隔墙有耳真能听清吗:三线性极线和三线性极点 | 数学

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三线性极线和三线性极点  0点
对△ABC所在平面上任意一点P，先分别作直线AP，BP，CP与对应边BC，CA，AB的交点D′，E′，F′；再作直线E′F′，F′D′，D′E′分别与对边BC，CA，AB相交于点D，E，F；则D，E，F必共线，所共之线称为P点关于△ABC的“三线性极线” （trilinear polar）。
事实上，三线性极线就是点P所对应的Ceva三角形与原△ABC的透视轴。
反之，如下图，对△ABC所在平面上任意一条直线l，反过去能唯一确定一点P，以l为其三线性极线。具体确定过程如下：先作直线l与BC，CA，AB边的相应交点D，E，F；再联结BE，CF相交于A′；联结CF，AD相交于B′；联结AD，BE相交于C′；则AA′，BB′，CC′必共点于P。相应地，称P为直线l的“三线性极点”（trilinear pole）。

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楼主0楼 2007-09-10 16:41
老封

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在2000年8月研究三圆定理的推广时，曾得到一条涉及三线性极线的结论：
“在△ABC内任取一点P（P至三边的距离记为x，y，z），在AB，AC两边所在直线上相应截取BE和CF，使得：
BE∶BC∶CF＝1/z∶1/x∶1/y ，
则EF联线一定平行于P点的三线性极线！”

在“三个几何问题思考”（2003年9月）一文中，因为研究三圆定理推广的需要，对三线性极线和三线性极点曾作了一番考察，得到结论如下：
命题1 若P，Q是△ABC的一对等角共轭点，则它们各自的三线性极线是关于△ABC的一对等角共轭线；反之，若p，q是△ABC的一对等角共轭线，则它们各自的三线性极点是关于△ABC的一对等角共轭点。
注记：设直线p与△ABC三边所在直线分别交于D、E、F点。设AD关于角的等角线交BC于D′，设BE关于角B的等角线交CA于E′，设CF关于角C的等角线交AB于F′。则三点D′，E′，F′一定共线。所共线q称为直线p的“对等角共轭线”。

命题2 线束的三线性极点轨迹，是经过原三角形三个顶点的二次曲线；点列的三线性极线包络，是与原三角形三边都相切的二次曲线。
具体说，已知△ABC，当L绕着定点P旋转时，L的三线性极点的轨迹是经过△ABC三个顶点的一条二次曲线Ω，而且Ω恰是P点关于△ABC的逆Ceva三角形DEF的Gergonne二次曲线。

注记：设P为△ABC所在平面上任一点，P所对应的Ceva三角形为DEF，则存在一条唯一的二次曲线Ω，使它与△ABC 的三条边恰好相切于D、E、F各点。
称Ω为P点关于△ABC的“Gergonne二次曲线”。

△ABC所在平面上共存在四点，使其所对应的Gergonne二次曲线取圆（即内切圆和三个旁切圆）。这四点称作△ABC的Gergonne点及旁Gergonne点。
当P点在△ABC内部时，Gergonne二次曲线一定是椭圆；当P点在△ABC外时，Gergonne二次曲线有可能取椭圆、抛物线或双曲线。
更具体地说：
命题3 设重心G关于△ABC的逆Ceva三角形为DEF，G关于△DEF的Gergonne二次曲线为Ω′。则一点P关于△ABC的Gergonne二次曲线是椭圆、抛物线、双曲线，取决于P点在Ω′内、在Ω′上、在Ω′外。

命题4 当且仅当P点位于重心G所对应的Gergonne二次曲线上时，P的三线性极线L与△ABC的外接圆相切。

问题1 考虑Ω的等角共轭像L′（它是一条直线），并研究L′和点P的关系。
经研究发现，L′是P的等角共轭点Q的三线性极线。即：
命题5 若P，Q是△ABC的一对等角共轭点，则过P的任意直线L的三线性极点轨迹Ω，与Q点的三线性极线，互为等角共轭像。
或叙述成：
命题6 Q点的三线性极线上任意一点的等角共轭点的三线性极线，一定经过其等角共轭点P。
问题1的对偶问题是：
问题2 已知△ABC，当点P沿着定直线L移动时，P的三线性极线的包络是与△ABC三边都相切的二次曲线Ω′。其切线的等角共轭线始终经过定点P′，它可被认为是Ω′的等角共轭像。
同样应考虑P′与所给的定直线L之间的关系。
根据对偶性，相应结论为：P′点的三线性极线L′与直线L互为等角共轭线。
相应的命题这里就省略了。