藏格钾肥董事长肖永明:解方程的应用

前 言
　　本文章旨在使读者理解经济模型化思想以及如何运用数学模型化的方法和技巧，解决经济问题。 数学模型化（Mathematical Modelling）是指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。其目的在于研究开发数学模型在经济领域中分析问题、逻辑思维和辅助决策的作用和功能。　
　　本书共由四个模块构成:
　　第一模块为经济数学模型化过程的基础理论部分，主要包括数学模型基本理论、数学模型化一般程序、以及为实现模型化必须进行的信息收集与评价等内容。这部分由三章组成：第一章在给出各种简单数学模型的基础上，讨论了数学模型的基本概念和性质，阐明了模型与原型及其逻辑关系。第二章在明确信息的数量化是建造模型的前提下，讨论了数量化与量纲的问题，然后对数学模型的特性、应用条件及应用的评判准则进行了说明，最后详细论述了模型化过程的问题。第三章介绍了模型化信息的收集方法和模型化信息的处理方法。　
　　第二模块为微观经济数量决策分析模型的讨论与研究，主要内容包括运筹学模型化过程中如何表述目标，确定环境因素，选择标准数学模型，最优性条件的确定及最优解（或满意解）的求出。这部分内容由第四章、第五章组成：第四章论述了销售机理模型化过程，主要由销售机理分析、成本机理分析、风险机理分析、时间机理分析、约束问题分析等部分构成；第五章在第四章销售机理模型化过程的基础上，给出了多目标多指标模型的一般形式。并对单目标最优解的性质进行了分析。指出了各种经济量对数量决策的影响。此外研究了非线性共轭对偶理论的应用。　
　　第三模块内容由两部分构成：第一部分介绍了系统论的思想与方法，第二部分为计量经济模型化过程。
　　本模型块由第六章、第七章组成：
　　第六章主要讨论经济控制论模型，首先阐述了系统论的方法和规律，最后给出了一个具体宏观经济控制模型。
　　第七章为计量经济模型分析，计量模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，在收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。最后运用模型估计进行经济预测和政策评价。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法，然后指出在实证分析中运用计量模型应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。　
　　第四模块为本书的最后一章，作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。
　　第八章主要内容如下：
　　首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多―多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。　
　　本书作者之一杨健博士自1986年在中国人民大学开设全校研究生选修课程"经济数学模型化"。此后，龚德恩教授、任朝佐教授、严守权副教授、赵国庆副教授等都曾讲授此课程，他们的贡献推动了经济数学模型化的研究。十年后的今天此书终于在同行们的关心下问世。　
　　此外，中国人民大学的魏权龄教授、英国兰卡斯特大学的Graham K.Rand教授、日本国京都大学的森栋公夫教授，都曾对本书提出许多非常有益的建议，在此一并向他们表示衷心的谢意。　
　　特别要提到的是王戈、周国栋、崔惠军、尹明玉，他们在本书的打印输入及校对公式中付出了艰辛的劳动。中国人民大学出版社潘旭燕女士作为本书的责任编辑付出了辛勤劳动，在此谨表谢意。
　　本书中的一些研究成果为国家"211"工程项目 "中国宏观经济运行模拟和分析系统" 的一部分，本书的部分章节构成北京市普通高等学校教育教学改革试点立项研究的基础。
　　本书作为经济数学模型化过程分析的一个尝试还存在着不少不足之处，恳切希望广大读者指正。
　　著 者
　　1998年8月
　　第一章 数学模型概论
　　§1.1 引言
　　任何模型都是原型的一种表现形式，而原型则指我们所研究的对象。我们所讨论的模型是依据原型，由人来构造的模型，它是人对客观世界的一种理解。广义而言，由于世间的事物皆有同一性，故任何事物都可能成为另一事物的模型；但对千差万别的具体事物而言，模型又是有条件的。
　　构造模型是研究和解释客观世界的一种手段。它使人们在比原型现存条件更为有利的条件下研究原型。模型可以是实体，也可以是理论；既可以定性，也可以定量；可以具体，亦可抽象。借助模型，人们可以从不同的侧面、不同的层次，去认识原型。尤其是在现实世界里，有一些研究工作无法在原型上直接进行，因此人们需要构造模型来解决理论和实践中的问题。模型是对原型的一种近似，它们之间存在着某种因果关系。抽象地说，模型是原型的映象。　
　　模型的性质
　　作为一个模型，应具备以下三个性质：
　　1.近似性：模型是原型若干特征或内在联系的模仿或近似。
　　2.主观性：模型基于构模者对原型以及"模型空间"的理解。
　　3.能动性：模型可以能动地反映原型，乃至在时空上超越原型的现状。
　　正是模型的这些性质，使得人们愈来愈多地利用模型，重视模型，并开始探索建模的方法。建立模型不仅需要对原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。模型化方法是学习建模的基础，抽象与想象则需在实践中培养。就如作画需要对景物的敏锐观察，训练有素的技巧和艺术的抽象与想象。当然，不断地钻研、探索、创新，是步入科学殿堂的必由之路。　
　　对于同一原型，可以有不同的模型。如何评价模型的优劣是模型化关心的问题之一。模型的价值应取决于模型化的目的。换言之，模型的优劣应由其解决问题的优劣而定。如果一个模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，从而有助于我们分析和解决问题，它就是一个好模型。
　　模型的种类甚多。依据不同的准则，有以下几类主要的模型：
　　1.按照相似程度划分：
　　有同构模型(Isomorphic Model)和同态模型(Homomorphic Model)。前者与其原型之间存在着一一对应的关系，即同构关系；后者与其原型的部分相对应，依其相似程度可细分为精确的(Acurate)、适度的(Adequate)、和粗略的(Coarse)三种同态模型。
