九乡新闻网西雅图到温哥华大巴:韓信點兵，，张亮细看
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/30 04:53:30
簡介：
韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：
三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。因此你可以知道，原來這一堆蠶豆最少有37粒。
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。
解決問題過程：
QUESTION1：有一群人，3人一數剩1人，5人一數剩1人，7人一數剩1人，全部至少有幾人？
仔細觀察，我們在數這群人的過程，會發現一個共同點→最後面數完都剩下一人，所以我們可以用下面的式子來表示：
某數÷3＝a………1（a≧0）
某數÷5＝b………1（b≧0）
某數÷7＝c………1（c≧0）
我們可以將上面的式子稍微改寫一下，會變成：
某數＝a×3＋1………（1）（a≧0）
某數＝b×5＋1………（2）（b≧0）
某數＝c×7＋1………（3）（c≧0）
從（1）式，我們知道某數可能為1當a=0的時候，當然某數也可能為4當a=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、4、7、10、…中的任何一個。
從（2）式，我們知道某數可能為1當b=0的時候，當然某數也可能為6當b=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、6、11、16、…中的任何一個。
從（3）式，我們知道某數可能為1當c=0的時候，當然某數也可能為8當c=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、8、15、22、…中的任何一個。
我們綜合上面三個式子的發現，將結果表示在下面：
0
1
2
3
4
5
…
7
…
15
…
21
…
35
…
（1）
1
4
7
10
13
16
…
22
…
46
…
64
…
106
…
（2）
1
6
11
16
21
26
…
36
…
76
…
106
…
176
…
（3）
1
8
15
22
29
36
…
50
…
106
…
148
…
246
…
我們由上表發現某數在1與106的地方會發生三個式子都相同的數值，而某數在16、22和36的地方會有兩個式子相同的數值，仔細觀察，我們將整理後的結果呈現如下:
16＝ 5×3＋1＝ 3×5＋1
(1) (2)
22＝ 7×3＋1＝ 3×7＋1
(2) (3)
36＝ 7×5＋1＝ 5×7＋1
(1) (3)
從上面的算式我們看出其中存在的一些規律：
因為3與5互質，所以[3,5]＝3跟5的乘積
→我們說16是3和5的最小公倍數加1
因為3與7互質，所以[3,7]＝3跟7的乘積
→我們說22是3和7的最小公倍數加1
因為5與7互質，所以[5,7]＝5跟7的乘積
→我們說36是5和7的最小公倍數加1
由此我們試著將106也使用這種方法來列式得到：
（1）106＝35×3＋1
（2）106＝21×5＋1
（3）106＝15×7＋1
上方的三個式子都可用→106＝3×5×7＋1這個式子來表示。
(因為35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我們可以說，106是3、5、7中任意2個數的最小公倍數乘上另外一數的乘積加1的結果。
因為3、5、7兩兩之間互質，所以[3,5,7]＝3、5、7的乘積
所以我們說106是3、5、7的最小公倍數加1
ANSWER: 至少有106人
QUESTION2：有一群人，3人一數剩1人，5人一數剩3人，7人一數剩5人，全部至少有幾人？
這題其實也有一個共通點→最後面數完都不足二人，所以我們可以用下面的式子來表示：
某數＝a×3－2………（1）（a≧0）
某數＝b×5－2………（2）（b≧0）
某數＝c×7－2………（3）（c≧0）
從上面各式，我們知道某數在第(1)式可能為1當a=1時候、在(2)式可能為3當b=1時候、在(3)式可能為5當c=1時候，當然某數在(1)式時也可能為4當a=2的時候、在(2)式時也可能為8當b=2的時候、在(3)式時也可能為12當c=12的時候，依此類推。
我們綜合上面三個式子的發現，將結果表示在下面：
1
2
3
4
5
…
7
…
15
…
21
…
35
…
（1）
1
4
7
10
13
…
19
…
43
…
61
…
103
…
（2）
3
8
13
18
23
…
33
…
73
…
103
…
173
…
（3）
5
12
19
26
33
…
47
…
103
…
145
…
253
…
從上表發現某數在106的地方會發生三個式子都相同的數值，而某數在13、19和33的地方會有兩個式子相同的數值，仔細觀察，我們將整理後的結果呈現如下:
13＝5×3－2＝3×5－2
(1) (2)
19＝7×3－2＝3×7－2
(1) (3)
33＝7×5－2＝5×7－2
(2) (3)
從上面的算式我們看出其中存在的一些規律：
