应用数学浅观 精选

已有 7275 次阅读 2009-4-7 23:47 |个人分类:问题讨论|系统分类:观点评述|关键词:应用数学 数学

数学从它诞生的第一天起，就发展出完全不同的两个方向。一是理论数学，一是应用数学。 理论数学以她智慧的灵魂，优雅的身姿，严谨的思辨，简洁的语言，引无数智者竞折腰。她有哲学般的高贵，也得美学类的众爱。她是科学的皇后（徐迟语）。她目空江湖，我行我素，从不在乎别人，她自己就是一切。 应用数学，就没有那么神气了。因为她被打上了一个深深的烙印：工具。所以，应用数学只能是仆人的地位，只能依附别的学科而生存。既然是仆人，首先要找一个好主人。如果她幸运地找到了一个好主人，就要扮演好自己的角色，她势必还要：1、须按主人的喜好行事；2、要不断提高技能以满足主人的要求；3、自己工作好坏要主人首肯。当然，这个仆人如果表现优异，改变了主人的生活，给了主人一个光明的前景。那她可以被扶正，甚至反仆为主，将自己的名字写进主人的家谱。 从历史上看，数学家应用数学在其它领域，对其它领域产生革命性影响的事例不见个别。首先是物理学，事实上，许多物理学家同时是数学家。大家熟知的牛顿（Isaac Newton，1643-1727）有三大定律，麦克斯韦尔（James Clerk Maxwel，1831-1879）持电磁方程组，爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）亮相对论，这些都是用美妙的数学进行刻画的，他们不仅对物理学而且对数学的贡献都是巨大的。后来，数学所问津的新领域对该领域的影响常常是革命性的，例如，天才数学家纳什（John Forbes Nash，1928-）提出纳什均衡给经济学带来了深刻的变化和巨大的进展。现在在非合作博弈论和经济分析所应用的博弈论中，纳什均衡都是核心。 在经济学领域及与其相关的市场、金融甚至政治学中，纳什均衡都扮演着重要角色。随后，许多诺贝尔经济学奖都由数学家获得。Black（Fischer Sheffey Black，1938–1995）-Scholes（Myron Samuel Scholes，1941-）-Merton（Robert Cox Merton，1944-） 的理论使随机过程，偏微分方程等高深的数学理论走进了金融领域，并拓展了一片崭新而深刻的数量金融天地，并引领了许多第一流的数学家和一大批青年数学俊杰进入这个天地。在我国，在理论领域如解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论作出突出贡献的数学巨匠华罗庚先生（1910-1985 ）也深深涉足应用数学，他所研究的优选法和统筹法，其实际意义巨大。不仅如此，华先生晚年一直身体力行的向基层推广“双法”，为应用数学工作者作出了表率。 但大多数应用数学工作者的主要工作是“Case to Case”，且“Object-Oriented”，即具体问题具体对待，以对象为目标，以解决问题为目的。为了解决问题，蓄发内功，见招拆招，八仙过海，各显神通。在应用数学中，不在乎你用的方法漂不漂亮，而是在乎结果漂不漂亮，方法则是越简单越易懂越容易推广越好。但无容置疑，应用数学的重要性是被越来越多学科所认识。  数学擅长于处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。 事实上，应用数学是这样为其它学科服务的： 第一步，数学建模。即将研究对象的规律抽象出来，用数学的语言来描述。这是件很难的事情，要求建模者对建模对象有透彻地了解，这包括了解问题的本质，变化规律和各种因素的依赖关系；建模者也要有剥离问题，修剪枝杈，抓住主要矛盾并进行总结抽象的能力，还要有稳健掌控、灵活应用数学方法的功底。有时规律是知道的，但需要对具体问题进行参数设定。很多时候模型是数学的反问题。 第二步，将建立起的数学模型，利用数学理论和计算机技术进行推演、论证和计算，得到数学结果。这部分是数学工作者的拿手好戏，在计算机时代的今天，许多模型可以通过计算或模拟得到结果。当然也有可能模型所提出的数学问题的难度超过了现有的研究水平，或者激发一个新的数学领域。 第三步，验证数学结果。这个验证有两方面的意义，一是模型建立的对不对，有没有捡了芝麻，丢了西瓜，或者干脆连芝麻也没捡到；二是看看数学的推演和计算对不对。检验的方法有：常识检对，压力测试和历史数据验证。 第四步，分析数学结果。因为成功的数学结果往往大于人们的预期，告诉人们许多“猜不到”的结论。将数学结果分析，讨论，用研究对象本来的语言将结果重述，可以达到甚至超过原课题所要求的目的。  随着科学的发展，应用数学的主人越来越多，对应用数学的要求也越来越高。