　　2.按照结构性态划分：
　　有形象模型(Iconic Model)和抽象模型(Abstract Model)之分。前者是由改变现实原型的度量、尺度或维数而得到的，其构造多为依据P定理（见第二章）和相似性原理，故又称比例模型(Scale Model)；后者是用抽象的符号、图表、语辞等表述的模型。抽象模型又可细分为3类：
　　1）比拟模型(Analog Model)：它建立在不同的事物之间，模型与原型存在着同构 或同态的关系。例如用一组可控的条件来表征真实原型，通过模拟性实验研究原型的 变化规律，这组可控条件就是比拟模型。
　　2）概念模型(Concept Model)：它是凭借现有的知识，提出的关于原型的结构与特 性的表述。概念模型往往是抽象的、原始的。
　　3）数学模型(Mothematical Model)：它是用数学语言表达原型结构、特征、及内在 联系的模型。例如，用字母、数字或其它有特别含意的数学符号建立起来的等式、不 等式、图象、以及框图等，都是数学结构，当它们表征一个特定原型时，就是数学 模型。
　　3.按照对原型的了解程度划分：
　　有白箱模型(White Box Model)、黑箱模型(Black Box Model)和灰箱模型(Grey Box Model)三种。构模者对原型内部的结构与特性的了解程度分别是完全了解、完全不了解和部分了解。
　　关于模型的划分，不同的准则划分的类型也不同。例如有人认为能真正划分的模型只有两类：实物模型(Physical or Material Model)和符号模型(Symbolic or Formal Model)。实物模型是有形的、可触知的、实体的模型化表达，模型的元素由物质或硬件构成。如形象模型、硬件比例模型、和比拟计算机模型等。符号模型是理论的、符号的、抽象的模型化表达，模型元素由原型的特定结构或行为的若干方面的符号表述。如图样、语词表达、逻辑模型、数学模型以及计算机程序等等。关于模型的性质及其分类将在第二章进行详细地讨论。　
　　在一切模型之中，数学模型是用途最广泛的一种。多少世纪以来，数学以其高深玄妙而被誉为自然科学的"皇后"。然而在科学技术突飞猛进的今天，多学科相互交融，边缘学科不断涌现。"皇后"屈尊降为各学科的"侍女"，应运而生的交叉学科举不胜举。如生物数学、数理医药学、计量经济学、计量地理学、数量经济学等等，犹如群芳争春，竞相绽放。虽然新学科各有异彩，人们注意到一个事实：它们的共同之处就是都借助数学模型研究各自的原型世界！这些新兴学科的成功无一不是得益于数学模型的利用。尤其是在这个计算机时代，往日只有数学家才能完成的计算工作，如今一般人也能完成，这一切使得数学模型的应用成为可能，因此，模型化工作日益受到人们的重视。
　　应当看到，即使在今天，人们对数学模型的本质仍有许多误解。例如有人认为数学模型是一种语言，很容易予以文字解释。这恰恰与实际情况相左，数学模型的一般性常常使人不知所云。还有人认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。　
　　本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。
　　§1.2 数学模型基本概念
　　数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。E.A.本德[5]在他的《数学模型引论》中这样写道："数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。"具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。模型化研究具有广阔前景。
　　在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。
　　【例1.2.1】资源的配置
　　资源短缺是全世界共同面临的问题。如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。如果已知第i种商品的单位创利额是ci,(i=1,…,n）；生产单位商品i需消耗aij单位的资源j,(i=1,…,n j=1,…,m)；现有资源j的总量为bj，(j=1,…,m)；待决策的商品i的数量为xi，(i=1,…,n)。则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=(x1,…xn)T
　　j=1,…,m
　　xi 3 0
　　判别决策优劣的目标是创利额
　　我们记x=(x1,…xn)
　　A=(aij)n′m
　　C=(c1,…cn)T
　　b=(b1,…bn)T
　　就得到一个数学模型
　　max cTx (1-2-1)
　　s.t. Ax￡ b
　　x3 0
　　这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。
　　【例1.2.2】 人口的预测
　　人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预测作过许多尝试。我们考虑一种最简单的情况。假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x(t0)=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t 3 t0可以得到一个粗糙的模型　
　　或
　　其中，r = h－d是净生殖率，由初始条件解出
　　利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。
　　【例1.2.3】 马克思的生产模型
　　马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；3）被资本家剥削的剩余价值m。依据生产资料的性质，马克思把国民经济分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。由定义，两部类的总价值分别为
　　I=c1＋v1＋m1
　　II=c2＋v2＋m2
　　总价值
　　TV=I＋II
　　马克思指出：如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。于是，我们得到