→13是3和5的最小公倍數減2
→19是3和7的最小公倍數減2
→33是5和7的最小公倍數減2
由此我們試著將103也使用這種方法來列式
（1）103＝35×3－2＝7×5×3－2
（2）103＝21×5－2＝3×7×5－2
（3）103＝15×7－2＝3×5×7－2
上方的三個式子都可用→103＝3×5×7－2這個式子來表示。
(因為35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我們可以說，103是3、5、7中任意2個數的最小公倍數乘上另外一數的乘積減2的結果。
ANSWER: 103人
QUESTION3：有一群人，3人一數剩2人，5人一數剩3人，7人一數剩4人，全部至少有幾人？
我們從question1與question2的方法中可以發現:
1.除3餘2的數有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44……。
除5餘3的數有：8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、……。
所以即除3餘2，並除5餘3的數有：
8 、 23 、 38 、 53 、 68………皆差15
+15 +15 +15 +15
2.同1.，我們也可以得到除5餘3、除7餘4的數有：
18 、 53 、 88 、 123………皆差35
+35 +35 +35
綜合1、2兩點，整理後列出下表:
被3除之餘2
2,5,8,11,14,17,20,23…47,50,53,56,59,62…149,152,155,
158,161,164…251,254,257,260,263,266,269………
被5除之餘3
3,8,13,18,23,28…43,48,53,58,63,68,73…143,148,153,
158,163,168…253,258,263,268,273,278………
被7除之餘4
4,11,18,25…39,46,53,60,67,74,81…130,137,144, 151,
158,165,172…249,256,263,270,277,284………
從上表觀察出，除3餘2、除5餘3、除7餘4的數有：
53 、 158 、 263………皆差105
+105 +105
也就是說，從53開始，逐次加105都是答案。
根據上面的描述，我們將其寫成公式:
某數＝53＋105?k k為整數
《我們馬上就可看出最小的正整數解為53。》
※這題我們也可以用孫子算經上的方法來求解:
我們先把3、5、7中任意兩個數的最小公倍數算出來，看是否為另一數的倍數加餘數，如等式不成立，即把此公倍數依序乘上2、3、4、5……依此類推，直到某數減掉餘數後，能被另一數整除為止。
1.35=3×11＋2，35是能被5和7整除，且除3餘2的數。
2.21=5×4＋1，21並不是除5餘3的數，所以我們將其乘上2
42=5×8＋2，42也不是除5餘3的數，所以我們將21乘上3
63=5×12＋3，在63時，某數能被3和7整除，並除5餘3。
3.同2.15=7×2＋1、30=7×4＋2、45=7×6＋3、60=7×8＋4，15並不是除7餘4的數，所以我們還是將其依序乘上2、3、4、5…發現某數在60時，能被3和5整除，並除7餘4。
我們將上述整理成一個式子--
35=3×11＋2=5×7
63=5×12＋3=3×7×3
60=7×8 ＋4=3×5×4
最後，把得到的3個數加起來，減去小於自己但最接近自己的公倍數，這樣即可求出最小的正整數解:
70＋63＋60－105×1=158－105=53
ANSWER: 53人
＊question1與question2也是可用孫子算經的方法求解的：
question1：70＋21＋15=106
question2：70＋63＋75－105×1=208－105=103
結論
1. 韓信點兵問題有無窮多個解答。
2. 韓信點兵問題的解決方法不只一種。
3. 無論問題的餘數是多少，皆可用”中國剩餘定理”的公式x=a×70+b×21+c×15+105×n（n為整數）來算出答案。
參考文獻
網路資源--
淡江數學首頁http://www.math.tku.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/HanShin.htm
台南市光華女中資源中心http://content.edu.tw/junior/math/tn_kh/1.2.1/in1-3.htm
數學知識--談韓信點兵問題<蔡聰明>
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_09_1/
圖書資源--
林聰源，《數學史─古典篇》，凡異出版社。
張良杰，趣味數學問題集，凡異出版社。
項武義，＜漫談基礎數學的古今中外─從韓信點兵和勾股弦說起＞，《數學傳播》第21卷第1期。
李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，九章出版社。
數學與數學家的故事，九章出版社。
古算趣事，金藏書局。
十萬個為什麼，陽明書局。
韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：
