麦加朝觐:菲波那契数列

菲波那契数列指的是这样一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值
耐人寻味的斐波那契数列
湖南省浏阳市第十中学（410317） 徐树成
斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170——1250年）是意大利数学家，中世纪最有才华的数学家，生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国等国家。1202年编成《算经》（或称《算盘书》），这本书的出版使他成为一个闻名欧洲的数学家，他的书保存下来的共有5种。
《算经》中记载着一个“兔子问题”，题目是：假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？（假定一年内没有发生死亡现象）。
用图表示为：
一月 成
二月 成 未
三月 成 未 成
四月 成 未 成 未 成
五月　成 未 成 未 成 成 未 成
……
易发现其规律：从第3月起，每月的兔子对数是前面两个月兔子对数之和，故1年内繁殖成233对兔子。
于是，斐波那契得到一个数列：1，2，3，5，8，13，21，……，人们为纪念他的发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称之为“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
斐波那契数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
1.在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义：
* F0 = 0
* F1 = 1
* Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加.
2．递推公式与斐波那契（Fibonacci）数列
例 有一个人把一对（雌雄各一）的大兔子放在自家的院子里饲养，他想知道一年后能生出多少对兔子，假定这对大兔子每月可生雌雄各一的一对小兔子，而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子，以后也是每月产雌雄各一的一对小兔子。问：一年后（也就是到第13个月开始）能生出多少对兔子？
解 由题设知，第一个月有一对兔子，第二个月开始时有两对兔子（大、小兔子各一对），第三个月开始，新出生的小兔子刚长成大兔子还不能产仔，只有原来的一对大兔子产仔一对，共有2+1=3对兔子，它是第一、第二两个月兔子对数的总和。
第四个月开始时，除第三个月出生的一对兔子不产仔外，其余的两对兔子都能产仔，共产小兔子2对，与第二个月兔子的对数相同，因此共有2+3=5对，它等于第二、第三两个月兔子对数的总和。
一般地，可这样考虑：我们用f(n)表示第n个月初兔子的对数。因为第n个月开始时，除第n-1个月新生的兔子不能产仔外，其余的兔子，即在第n-2个月时已有的兔子都能产仔，而第n-2个月共有兔子数为f(n-2)对，故第n个月新生的小兔子共有f(n-2)。
又因为第n个月的兔子是由两部分组成，一部分是在第n-1个月时已有的兔子，共f(n-1)对；另一部分是第n个月新生的小兔子，有f(n-2)对。因此，第n个月共有：
f(n)= f(n-1)+ f(n-2) ①
公式①给出了连续多年兔子数之间的关系，我们称公式①为递推公式。
我们已经知道：f(1)=1 ,f(2)=2,当n≥3时，利用公式①可以计算出f(n)的值如下：
f(3)=1+2=3 f(4)=3+2=5
f(5)=5+3=8 f(6)=8+5=13
f(7)=13+8=21 f(8)=21+13=34
f(9)=34+21=55 f(10)=55+34=89
f(11)=89+55=144 f(12)=144+89=233
f(13)=233+144=377
解得：一年后（即第13个月）有兔子377对。
若规定f(0)=1，f(1) =1，由递推公式①可得到数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
数学界把这个数列叫做斐波那契数列，以纪念最先得到这个数列的数学家[斐波那契（Leonardo Fibonacci）,(约1170~1250)，是意大利数学家。