九乡新闻网血与酒怎样走童话:华东师大心理学统计笔记2
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/01 19:55:00
第一章 绪论
&1.随机现象与统计学
确定现象 随机现象
本人性别 生男生女
光的速度 学习成绩
种豆得豆 （人的）反应速度
随机现象：具有以下三个特性的现象称为随机现象
（i） 一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的。
（ii） 试验之前不能预料哪一种结果会出现
（iii） 在相同条件下可以重复试验
随机事件：随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。
随机变量：把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量
统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布：(i)正态分布 eg:学习成绩
图（略）
(ii)双峰分布 eg::汽车拥挤程度
图（略）
(iii)另一种分布 eg:如下
图（略）
&2.总体和样本
总体：是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和
样本：是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
(i) 总体：有限总体：总体所包含的个体数目有限时
无限总体：总体所包含的个体数目无限时 →参数：总体上的各种数字特征
(ii) 总体→抽样→ 样本：大样本：>30 >50
小样本：≤30 ≤50（更精神）
(样本容量：样本中包含的个体数目)
→统计量：样本上的数字特征
根据统计量来估计参数
&3.心理统计学的内容
1． 描述统计：
对已获得的数据进行整理，概括，显现其分布特征的统计方法。
集中量 平均数 ＃
描述 差异量 标准差S: S大：差异大/不稳定 对个别
S小：差异小/稳定 对个别
统计 相关量：相关系数（表示两件事情的相互关系）r.r∈[-1,1](r表示从无关道完全相关，相关：正相关，相关，负相关)
2． 推断统计
参数估计：＃→μ
s→σ
推断 r→р
统计 假设检验：参数检验
非参数检验
3． 实验设计
↓
初级的，用平均数，百分比
↓
后来，平均数 → T检验（2个对象）
标准差
↓
中级的，（2个或2个以上对象）（方差分析）下检验。
↓
高级的，相关回归（用相关系数）
↓
再高级的，（研究生学） 因素分析（探索性的）两两相关，写相关系数
↓
更高级的，协方差结构方程（验证性的）
前程：相同符号的一串→非参数检验中的一种
第二章 数据整理
&1.数据种类
一．间断变量与连续变量 eg:人数 ～ 间断
二．四种量表。
1．称名量表。 Eg:307室，学好，电话好吗 不能进行数学运算（也包括不能大小比较）
2．顺序量表。Eg:名次。能力大小，不能运算
3．等距量表。可以运算（做加减法），不能乘除
要求：没有绝对0
年龄有绝对0
时间（年代，日历。。。）位移无绝对0，可能有相对0，即有正负
4．等比量表。可做乘除法。
要有绝对零。
成绩中的，0分不是绝对0（因为并不说明此人一窍不通）
分数代表的意义。Eg:0~10分
与90～100分。 每一分的"距离"不一样
因为严格来说，成绩是顺序量表。但为了实际运用中的各种统计，把它作为等距量表
&2.次数分布表
一． 简单次数分布表
eg: 组别 次数（人次）
100 2
90～99 5
80～89 14
70～79 15
60～69 7
60分以下 3
1． 求全距 R=Max - Min(连续变量)
（间断变量）--R=Max－Min+1
2． 定组数 K(组数)＝1.87(N－1)。。。 →取整 N-总数
3． 定组距 I=R/K。一般，取奇数或5的倍数（此种更多）。
4． 定各组限
5． 求组值 X=(上限＋下限)/2 上限--指最高值加或取10的倍数等）
6． 归类划记
7． 登记次数
例题： 99 96 92 90 90 （I） R=99-57+1=43
87 86 84 83 83
82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9
78 78 78 77 77
77 76 76 76 76
75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5
72 72 72 71 71
71 70 70 69 69
68 67 67 67 65 (iu)组别 组值 次数
64 62 62 61 57 95~99 97 2
90~94 92 3
85~89 87 2
80～84 82 6
75～79 77 14
70～74 72 11
65～69 67 7
60～64 62 4
55～59 57 1
总和 50
二． 相对（比值）次数分布表。 累积次数分布表
相对（比值）累积次数：累积次数值/总数N