三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。因此你可以知道，原來這一堆蠶豆最少有37粒。
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。
解決問題過程：
QUESTION1：有一群人，3人一數剩1人，5人一數剩1人，7人一數剩1人，全部至少有幾人？
仔細觀察，我們在數這群人的過程，會發現一個共同點→最後面數完都剩下一人，所以我們可以用下面的式子來表示：
某數÷3＝a………1（a≧0）
某數÷5＝b………1（b≧0）
某數÷7＝c………1（c≧0）
我們可以將上面的式子稍微改寫一下，會變成：
某數＝a×3＋1………（1）（a≧0）
某數＝b×5＋1………（2）（b≧0）
某數＝c×7＋1………（3）（c≧0）
從（1）式，我們知道某數可能為1當a=0的時候，當然某數也可能為4當a=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、4、7、10、…中的任何一個。
從（2）式，我們知道某數可能為1當b=0的時候，當然某數也可能為6當b=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、6、11、16、…中的任何一個。
從（3）式，我們知道某數可能為1當c=0的時候，當然某數也可能為8當c=1的時候，依此類推，我們可以知道某數可能為1、8、15、22、…中的任何一個。
我們綜合上面三個式子的發現，將結果表示在下面：
0
1
2
3
4
5
…
7
…
15
…
21
…
35
…
（1）
1
4
7
10
13
16
…
22
…
46
…
64
…
106
…
（2）
1
6
11
16
21
26
…
36
…
76
…
106
…
176
…
（3）
1
8
15
22
29
36
…
50
…
106
…
148
…
246
…
我們由上表發現某數在1與106的地方會發生三個式子都相同的數值，而某數在16、22和36的地方會有兩個式子相同的數值，仔細觀察，我們將整理後的結果呈現如下:
16＝ 5×3＋1＝ 3×5＋1
(1) (2)
22＝ 7×3＋1＝ 3×7＋1
(2) (3)
36＝ 7×5＋1＝ 5×7＋1
(1) (3)
從上面的算式我們看出其中存在的一些規律：
因為3與5互質，所以[3,5]＝3跟5的乘積
→我們說16是3和5的最小公倍數加1
因為3與7互質，所以[3,7]＝3跟7的乘積
→我們說22是3和7的最小公倍數加1
因為5與7互質，所以[5,7]＝5跟7的乘積
→我們說36是5和7的最小公倍數加1
由此我們試著將106也使用這種方法來列式得到：
（1）106＝35×3＋1
（2）106＝21×5＋1
（3）106＝15×7＋1
上方的三個式子都可用→106＝3×5×7＋1這個式子來表示。
(因為35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我們可以說，106是3、5、7中任意2個數的最小公倍數乘上另外一數的乘積加1的結果。
因為3、5、7兩兩之間互質，所以[3,5,7]＝3、5、7的乘積
所以我們說106是3、5、7的最小公倍數加1
ANSWER: 至少有106人
QUESTION2：有一群人，3人一數剩1人，5人一數剩3人，7人一數剩5人，全部至少有幾人？
這題其實也有一個共通點→最後面數完都不足二人，所以我們可以用下面的式子來表示：
某數＝a×3－2………（1）（a≧0）
某數＝b×5－2………（2）（b≧0）
某數＝c×7－2………（3）（c≧0）
從上面各式，我們知道某數在第(1)式可能為1當a=1時候、在(2)式可能為3當b=1時候、在(3)式可能為5當c=1時候，當然某數在(1)式時也可能為4當a=2的時候、在(2)式時也可能為8當b=2的時候、在(3)式時也可能為12當c=12的時候，依此類推。
我們綜合上面三個式子的發現，將結果表示在下面：
1
2
3
4
5
…
7
…
15
…
21
…
35
…
（1）
1
4
7
10
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…
19
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43
…
61
…
103
…
（2）
3
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13
18
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…
33
…
73
…
103
…
173
…
（3）
5
12
19
26
33
…
47
…
103
…
145
…
253
…
從上表發現某數在106的地方會發生三個式子都相同的數值，而某數在13、19和33的地方會有兩個式子相同的數值，仔細觀察，我們將整理後的結果呈現如下:
13＝5×3－2＝3×5－2
(1) (2)
19＝7×3－2＝3×7－2
(1) (3)
33＝7×5－2＝5×7－2
