雪忆:空瓶换酒的问题

这类题经常会问到“最多（可以/可能）”喝道多少瓶酒(这里特别需要注意:“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值,因为方法可以是假设的,所以这个值应该是假设的最大值.既:假设在最有可能的情况下,充分利用每一个空瓶（现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶）凑合换最多的酒

这样就可以有两种换法
举个例子：3个空瓶换1瓶酒, 8个空瓶（在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下）最多可以换到多少瓶酒？
第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒,喝完就留下1个瓶
根据第一种换法，画个示意图：把8个空瓶分为:   3空瓶    3空瓶    2空瓶
                    换        换       |
         2瓶酒=  1瓶酒 +   1瓶酒      |
3瓶酒=   +         ↓        ↓        ↓
         1瓶酒=剩下1空瓶+剩下1空瓶+ 2空瓶
                                        ↓
                                     剩下1空瓶

思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒;
如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用.这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。


再看第二种方法:先拿2个空瓶换1瓶酒,喝完酒就直接把瓶子留在那里(即:喝完后不带走酒瓶)
根据第二种换法，再画个示意图：
把8个空瓶分为:2空瓶   2空瓶   2空瓶   2空瓶
                 换       换      换       换
        4瓶酒=1瓶酒 + 1瓶酒 +  1瓶酒 + 1瓶酒  

思路：因为每次换酒喝完后,瓶子都直接留在那里了,没有带回. 所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件.只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值. 所以这个答案才是最多可能的数。
既:8/(3-1)=4

通过以上的规律,我们可以总结出空瓶换酒的公式.
A代表多少个空瓶可以换一瓶XX
B代表有多少个空樽
C代表通过多少个空瓶可以换一瓶XX最多能喝到多少瓶XX
B/(A-1)=C奥数专题讲座分数与百分数1、迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56%，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16%，那么，原计划生产插秧机多少台？解：已完成计划的56%，则未完成的还有原计划的44%，如果再生产5040台后就超过计划产量的16%，即5040台是原计划的44%+16%=60%，那么，原计划台数=5040/60%=8400台。2、圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔公用71.5元。问圆珠笔的单价是每支多少元？解：因为圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格比就是4*20：3*21=80：63，20支圆珠笔的用了：71.5*80/（80+63）=40元，每支圆珠笔的价格=40/20=2元。3、李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡数的1/4卖给商店，1/3卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？分析：“再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%”，从这里我们可以知道卖出的是原来东西两院总数的一半，即卖出的与剩下的相等。解：

 

西院卖出后还剩下：1-（1/4+1/3）=1-7/12=5/12，西院卖出的比它剩下的多了7/12-5/12=2/12=1/6，西院养鸡数=40/（1/6）=240只，东西两院养鸡总数=40+240=280只。 4、用一批纸装订一种练习本。如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，则还剩下1350张纸。这批纸一共有多少张？分析：通过已装订120本，用掉这批纸的60%，我们就可以知道每本所用的纸占这批纸的比例；从而可以得出185本所用的纸占整批纸的比例。解：每本练习本用纸占整批纸的比=（1-40%）/120=1/200，以整批纸的数量为单位“1”，那么，装订185本用纸=185*(1/200)=37/40，还剩下的纸是整批纸的1-37/40=3/40，共1350张，所以，整批纸=1350/（3/40）=18000张。5、有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人。那么现在男同学多少人？分析：知道男生增加人数，也知道总人数增加人数，那么就可以知道女生减少的人数；再由女生减少人数所占的比例，就可以知道原来女生的总数了。解：女生减少人数=25-16=9人，原来女生总人数=9/（5%）=180人，原来男生人数=325-180=145人，现在男生人数=145+25=170人。6、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？分析：总量数量是变化的，不能作为单位“1”，但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。解：奶糖占45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的11/9；放入16块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的3倍；3-11/9=16/9，即放入的16块水果糖占奶糖的16/9，所以，奶糖数=16/(16/9)=9块。7、甲乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:5。那么两包糖重的总和是多少？分析：从甲包取出部分放入乙包，总重量不变。这样我们就可以将总重量看作单位“1”，从拿出10克前后所占总重量的比例变化求得答案。解：甲包原来重量是总重量的4/（4+1）=4/5，拿出10克后，甲包种粮食总重量的7/（7+5）=7/12，相差4/5-7/12=13/60，所以，总重量=10/（13/60）=600/13=46又2/13克。8、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占32%。那么，共有棋子多少堆？分析：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。解：拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7；拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：[18-（7+18）/2]=14：11，即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14；在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的17/8；黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的25/56；所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4堆。转化思路：将每一堆白子占28%的棋子看成是浓度28%的溶液，那么本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克浓度28%的溶液，才能使浓度变为32%。原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6*50=300克，所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。
9、幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？解：假设18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有30人，实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；中班男生数：女生数=2:1=6：3，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；所以，大班女生有18-3*2=12个。10、某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？解：原一班的1/3与原二班的1/4 + 原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：新二班人数=11：10，新一班42*11/（10+11）=22人，新二班42-22=20人，多22-20=2人，即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12*2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。11、有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的粒数是第二包糖的2/3；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的面分比是在第二包糖中所占百分比的两倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占百分比等于多少？解：由①第一包糖的粒数是第二包糖的2/3知道，第一包数量：第二包数量=2：3，第一包占总数的2/（2+3）=2/5，第二包占总数的3/5；由③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍知道，第一包糖中巧克力糖占总数的比：第二包糖中巧克力糖占总数的比=2*2/5：3/5=4：3，因为当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，所以，第一包糖中巧克力糖占总数的比=28*4/（4+3）=16，巧克力糖在第一包糖中所占的百分比=16/（2/5）=40%，所以，水果糖在第一包糖中所占的百分比=100%-25%-40%=35%，水果糖在总数中所占的比=35%*2/5+50%*3/5=44%。12、某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？解：1、甲、乙两校获一等奖的人数相等，且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6，