注：一般避免不等距组（"以上""以下"称为开口组）
相对次数 累积次数（此处意为"每组上限以下的人次）"小于制"
.04 50
.06 48
.04 45
.12 43
.28 37
.22 23
.14 12
.08 5
.02 1
1.00
&3.次数分布图
一．直方图
1． 标出横轴，纵轴（5：3）标刻度
2． 直方图的宽度（一个或半个组距）
3． 编号，题目
4． 必要时，顶端标数）
图
二．次数多边图
1． 画点，组距正中
2． 连接各点
3． 向下延伸到左右各自一个组距的中央
最大值即y轴最大值
相对次数分布图，只需将纵坐标改为比率。（累积次数，累积百分比也同样改纵坐标即可）"S形"曲线是正态分布图的累积次数分布图
图
第三章 常用统计量数
&1.集中量
一．算术平均数
公式
算术平均数的优缺点。P36~37
算术平均数的特征。Σ（X-#）=0 离（均数）差
Σ（X-#）（X-#）取#时，得最小值
即：离差平方和是一最小值
二．几何平均数
＃g= 略
long#g=1/NσlogXi
根据按一定比例变化时，多用几何平均数
eg: 91年 92 93 94 95 96
12％ 10％ 11％ 9％ 9％ 8%
求平均增长率
xg=
加权平均数
甲：600人 #=70分
乙：100人 #=80分
加权平均数：＃=(70*600+80*100)/(600+100) (总平均数)eg:600人，100人
简单平均数：（70＋80）/2
三．中（位）数。(Md)
1.原始数据计算法
分：奇、偶。
2．频数分布表计算法（不要求）
3．优点，缺点，适用情况（p42）
四．众数（Ｍo）
1．理论众数
粗略众数
2．计算方法：Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I
计算不要求
3．优缺点
平均数，中位数，众数三者关系。
&2.差异量数
一．全距
R=Max-Min
二．平均差（MD或AD）
MD={Σ|x-#(或Md)|}/N
三．方差
总体方差的估计值
S2 =Σ（X － #）2 反编
样本的方差：σ2 x有编
N很小时，用S2 估计总体
N>30时，用S2 或σ2 x 都可以
计算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2
标准差σx＝σ2 x2/1
四．差异系数（CV）
CV=σx/# *100% CV∈[5%,35%]
3个用途
五．偏态量与锋态量（SK）
1.偏态量：sk=(#-Mo)/σx
动差（一级~四级） a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3 三级动差计算偏态系数）
2．峰态量：高狭峰 a4>0 (a4=0 --正态峰)
低调峰。A4<0
用四级动差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3
&3.地位量数
一．百分位数
eg 30=60(分) "60分以下的还有30%的人"
二．百分等级
30→60（在30％的人的位置上，相应分数为60）
So→Md
第四章 概率与分布
&1．概率
一．概率的定义
W(A)=m/n (频率/相对频数)
后验概率：
P(A)=lim m/n
先验概率：不用做试验的
二．概率的性质和运算
1．性质：o≤P≤1
p=1 必然可能事件
p=0 不可能事件
2．加法。
P(a+b)=P(a)+P(b)
"或"：两互不相克事件和。
推广："有限个" P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
eg:（1）A=出现点数不超过4（x≤4）
P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3
(2)完全凭猜测做判断题，（共2道），做对1题的概率为：
A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi
P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5
3.乘法：
P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
Eg
1)四选1。（十道）完全凭猜测得满分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410
&2.二项分布
一．二项分布
P(x)=Cnxpxgn-x 做对的概率 px ：做错的概率 gn-x ：X:对的数量pxgn-x --每一种分情况的概率。一种情况：pxgn-x 再乘上系数。
Eg:产品合格率为90％ 取n=3（个）
TTT的情况 90 * 90*90=P3 0.729
TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081
两个合格的情况→ TTF
FTT
其概率 C32P2g1=3p2g1.
Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1
注：二项分布可能的结果只有两种。F 0r T
合格 Or 不合格
选对 Or 选错
例：（1）10道是非题，凭猜测答对5，6，7，8，9，10题的概率？至少答对5题的概率？
P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609
P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508
P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719
=.04395
=.00977
+P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098
至少答对5题：P(X≥5) = 0.62306
(2)四选一，猜中8，9，10题的概率？
P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039
二．二项分布图（P84~85）
三．二项分布的平均数与标准差（前提np≥5且ng≥5）
平均数--M=np 标准差--r=npg1/2
&3.正态分布
一．正态分布曲线
二．标准正态分布。（P387附表可查面积P）
Z=(x-ц)/r (x:原始分数)
标准分数（有正有负） ΣZ=0
三．正态分布表的使用
查表 P(0≤Z≤1)=0.34134--Z的范围中的人数比例（百分数）
P(0≤Z≤1.645)=0.4500
1.64 － .44950=0.45
1.65 － .45053=0.45
之上，标准分数高于2个标准差，则非常聪明。
Eg:1. μ=70(分) σ＝10
P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1)
P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0)
2.μ
P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ)
P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ)
图（略）
例：某地区高考，物理成绩 μ＝57。08（分） σ＝18。04（分）
总共47000人。 （1）成绩在90分以上多少人？
（2）成绩在（80，90）多少人？
（3）成绩在60分以下多少人？
解: X~N(57.08,18.042) -- 参数（μ,σ2）
Normal 表示符合正态分布
令Z= (x-57.08)/18.04） ,则Z~N(0,12)标准分数平均数一定为0，标准差一定为1。
（1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82
P(Z>1.82)=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616(人)
(2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27
P(1.27N2=NP=3177(人)
（3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16
P(Z<0.16)=.56356
N3=26487(人)
四．正态分布的应用
T=KZ+C T~N(C,K2)
IQ=15Z+100 IQ=100 一般
IQ≥130 --超常
(30=2x*15)
IQ<70 -- 弱智
70几 --bndenline
eg:1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。问录取分数定为多少分？
解： X~N(75.82)
Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12)
P=150/2800=0.053
0.5-0.053=0.447
Z=1.615
X=1.615*8+75≈88(分)
2．某高考，平均500分，标准差100分，一考生650分，设当年录取10％，问该生是否到录取分？
解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12)
Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%
所以可录取。
第五章 抽样分布（概率P）
&1.抽样方法
一． 简单随机抽样
二． 等距抽样
三． 分层抽样
四． 整群抽样
五． 有意抽样
&2.抽样分布
（1） （2） （3） （4） （5）
20 25 30 35 40
（1） ＃＝20 22.5 25 27.5 30
（2） 22.5 25 27.5 30 32.5
（3） 25 27.5 30 32.5 35
（4） 27.5 30 32.5 35 37.5
（5） 30 32.5 35 37.5 40
总体分布
图
抽样分布
图
一．平均数
E(#)=μ
二。标准差，方差。
σx=σ/n1/2 σ#2=σ2/n
&3.样本均值（#）的抽样分布
一．总体方差σ2已知时，＃的抽样分布
1．正态总体，σ2 已知时，＃的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）为抽自正态总体X~N(μ, σ2 )
的一个简单随机样本，则其样本均值＃也是一个正态分布的随机变量，且有：
E(#)=μ, σx2 =σ2 /n
即＃～N(μ, σ2 /n)
Z=(#-μ)σ/n1/2
Eg:一次测验，μ=100 σ＝5
从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本，求这一样本均值间于99到101的概率？
解： 已知X～N(100,52)
n=25.
则＃～N(100,12)
Z=(#-100)/1 ～ N(0,1)
当#=99时，Z=-1
当#=101时，Z=1
所以P(99≤#≤101)
=P(-1≤Z≤1)=.68268
