谈位似图形的定义

　　新课程对初中几何的学习提出了许多新的要求,降低了推理的难度,提高了图形操作、图形变换方面的要求. 新课程突出了变换在几何学习中的作用,许多几何性质都是通过变换研究得出的,平移、轴对称、旋转、相似共同构成了初中几何的四个变换,提升了学生对几何图形的认识高度.在人教版初中数学实验教科书中,“位似”安排在九年级下册,是学习了“相似变换”后,紧接安排的学习内容,体现了“位似变换”是一种特殊的“相似变换”,是一种位置特殊的“相似变换”．

　　在具体的数学教学实践中,许多教师由于自身在中学阶段没有接触过、学习过位似这个概念,没有受过必要的训练,因此对位似概念的理解只局限于教材上的文本.事实上,只要稍加深入思考,就会发现教材中位似定义的严密性是很弱的.随着教师思考的深入,也造成了许多教师对位似认识的混乱与教学上的困惑．

　　1 对位似图形定义的常见争议

　　定义：如果两个相似图形,每对对应点所在直线都经过同一点,且对应边平行或共线,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心．

　　对于位似的这个定义,许多教师认为 “对应边平行或共线”这一条件加在其中,既显多余,又不合理,应该省略,理由主要有以下三点：

　　(1)形状相同的图形不一定有对应边,因此判定两图形位似时,不需要加上“对应边平行或共线”这一条件.如大小不同的两个同心圆是位似图形,两圆的圆心是位似中心,但这两圆没有对应边．

　　(2)位似定义中“每对对应点”不仅仅是“每对对应顶点”,因此只要保证“每对对应点所在直线都经过同一点”这一条件,就能保证“对应边(如果有的话)平行或共线”．

　　(3)“对应边平行或共线”这一条件的作用只是体现在判定两个由对应边构成的相似图形是否位似上,与位似图形的定义没有关系.比如判定相似多边形是否位似时,需先证明各对对应顶点所在直线都经过同一点,再观察各对应边是否平行或共线：若对应边平行或共线,即判定两图形位似；若有一对对应边既不平行又不共线,即否定两图形位似.在这里“对应边平行或共线”,只是证明相似多边形是否位似的最后一步．

　　2 位似图形比较严谨的定义

　　定义：两个图形相似,且一个图形上的任意点A、B、…、P和另一个图形上的点A′、B′、…、P′,分别对应,并且满足下列两个条件：

　　(1)直线AA′、BB′、…、PP′都经过同一点O,

　　(2)有向线段之比[SX(]OA[]OA′[SX)]=[SX(]OB[]OB′[SX)]=…=[SX(]OP[]OP′[SX)]=k.

　　则称这两图形是位似图形,点O叫做位似中心,k叫做位似比.当k>0时,这两个位似图形叫做相互外位似,其位似中心叫做外位似中心.此时,两个位似图形的各对对应点,都在位似中心的同旁.当k<0时,这两个位似图形叫做相互内位似,其位似中心叫做内位似中心.此时,两个位似图形的各对对应点,都在位似中心的异旁．

　　3 判定位似图形的一个不充分条件

　　如图1,正方形ACBE的对角线相交于点O,点D是OC的中点,设A、B两点所组成的图形为F,另设C、D两点所组成的图形为F′,考虑F与F′是否位似．

　　因为任意两条线段形状相同都相似,所以线段AB与线段CD相似,其端点的对应情况有两种：一种是A对应C,B对应D；另一种是A对应D,B对应C.从而F与F′也相似,对应情况也有两种：一种是A对应C,B对应D；另一种是A对应D,B对应C．

　　根据以上分析,我们可以得到以下结论：每对对应点所在直线都经过同一点的相似图形不一定位似.即“两个图形相似并且每对对应点所在直线都经过同一点”是判定图形位似的一个不充分条件

　　4 对教材编写的一点建议

　　在初中阶段,为了使学生易于接受新知识,教材常本着科学性和量力性相结合的原则,对一些原本严密的数学概念进行改写,仅仅给一种描述,这就导致这些概念的严密性存在缺陷,位似的概念就是其中之一.义务教育课程标准中,对位似的要求是“了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小”,由此可见课标让学生了解位似,定位于让学生知道位似是一种放缩变换,而非定位于让学生掌握似位的准确定义.在生活和生产中,有时需要放大一个图形,有时又需要缩小图形,所以学会按要求把图形放大或缩小的方法具有一定的实际意义.利用位似就可以很方便的将一个图形放大或缩小,因此教材编写及教师教学中,要让学生学会利用位似将一个图形放大或缩小,在画图过程中体会和理解位似的概念．

　　考虑到初中阶段,位似的两个图形不宜涉及带有曲线和离散点,因此建议教材在编写时,采用“描述位似图形、定义位似多边形”的编写方式.其中位似多边形可定义为“如果两个多边形相似,而且各对对应顶点所在直线相交于一点,对应边平行或共线,那么这两个多边形叫做位似多边形,这个点叫做位似中心”,这样既可保证概念的严密性,又便于学生学习、理解和掌握.至于位似图形的准确定义,可以留待学生到高中或大学再来学习,这样可以避免位似图形概念严密性与学生可接受性之间顾此失彼的尴尬.另外,考虑到位似内容的困难性,教材最好将其列为选学内容,供学有余力的学生来学习与研究.以上建议,是笔者对位似知识进行教学后的体会与反思,以期为教师教学和教材编写者改进教材提供参考．

　　参考文献

　　［1］叶立志.位似图形的概念里不能添加“对应边平行”［J］.中小学数学(初中版).2009,(5).

　　［2］杨永利.位似图形的定义真的有缺陷吗？ ［J］.中小学数学(初中版).2009,(7、8).

　　［3］宋修丽.位似图形的定义没有缺陷［J］.中学数学杂志.2009,(6).

　　［4］刘同军.谈位似及其教学定位［J］.中学数学杂志.2009,(2).

　　［5］蔡昌秀、蔡历亮. 从“形的变换”到“数的变换”——中考中一道填空压轴题的赏析与启示［J］.中国数学教育(初中版),2010,(11)．

　　［6］中国中学教学百科全书总编辑委员会数学卷编辑委员会编.中国中学数学百科全书数学卷［M］.沈阳:沈阳出版社,1991：99,127．

　　［7］朱德祥编.初等几何研究［M］.北京:高等教育出版社,1985．

　　作者简介：蔡历亮,男,中学二级教师,黄岩区教坛新秀、师德先进个人,中国教育学会数学教育研究发展中心会员,从事中学数学教学与研究工作,发表文章10余篇,现主持市级重点课题的研究．

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