雅马哈家庭影院官网:中国剩余定理

  明朝有位程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩2，
  问物几何？）用四句诗概括这类问题的解决：

     三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

     这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理或孙子定理，是我国古代数学的一项辉煌成果。

 <经典例题>

     “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

 <解题策略>

     我们就从上述四句诗中来找答案：

     三人同行七十稀，把除以3所得的余数用70乘。

    五树梅花廿一枝，把除以5所得的余数用21乘。

    七子团圆正半月，把除以7所得的余数用15乘。

    除百零五便得知，把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求。

     列式为：2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2=23。

     为什么70，21，15，105有如此神奇作用？70，21，15，105是从何而来？

     先后70，21，15，105的性质：

    70除以3余1，被5，7整除，所以70a除以3余a，也被5，7整除；

    21余以5余1，被3，7整除，所以21b除以5余b，也被3，7整除；

    15除以7余1，被3，5整除，所以15c除以7余c，被3，5整除。

    而105则是3，5，7的最小公倍数。

     总之来说：70a＋21b＋15c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数如果大了，还要减去它们的公倍数。

     现在我们来提出别外一种解法，本质上是与上述方法相同，请大家不妨仔细体会一下。

     先把题目改动一下：“今有物不知数，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四，问物几何？”

     先找除以9余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67……

    其中除以7余2的数有：58。

    但58除以5不余2，用58加上7和9的最小公倍数63，直到加成除以5余2为止：58，121，184，247……

    其中247即为所求。

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