2.非正态总体，σ2已知时，#的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。当n≥30时，其样本均值＃接近正态分布，且有：
E(#)=μ, σx2 =σ2 /n
即#～N(μ, σ2 /n)
若是小样本，题目无解。
Eg(1)一种灯具，平均寿命5000小时，标准差为400小时（无限总体）从产品中抽取100盏灯，问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。
解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大样本
所以＃近似正态分布
＃～N(5000,402)
当＃＝4900时，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5
P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379
3.有限总体的修正系数
（引出）（2）同上题，从2000（有限总体）盏中不放回地抽取100盏，问。。。。。
（概念）设总体是有限的总体，其均值为μ，方差为σ2 （X1,X2…Xn）是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。则样本均值＃的数学期望（E(#)）与方差为
E(#)=μ#=μ 和σ2 ＝（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)
N→∞时，修正系数不计。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)]1/2
.n/N≥0.05%,要用修正系数
如题（2），n/N＝0.05 所以要用修正系数
所以解题2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2 /n)＝2000－100）/2000-1=4002 /100=1520
σ#=15201/2 =38.987
Z=(4900-5000)/38.987= -2.565
P(Z≥-2.565)=.9949
二．总体方差σ2 未知时，样本均值＃的抽样分布。
用S2(总体方差的估计值)代替 σ2
t=(x-μ)/s/n1/2 ～tn-1→dp(自由度)=n-1
设（X1,X2,…Xn）
为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布
当总体为非正态分布，且σ2 未知。
则样本 小：无解
大：接近七分布 t≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ～ tn-1
Z≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z)
总体均值为80，非正态分布，方差未知，从该总体中抽一容量为64的样本，得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少？
解：因为64>30 是大样本
P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025
若用Z，P(Z>z) ≈0.02275
(若N24，总体正态，则Z分布1不能用，只能用七分布)
非正态总体：小样本--无解
大样本--Z≈(x-μ)/σ/n1/2
σ2 已知
正态总体 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2
非正态总体：小样本 -- 无解
σ2 未知： 大样本--t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z
正态总体：小样本--t=(x-μ)/σ/n1/2
大样本--Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2
&3.两个样本均值之差（#1-#2）的抽样分布
若＃1是独立地抽自总体X1～N(μ1,σ2 的一个容量为n,的简单随机样本的均值；＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。则两样本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2)
复杂计算
一种钢丝的拉强度，服从正态分布
总体均值为80，总体标准差6，抽取容量为36的简单随机样本，求样本均值∈[79，81]的概率
X~N(80,62)
Z~N(0,12)
Z=(x-μ)/6/361/2 =(x-8)/1
x∈[79,8081]
Z ∈[-1,1]
P=.68268
若σ不知。S=b，则 X～(80, σ2 )
用公式t=(# -μ)/s/n1/2 ~ tn-1 =t35
某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个，问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率
无解。
抽100个，则概率？
Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004
#<0.49 P(Z<-0.01/0.004)
=P(Z<-2.5)=.49379=
从500件产品中不放回地抽25件。
25/500=0.05 要修正系数（N-n）/(N-1)≈.95
某校一教师采用一种他认为有效的方法，一年后，从该师班中随机抽取9名学生的成绩，平均分84.5分，S=3。而全年级总平均分为82分，试问这9名学生的＃<84.5分的概率为多大？
#～N(82, σ2 ) t～t8
t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5
df=8
0.975≤P(t<2.5)
说明方法有效
（S=3是σ的估计值，两组数据都很整齐。
图（略）
&4.有关样本方差的抽样分布
一．f2分布
1．f2 分布的密度函数 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0)
f(x)=0 (x≤0)
图（略）
2.定理：