(2) (3)
從上面的算式我們看出其中存在的一些規律：
→13是3和5的最小公倍數減2
→19是3和7的最小公倍數減2
→33是5和7的最小公倍數減2
由此我們試著將103也使用這種方法來列式
（1）103＝35×3－2＝7×5×3－2
（2）103＝21×5－2＝3×7×5－2
（3）103＝15×7－2＝3×5×7－2
上方的三個式子都可用→103＝3×5×7－2這個式子來表示。
(因為35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我們可以說，103是3、5、7中任意2個數的最小公倍數乘上另外一數的乘積減2的結果。
ANSWER: 103人
QUESTION3：有一群人，3人一數剩2人，5人一數剩3人，7人一數剩4人，全部至少有幾人？
我們從question1與question2的方法中可以發現:
1.除3餘2的數有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44……。
除5餘3的數有：8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、……。
所以即除3餘2，並除5餘3的數有：
8 、 23 、 38 、 53 、 68………皆差15
+15 +15 +15 +15
2.同1.，我們也可以得到除5餘3、除7餘4的數有：
18 、 53 、 88 、 123………皆差35
+35 +35 +35
綜合1、2兩點，整理後列出下表:
被3除之餘2
2,5,8,11,14,17,20,23…47,50,53,56,59,62…149,152,155,
158,161,164…251,254,257,260,263,266,269………
被5除之餘3
3,8,13,18,23,28…43,48,53,58,63,68,73…143,148,153,
158,163,168…253,258,263,268,273,278………
被7除之餘4
4,11,18,25…39,46,53,60,67,74,81…130,137,144, 151,
158,165,172…249,256,263,270,277,284………
從上表觀察出，除3餘2、除5餘3、除7餘4的數有：
53 、 158 、 263………皆差105
+105 +105
也就是說，從53開始，逐次加105都是答案。
根據上面的描述，我們將其寫成公式:
某數＝53＋105?k k為整數
《我們馬上就可看出最小的正整數解為53。》
※這題我們也可以用孫子算經上的方法來求解:
我們先把3、5、7中任意兩個數的最小公倍數算出來，看是否為另一數的倍數加餘數，如等式不成立，即把此公倍數依序乘上2、3、4、5……依此類推，直到某數減掉餘數後，能被另一數整除為止。
1.35=3×11＋2，35是能被5和7整除，且除3餘2的數。
2.21=5×4＋1，21並不是除5餘3的數，所以我們將其乘上2
42=5×8＋2，42也不是除5餘3的數，所以我們將21乘上3
63=5×12＋3，在63時，某數能被3和7整除，並除5餘3。
3.同2.15=7×2＋1、30=7×4＋2、45=7×6＋3、60=7×8＋4，15並不是除7餘4的數，所以我們還是將其依序乘上2、3、4、5…發現某數在60時，能被3和5整除，並除7餘4。
我們將上述整理成一個式子--
35=3×11＋2=5×7
63=5×12＋3=3×7×3
60=7×8 ＋4=3×5×4
最後，把得到的3個數加起來，減去小於自己但最接近自己的公倍數，這樣即可求出最小的正整數解:
70＋63＋60－105×1=158－105=53
ANSWER: 53人
＊question1與question2也是可用孫子算經的方法求解的：
question1：70＋21＋15=106
question2：70＋63＋75－105×1=208－105=103
結論
1. 韓信點兵問題有無窮多個解答。
2. 韓信點兵問題的解決方法不只一種。
3. 無論問題的餘數是多少，皆可用”中國剩餘定理”的公式x=a×70+b×21+c×15+105×n（n為整數）來算出答案。
參考文獻
網路資源--
淡江數學首頁http://www.math.tku.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/HanShin.htm
台南市光華女中資源中心http://content.edu.tw/junior/math/tn_kh/1.2.1/in1-3.htm
數學知識--談韓信點兵問題<蔡聰明>
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_09_1/
圖書資源--
林聰源，《數學史─古典篇》，凡異出版社。
張良杰，趣味數學問題集，凡異出版社。
項武義，＜漫談基礎數學的古今中外─從韓信點兵和勾股弦說起＞，《數學傳播》第21卷第1期。
李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，九章出版社。
數學與數學家的故事，九章出版社。
古算趣事，金藏書局。
十萬個為什麼，陽明書局。