体图形的顺序进行安排，从横向看，无论是平面图形，还是立体图形，都可以归结为图形特征的认识――图形周长、面积、体积计算几方面的内容。

　　2．具体分布： 年段 单元 主要内容 一年上 四、认识物体和图形 直观认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形与长方形、正方形、三角形和圆等平面图形，能够辨认和区别这些图形。 一年级下 三、图形的拼组 体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形边的特征 二年级上 三、角的初步认识 初步认识角，知道角的各部分名称，初步学会用尺画角。 二年级下 三、图形与变换 会辨认直角、锐角、钝角，初步感知平移、旋转现象。 三年级上 三、四边形 认识四边形的特征，进一步掌握长方形和正方形的特征，知道周长的含义，探索并掌握长方形、正方形的周长计算公式。 三年级下 六、面积 认识面积的含义，掌握长方形、正方形的面积公式 四年级上 四、平行四边形和梯形 理解垂直与平行的概念，掌握平行四边形和梯形的特征 四年级下 五、三角形 认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180° 五年级上 五、多边形的面积 掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。，认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。 五年级下 三、长方体和正方体 认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，了解体积（包括容积）的意义，掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法。 六年级上 四、圆 掌握圆的基本特征、圆的周长与面积的计算公式。 六年级下 二、圆柱和圆锥 掌握圆柱和圆锥的基本特征及圆柱的侧面积、表面积的计算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公式。 2．公式列举及相互联系

　　（1）周长：即围绕物体一周的长度。

　　①长方形周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2

　　②正方形周长=边长×4 C=4a

　　③圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

　　【相互联系】关于周长教材并没有下严格意义上的定义，只要学生能结合具体的物体或图形说明周长的含义即可，教学时引导学生在理解的基础上，对计算的方法有一个独立思考、不断感悟和比较的过程，避免死套公式的现象。

　　（2）面积：即物体的表面或封闭图形的大小

　　①长方形的面积=长×宽 S=ab

　　②正方形的面积=边长×边长 S=a?a=a2

　　③平行四边形的面积=底×高 S=ah

　　④三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

　　⑤梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2

　　⑥直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

　　⑦圆的面积=圆周率×半径×半径 S=πr2

　　【相互联系】 平面图形的面积公式是以长方形面积计算公式为基础的，正方形可以看作是长和宽相等的长方形，平行四边形可以通过割补、平移转化成长方形，三角形和梯形有多种方式可以转化成平行四边形或长方形求出面积，圆也可以通过割补转化成长方形。掌握这些公式的推导过程，不仅能够促进理解，而且还能加强记忆，减少计算中的错误。因此，要注意引导学生系统地感悟知识的形成过程，体会数学知识之间的内在联系。

　　（3）表面积：立体图形的所有面的面积之和叫做它的表面积

　　①长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

　　②正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6=6a2

　　③圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2

　　④圆柱体的侧面积=底面周长×高

　　【相互联系】通过观察立体图形的展开图，可以帮助学生理解计算公式。

　　（4）体积：物体所占空间的大小叫体积

　　①长方体的体积=长×宽×高 V=abh

　　②正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a3

　　③圆柱的体积=底面积×高 v=sh

　　④圆锥的体积=底面积×高÷3 v=sh÷3= Sh

　　⑤球的体积:V = πr3 （仅作了解）

　　【相互联系】长方体、正方体和圆柱可统称为柱体，它们的体积公式可以统一成：V=sh即底面积×高，适当引导学生发现这一联系，可以加深学生对知识内在联系的理解，提高解决问题能力。

　　三．数量关系式

　　（一）常用数量关系 序号 常用数量关系式 相关教学内容 所在年段 1 每份数×份数＝总数 乘法意义 二年级上 2 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 除法意义 二年级下 3 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 解决问题 三年级后 4 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 解决问题 三年级后 5． 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 解决问题 三年级后 6． 6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

　　7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

　　8、 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

　　9、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 四则运算的意义 相关年段 7 被除数＝除数×商+余数 有余数除法 三年级上 8． 平均数=总数÷总份数 平均数 四年级下 （二）特殊数量关系（思考题、拔高题、数学广角）

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　　1．

　　（1）和差问题：(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数

　　（2）和倍问题：和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或：和－小数＝大数)

　　（3）差倍问题：差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或 小数＋差＝大数)

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　　2．植树问题:

　　非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

　　（1）两端都植树:株数＝段数＋1＝全长÷株距+1

　　全长＝株距×(株数－1)

　　株距＝全长÷(株数－1)

　　（2）一端植树,另一端不植树：株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

　　株距＝全长÷株数

　　⑶两端都不植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1

　　全长＝株距×(株数＋1)

　　株距＝全长÷(株数＋1)

　　在封闭线路上的植树时：株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

　　株距＝全长÷株数

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　　3．盈亏问题

　　(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

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　　4．相遇问题

　　相遇路程＝速度和×相遇时间

　　相遇时间＝相遇路程÷速度和

　　速度和＝相遇路程÷相遇时间

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　　5．追及问题

　　追及距离＝速度差×追及时间

　　追及时间＝追及距离÷速度差

　　速度差＝追及距离÷追及时间

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　　6．流水问题

　　顺流速度＝静水速度＋水流速度

　　逆流速度＝静水速度－水流速度

　　静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

　　水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

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　　7．浓度问题:

　　溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

　　溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

　　溶液的重量×浓度＝溶质的重量

　　溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

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　　8．利润与折扣问题:

　　利润＝售出价－成本

　　利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

　　涨跌金额＝本金×涨跌百分比

　　折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

　　利息＝本金×利率×时间

　　税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)