设（X1,X2,X3…Xn）为抽自正态总体 X～N(μ,σ2 )的一个容量为n的简单随机样本，则#=∑(X-#)2/n-1为相互独立的随机变量，且＃~N(μ, σ2 /n)
∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n)
若抽自非正态总体：小样本 -- 无解
大样本 -- X2≈(（n-1）S2 /σ2
二．F分布
1．F分布的密度函数
f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0)
f(x)=0 (x<0)
2.定理
设(X1,X2,…Xn)为抽自X～N(μ1, σ2 1)的一个容量为n1的简单~(y1,y2…yn)为抽自正态总体y～N(μ2, σ2 2)的一个容量n2的简单～，则：
当σ2 1=σ2 2时，
F=S21/S22~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2～分母自由度
第六章 参数估计（置信水平下的区间估计）
&1.点估计
E(X)(即＃)=∑x/N→μ
（拿一个点来估计参数）
D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2
&2.总体均值的区间估计
一．总体均值的区间估计，σ2 已知。
正态总体 x~N (μ, σ2 )
#~N((μ, r2/n) Z=(# -μ)/ σ/n1/2
1．某种零件的长度符合正态分布。σ＝1.5，从总体中抽200个作为样本，＃＝8.8cm，试估计在95％的置信水平下，全部零件平均长的置信区间。
解： 已知X~N(μ,1.52 )
n=200, #=8.8
1-a=0.95 →a-0.05
Z0.025=1.96
P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2
=P(8.59<μ<9.01)=0.95
10%>5%
若不放回地从2000个（总体）中抽出200个。--需修正系数
所以用(N-n)/(n-1)1/2 P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2 =0.95=P(8.60,9.00)
二 σ2 未知
P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a
为了制定高中学生体锻标准，在某区随机抽36名男生测100米，36名学生平均成绩13.5秒，S=1.1秒，试估计在95％地置信水平下，高中男生100米跑成绩的置信区间。
P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5
(13.5+-0.37)
即（13.13,13.87）
得(13.14,13.86)
&1.随机现象与统计学
确定现象 随机现象
本人性别 生男生女
光的速度 学习成绩
种豆得豆 （人的）反应速度
随机现象：具有以下三个特性的现象称为随机现象
（i） 一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的。
（ii） 试验之前不能预料哪一种结果会出现
（iii） 在相同条件下可以重复试验
随机事件：随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。
随机变量：把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量
统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布：(i)正态分布 eg:学习成绩
图（略）
(ii)双峰分布 eg::汽车拥挤程度
图（略）
(iii)另一种分布 eg:如下
图（略）
&2.总体和样本
总体：是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和
样本：是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
(i) 总体：有限总体：总体所包含的个体数目有限时
无限总体：总体所包含的个体数目无限时 →参数：总体上的各种数字特征
(ii) 总体→抽样→ 样本：大样本：>30 >50
小样本：≤30 ≤50（更精神）
(样本容量：样本中包含的个体数目)
→统计量：样本上的数字特征
根据统计量来估计参数
&3.心理统计学的内容
1． 描述统计：
对已获得的数据进行整理，概括，显现其分布特征的统计方法。
集中量 平均数 ＃
描述 差异量 标准差S: S大：差异大/不稳定 对个别
S小：差异小/稳定 对个别
统计 相关量：相关系数（表示两件事情的相互关系）r.r∈[-1,1](r表示从无关道完全相关，相关：正相关，相关，负相关)
2． 推断统计
参数估计：＃→μ
s→σ
推断 r→р
统计 假设检验：参数检验
非参数检验
3． 实验设计
↓
初级的，用平均数，百分比
↓
后来，平均数 → T检验（2个对象）
标准差
↓
中级的，（2个或2个以上对象）（方差分析）下检验。
↓
高级的，相关回归（用相关系数）
↓
再高级的，（研究生学） 因素分析（探索性的）两两相关，写相关系数
↓
更高级的，协方差结构方程（验证性的）
前程：相同符号的一串→非参数检验中的一种
第二章 数据整理
&1.数据种类
一．间断变量与连续变量 eg:人数 ～ 间断
二．四种量表。
1．称名量表。 Eg:307室，学好，电话好吗 不能进行数学运算（也包括不能大小比较）
2．顺序量表。Eg:名次。能力大小，不能运算
3．等距量表。可以运算（做加减法），不能乘除
要求：没有绝对0
年龄有绝对0
时间（年代，日历。。。）位移无绝对0，可能有相对0，即有正负
4．等比量表。可做乘除法。
要有绝对零。
成绩中的，0分不是绝对0（因为并不说明此人一窍不通）
分数代表的意义。Eg:0~10分
与90～100分。 每一分的"距离"不一样
因为严格来说，成绩是顺序量表。但为了实际运用中的各种统计，把它作为等距量表
&2.次数分布表
一． 简单次数分布表
eg: 组别 次数（人次）
100 2
90～99 5
80～89 14
70～79 15
60～69 7
60分以下 3
1． 求全距 R=Max - Min(连续变量)