从原来的自然科学学科，到现在的很多交叉学科、社会学科都能见到数学的踪影。近年来，技术上的飞跃是计算机的发展，计算能力不断翻番。而各学科与计算机之间的桥梁就是数学模型。毕竟在计算机飞速发展的今天，脱离这个现实必定落伍，必定在低水平上徘徊，那也就更谈不上赶超世界先进水平。然而，应用数学虽然重要但作为仆人是不好当的。如果说国内理论数学水平在国际上还有一拚，那么应用数学的水平就差强如意了。应用数学这种尴尬地位的与我们的教育制度、科研状态有关。目前，我们应用数学当不好自己角色的情形主要有如下几种： 情形一：无法沟通。不是仆人听不懂主人的话，就是主人听不懂仆人的话，也就是双方没有共同语言，鸡同鸭讲，无法交流。这是因为不同的学科有不同的体系，有不同的文化。真所谓隔行如隔山。有些主人数学修养不够，提不出数学问题，也不知道如何应用数学去解决问题，或者只为了让自己的论文看起来高深些，加上两个\Sigma。而仆人对主人的工作更是一头雾水，不知所以，也没有耐心倾听主人的问题。 情形二：不听吩咐。这就是仆人做着主人想做的事，却只按自己的方式行事，与主人的要求渐行渐远，最后主人也不懂仆人在干什么。这是目前我们应用数学的一个顽疾，这当然与我们的评价体系有关。很多应用数学解决了主人的问题，在主人的成绩单上却挂不上号，另一方面，应用数学又被理论数学误解，瞧不起，认为太小儿科。这样，很多号称从事应用数学的人就是按理论数学的模式作为。他们做研究只为发表论文，只为SCI。于是，到别人发表的论文中找题目，在自己的文章的引言中提一下背景，就万事大吉。然后任凭自己的兴趣对原问题加加减减，制造出更困难的问题，起劲地动用各种高深的数学理论，得到貌似漂亮的结果。至于这个结果有什么用，怎么用，如何回答背景学科等都不在他们的关心范围内，结果与实际严重脱节。 情形三：不能达标。主人交待的任务太难，超过仆人的能力，目前无法解决。虽然理论数学的研究走在应用数学的前面，但并不是所有实际中提出的数学问题在理论上都有解答。相反，很多时候，理论研究大大落伍于这些实际问题。例如，在金融衍生品中，很多组合产品动则上百种性质不同的风险资产，要计算其相关风险，就要解的问题维数达到上百，除了模拟，远远超过我们计算所能达到的范围。再如，有时模型写出的高度非线性也超出了理论所能解决的范畴。当然，这些给理论工作者提出了很好的课题，但不能立即解答应用学科所迫切要解决的问题。 那么这些状况如何改进，应用数学和主人学科如何牵手合作呢？如何冲破隔阂，互相沟通、取长补短、双方共赢呢？ 对应用数学工作者来说，首先，要精通数学，深刻理解数学的各分支的特点、涵面和进展。 其次，要充分理解其服务对象，也就是说，要将数学“应用”进某个其他学科，你至少是半个该学科专家。你要学习该学科的基本原理，理解该学科的困难问题，弄懂该学科的行话，明白该学科的处理问题方式，清楚该学科想要的结果。更重要的你要有和该学科的专家进行研讨问题的能力。结合自己的修养，把问题在该学科的容许范围内简化抽象，再归入某类数学分支，然后应用自己在这个分支的长项，解决问题。得到结果后，再反馈给原学科，听取原学科专家对这个结果的评判。还要有耐心教育、提高原学科的数学水平，推广你的成果。 再者，要会熟练应用计算机，并能随时跟踪最新的计算技术。当然也要求有很高的外语水平，时刻关心其它类似问题的解决方案和进展。 这样可以看出来，应用数学工作者不好当，这种要求十八般武艺样样精通的活当然不好干。 那么想用数学的主人学科呢，也不应该坐着不动。要想应用数学为你服务到家，也要努力。首先要了解数学，要明白哪些事是数学可以做的，是可以做好的。要有能力让应用数学工作者明白你的问题所在，并向他们提供所有你已有的资料，包括原理，经验公式，实验数据等。参与建模过程，因为你对建模的理念、条件的简化最有发言权。跟踪应用数学工作者的工作过程，随时对他们的工作方向提出自己的意见，还要让他们清楚地知道你想要的预期。最后对应用数学工作者作出的结果进行专业评价，并由此调整自己的工作。如果由此取得进展或成功，应肯定应用数学工作者的工作并与其分享成果。 具体说来， 一、从教育入手，打破专业限制。学习应用数学专业的学生，至少应该辅修一门其他学科的专业课。其他学科的学生，数学学习要大大加强。鼓励大学生参加数学建模的学习和竞赛。 二、建立交流机制。各学科应该有了解自己专业的应用数学工作者，创造融洽合作的氛围，有机会，给场合，花时间互相交流，提出问题，讨论问题。 三、实行合理的评价制度。应用数学工作者虽然可以发表一些论文，但很多结果虽然很有实际意义，但很多问题难上SCI，而专利、项目和基金的实惠又很难落到他们的头上。这样迫使很多应用数学工作者为了评职称等因素改弦易辙。所以只有找到合理的报酬方式，才能鼓励更多的年轻人投入到应用数学的行当，适应技术的发展，使整体科学水平得以提高。