（间断变量）--R=Max－Min+1
2． 定组数 K(组数)＝1.87(N－1)。。。 →取整 N-总数
3． 定组距 I=R/K。一般，取奇数或5的倍数（此种更多）。
4． 定各组限
5． 求组值 X=(上限＋下限)/2 上限--指最高值加或取10的倍数等）
6． 归类划记
7． 登记次数
例题： 99 96 92 90 90 （I） R=99-57+1=43
87 86 84 83 83
82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9
78 78 78 77 77
77 76 76 76 76
75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5
72 72 72 71 71
71 70 70 69 69
68 67 67 67 65 (iu)组别 组值 次数
64 62 62 61 57 95~99 97 2
90~94 92 3
85~89 87 2
80～84 82 6
75～79 77 14
70～74 72 11
65～69 67 7
60～64 62 4
55～59 57 1
总和 50
二． 相对（比值）次数分布表。 累积次数分布表
相对（比值）累积次数：累积次数值/总数N
注：一般避免不等距组（"以上""以下"称为开口组）
相对次数 累积次数（此处意为"每组上限以下的人次）"小于制"
.04 50
.06 48
.04 45
.12 43
.28 37
.22 23
.14 12
.08 5
.02 1
1.00
&3.次数分布图
一．直方图
1． 标出横轴，纵轴（5：3）标刻度
2． 直方图的宽度（一个或半个组距）
3． 编号，题目
4． 必要时，顶端标数）
图
二．次数多边图
1． 画点，组距正中
2． 连接各点
3． 向下延伸到左右各自一个组距的中央
最大值即y轴最大值
相对次数分布图，只需将纵坐标改为比率。（累积次数，累积百分比也同样改纵坐标即可）"S形"曲线是正态分布图的累积次数分布图
图
第三章 常用统计量数
&1.集中量
一．算术平均数
公式
算术平均数的优缺点。P36~37
算术平均数的特征。Σ（X-#）=0 离（均数）差
Σ（X-#）（X-#）取#时，得最小值
即：离差平方和是一最小值
二．几何平均数
＃g= 略
long#g=1/NσlogXi
根据按一定比例变化时，多用几何平均数
eg: 91年 92 93 94 95 96
12％ 10％ 11％ 9％ 9％ 8%
求平均增长率
xg=
加权平均数
甲：600人 #=70分
乙：100人 #=80分
加权平均数：＃=(70*600+80*100)/(600+100) (总平均数)eg:600人，100人
简单平均数：（70＋80）/2
三．中（位）数。(Md)
1.原始数据计算法
分：奇、偶。
2．频数分布表计算法（不要求）
3．优点，缺点，适用情况（p42）
四．众数（Ｍo）
1．理论众数
粗略众数
2．计算方法：Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I
计算不要求
3．优缺点
平均数，中位数，众数三者关系。
&2.差异量数
一．全距
R=Max-Min
二．平均差（MD或AD）
MD={Σ|x-#(或Md)|}/N
三．方差
总体方差的估计值
S2 =Σ（X － #）2 反编
样本的方差：σ2 x有编
N很小时，用S2 估计总体
N>30时，用S2 或σ2 x 都可以
计算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2
标准差σx＝σ2 x2/1
四．差异系数（CV）
CV=σx/# *100% CV∈[5%,35%]
3个用途
五．偏态量与锋态量（SK）
1.偏态量：sk=(#-Mo)/σx
动差（一级~四级） a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3 三级动差计算偏态系数）
2．峰态量：高狭峰 a4>0 (a4=0 --正态峰)
低调峰。A4<0
用四级动差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3
&3.地位量数
一．百分位数
eg 30=60(分) "60分以下的还有30%的人"
二．百分等级
30→60（在30％的人的位置上，相应分数为60）
So→Md
第四章 概率与分布
&1．概率
一．概率的定义
W(A)=m/n (频率/相对频数)
后验概率：
P(A)=lim m/n
先验概率：不用做试验的
二．概率的性质和运算
1．性质：o≤P≤1
p=1 必然可能事件
p=0 不可能事件
2．加法。
P(a+b)=P(a)+P(b)
"或"：两互不相克事件和。
推广："有限个" P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
eg:（1）A=出现点数不超过4（x≤4）
P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3
(2)完全凭猜测做判断题，（共2道），做对1题的概率为：
A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi
P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5
3.乘法：
P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
Eg
1)四选1。（十道）完全凭猜测得满分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410&2.二项分布
一．二项分布
P(x)=Cnxpxgn-x 做对的概率 px ：做错的概率 gn-x ：X:对的数量pxgn-x --每一种分情况的概率。一种情况：pxgn-x 再乘上系数。
Eg:产品合格率为90％ 取n=3（个）
TTT的情况 90 * 90*90=P3 0.729
TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081
两个合格的情况→ TTF
FTT
其概率 C32P2g1=3p2g1.
Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1
注：二项分布可能的结果只有两种。F 0r T
合格 Or 不合格
选对 Or 选错
例：（1）10道是非题，凭猜测答对5，6，7，8，9，10题的概率？至少答对5题的概率？
P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609
P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508
P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719
=.04395
=.00977
+P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098
至少答对5题：P(X≥5) = 0.62306
(2)四选一，猜中8，9，10题的概率？
P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039
二．二项分布图（P84~85）
三．二项分布的平均数与标准差（前提np≥5且ng≥5）
平均数--M=np 标准差--r=npg1/2
&3.正态分布
一．正态分布曲线
二．标准正态分布。（P387附表可查面积P）
Z=(x-ц)/r (x:原始分数)
标准分数（有正有负） ΣZ=0
三．正态分布表的使用
查表 P(0≤Z≤1)=0.34134--Z的范围中的人数比例（百分数）
P(0≤Z≤1.645)=0.4500
1.64 － .44950=0.45
1.65 － .45053=0.45
之上，标准分数高于2个标准差，则非常聪明。
Eg:1. μ=70(分) σ＝10
P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1)
P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0)
2.μ
P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ)
P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ)
图（略）
例：某地区高考，物理成绩 μ＝57。08（分） σ＝18。04（分）
总共47000人。 （1）成绩在90分以上多少人？
（2）成绩在（80，90）多少人？
（3）成绩在60分以下多少人？
解: X~N(57.08,18.042) -- 参数（μ,σ2）
Normal 表示符合正态分布
令Z= (x-57.08)/18.04） ,则Z~N(0,12)标准分数平均数一定为0，标准差一定为1。
（1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82
P(Z>1.82)=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616(人)
(2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27
P(1.27
（3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16
P(Z<0.16)=.56356
N3=26487(人)
四．正态分布的应用
T=KZ+C T~N(C,K2)
IQ=15Z+100 IQ=100 一般
IQ≥130 --超常
(30=2x*15)
IQ<70 -- 弱智
70几 --bndenline
eg:1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。问录取分数定为多少分？
解： X~N(75.82)
Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12)
P=150/2800=0.053
0.5-0.053=0.447
Z=1.615
X=1.615*8+75≈88(分)
2．某高考，平均500分，标准差100分，一考生650分，设当年录取10％，问该生是否到录取分？
解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12)
Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%
所以可录取。
第五章 抽样分布（概率P）
&1.抽样方法
一． 简单随机抽样
二． 等距抽样
三． 分层抽样
四． 整群抽样
五． 有意抽样
&2.抽样分布
（1） （2） （3） （4） （5）
20 25 30 35 40
（1） ＃＝20 22.5 25 27.5 30
（2） 22.5 25 27.5 30 32.5
（3） 25 27.5 30 32.5 35
（4） 27.5 30 32.5 35 37.5
（5） 30 32.5 35 37.5 40
总体分布
图
抽样分布
图
一．平均数
E(#)=μ
二。标准差，方差。
σx=σ/n1/2 σ#2=σ2/n
&3.样本均值（#）的抽样分布
一．总体方差σ2已知时，＃的抽样分布
1．正态总体，σ2 已知时，＃的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）为抽自正态总体X~N(μ, σ2 )
的一个简单随机样本，则其样本均值＃也是一个正态分布的随机变量，且有：
E(#)=μ, σx2 =σ2 /n
即＃～N(μ, σ2 /n)
Z=(#-μ)σ/n1/2
Eg:一次测验，μ=100 σ＝5
从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本，求这一样本均值间于99到101的概率？
解： 已知X～N(100,52)
n=25.
则＃～N(100,12)
Z=(#-100)/1 ～ N(0,1)
当#=99时，Z=-1
当#=101时，Z=1
所以P(99≤#≤101)
=P(-1≤Z≤1)=.68268
2.非正态总体，σ2已知时，#的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。当n≥30时，其样本均值＃接近正态分布，且有：
E(#)=μ, σx2 =σ2 /n
即#～N(μ, σ2 /n)
若是小样本，题目无解。
Eg(1)一种灯具，平均寿命5000小时，标准差为400小时（无限总体）从产品中抽取100盏灯，问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。
解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大样本
所以＃近似正态分布
＃～N(5000,402)
当＃＝4900时，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5
P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379
3.有限总体的修正系数
（引出）（2）同上题，从2000（有限总体）盏中不放回地抽取100盏，问。。。。。
（概念）设总体是有限的总体，其均值为μ，方差为σ2 （X1,X2…Xn）是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。则样本均值＃的数学期望（E(#)）与方差为
E(#)=μ#=μ 和σ2 ＝（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)
N→∞时，修正系数不计。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)]1/2
.n/N≥0.05%,要用修正系数
如题（2），n/N＝0.05 所以要用修正系数
所以解题2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2 /n)＝2000－100）/2000-1=4002 /100=1520
σ#=15201/2 =38.987
Z=(4900-5000)/38.987= -2.565
P(Z≥-2.565)=.9949
二．总体方差σ2 未知时，样本均值＃的抽样分布。
用S2(总体方差的估计值)代替 σ2
t=(x-μ)/s/n1/2 ～tn-1→dp(自由度)=n-1
设（X1,X2,…Xn）
为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布
当总体为非正态分布，且σ2 未知。
则样本 小：无解
大：接近七分布 t≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ～ tn-1
Z≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z)
总体均值为80，非正态分布，方差未知，从该总体中抽一容量为64的样本，得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少？
解：因为64>30 是大样本
P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025
若用Z，P(Z>z) ≈0.02275
(若N24，总体正态，则Z分布1不能用，只能用七分布)
非正态总体：小样本--无解
大样本--Z≈(x-μ)/σ/n1/2
σ2 已知
正态总体 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2
非正态总体：小样本 -- 无解
σ2 未知： 大样本--t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z
正态总体：小样本--t=(x-μ)/σ/n1/2
大样本--Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2
&3.两个样本均值之差（#1-#2）的抽样分布
若＃1是独立地抽自总体X1～N(μ1,σ2 的一个容量为n,的简单随机样本的均值；＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。则两样本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2)
复杂计算
一种钢丝的拉强度，服从正态分布
总体均值为80，总体标准差6，抽取容量为36的简单随机样本，求样本均值∈[79，81]的概率
X~N(80,62)
Z~N(0,12)
Z=(x-μ)/6/361/2 =(x-8)/1
x∈[79,8081]
Z ∈[-1,1]
P=.68268
若σ不知。S=b，则 X～(80, σ2 )
用公式t=(# -μ)/s/n1/2 ~ tn-1 =t35
某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个，问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率
无解。
抽100个，则概率？
Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004
#<0.49 P(Z<-0.01/0.004)
=P(Z<-2.5)=.49379=
从500件产品中不放回地抽25件。
25/500=0.05 要修正系数（N-n）/(N-1)≈.95
某校一教师采用一种他认为有效的方法，一年后，从该师班中随机抽取9名学生的成绩，平均分84.5分，S=3。而全年级总平均分为82分，试问这9名学生的＃<84.5分的概率为多大？
#～N(82, σ2 ) t～t8
t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5
df=8
0.975≤P(t<2.5)
说明方法有效
（S=3是σ的估计值，两组数据都很整齐。
图（略）
&4.有关样本方差的抽样分布
一．f2分布
1．f2 分布的密度函数 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0)
f(x)=0 (x≤0)
图（略）
2.定理：
设（X1,X2,X3…Xn）为抽自正态总体 X～N(μ,σ2 )的一个容量为n的简单随机样本，则#=∑(X-#)2/n-1为相互独立的随机变量，且＃~N(μ, σ2 /n)
∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n)
若抽自非正态总体：小样本 -- 无解
大样本 -- X2≈(（n-1）S2 /σ2
二．F分布
1．F分布的密度函数
f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0)
f(x)=0 (x<0)
2.定理
设(X1,X2,…Xn)为抽自X～N(μ1, σ2 1)的一个容量为n1的简单~(y1,y2…yn)为抽自正态总体y～N(μ2, σ2 2)的一个容量n2的简单～，则：
当σ2 1=σ2 2时，
F=S21/S22~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2～分母自由度
第六章 参数估计（置信水平下的区间估计）
&1.点估计
E(X)(即＃)=∑x/N→μ
（拿一个点来估计参数）
D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2
&2.总体均值的区间估计
一．总体均值的区间估计，σ2 已知。
正态总体 x~N (μ, σ2 )
#~N((μ, r2/n) Z=(# -μ)/ σ/n1/2
1．某种零件的长度符合正态分布。σ＝1.5，从总体中抽200个作为样本，＃＝8.8cm，试估计在95％的置信水平下，全部零件平均长的置信区间。
解： 已知X~N(μ,1.52 )
n=200, #=8.8
1-a=0.95 →a-0.05
Z0.025=1.96
P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2
=P(8.59<μ<9.01)=0.95
10%>5%
若不放回地从2000个（总体）中抽出200个。--需修正系数
所以用(N-n)/(n-1)1/2 P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2 =0.95=P(8.60,9.00)
二 σ2 未知
P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a
为了制定高中学生体锻标准，在某区随机抽36名男生测100米，36名学生平均成绩13.5秒，S=1.1秒，试估计在95％地置信水平下，高中男生100米跑成绩的置信区间。
P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5
(13.5+-0.37)
即（13.13,13.87）
得(13.14,13.86)