　　c1＋c2 =I
　　v1＋m1＋v2＋m2 =II
　　我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。而且，都与数学结构
　　v1＋m1 =c2
　　等价。即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。值得指出的是：虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上"等价"。
　　【例1.2.4】常胜的赌徒
　　赌场如战场，有胜亦有败。但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏：
　　1.每次上赌场的目标是赢一元钱
　　2.一旦赢钱立刻停赌
　　那么他第k次的赌注为2k-1
　　,总赌注: Bk = 1＋2＋22＋…＋2k-1
　　=2k－1
　　假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p。显然，连输k次的概率是qk。因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1－qk，不论"常胜"意味胜的概率P0有多大，只要p0且P0
　　换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。模型为
　　n (1-2-2)
　　s.t. 1－qk > P0，
　　2k－1 ￡ n，k为正整数
　　不难解出
　　当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！
　　现在我们考虑数学模型的基本概念与性质。首先给出如下定义：如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。
　　由定义不难得出，以下结论：一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。正如物理学中描述物体运动的牛顿模型　　
　　和爱因斯坦模型
　　在数学意义下相悖。但都成功地刻划了物体运动的规律。
　　我们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a?L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。并记 。
　　下面我们举例说明可分性。
　　【例1.2.5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型，
　　M：
　　其中主要变量有内生变量：Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；外生变量：G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：P（价格水平）。四个方程式分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。不考虑派生结构。
　　模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。例如可分成
　　M1：
　　M2：
　　连同假设一起考虑，M1中有4个内生变量和一个外生变量，故知其不唯一地确定变量的值。同理M2亦然。这些分结构可能没有合适的经济背景，所以称不上模型。对数学模型进行分解时，必须考虑假设的相应变化及经济解释。经济学家常把模型M置放在（Y，R）空间，从而得到十分重要的IS曲线和LM曲线，并成功地利用它们说明了许多经济问题。其分解如下：
　　IS：
　　LM：M=(kY－hR)P
　　IS曲线表示出满足国民收入定义式，消费需求和投资需求的利率R与国民收入Y的组合形式；LM曲线表示货币供给等于货币需求时国民收入Y和利率R的变动轨迹。IS曲线和LM曲线的交点恰为数学模型M的唯一解。利用恰当的分解，能够得到许多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1∩M2似乎难有合理的经济解释，但分解M=IS∩LM则是最出色的分解。然而若不分解M，则只能得到唯一的解(Y*，C*，R*)T，失去了研究各种经济力量如何影响均衡的机会。综上所述，我们看到分解就是将数学模型的若干部分孤立起来，撇开广泛的、总的联系。同时，想到原结构是一个整体结构，要考察子结构之间是如何发生联系的。
　　为了便于讨论，我们引入模型元的概念，如果数学模型的结构MSa是MS的一个结构元或模型元，细心的读者可能注意到我们有时并没有严格地区分数学模型与数学结构。我们约定今后将在承认差异下一视同仁。
　　模型元并不一定是最基本的构模元素，只是具有相对独立性的"小"模型罢了。基本的构模元素有以下五种：
　　1. 数据：与原型有关的数字、图形、以及可定量化的其他信息。
　　2. 变量：假定属于已知值域的任何值。变量有独立与相关、内生与外生、先决与滞后等区别。
　　3. 参数：在特定的模型中只能假定取一固定数值的量。有固定与可变、可调与不可调之分。
　　4. 数学式：用以联系变量、参量的相依序关系的符号，如"="、"
　　5. 逻辑表述：关于模型结构，因果关系的表述，如"?"、"ì"、"T"，等等。
　　依照上述分析方式，可以定义原型的可分性，从而引出子原型，原型元等概念。勿需讳言，可分与否是相对的，有主观性。一般说来，当原型或子原型的内涵与外延已十分清楚时，可以认为其已不可分了。
　　利用一个基本的数学结构，通过改变假设条件或数学推导可得出新的数学模型。有时新结构之间并不矛盾，有时却相悖。我们试看一例。
　　【例1.2.6】套汇均衡
　　众所周知，在国际金融市场上汇率是瞬息万变的。如果以有n国货币的金融市场为原型，则汇率有 种。然而若将货币间的相互影响和单向汇率考虑在内，则问题将变得十分复杂。我们把多国间的问题分解成两国间的问题，则大大地简化了问题。关于汇率变化的机理，经济学家认为套汇者的推波助澜是关键的。我们假设：A国和B国的利率分别为rA和rB，现期汇率为St（A币/B币），期货汇率为FT，（Tt）。套汇者对其行为有一定的估价，先从A国贷款a（单位A币），并按St换成B国货币存入B国银行。到T时刻连本带利一起取出，按约定的汇率FT兑成A国货币，那么以A币为标准单位的净收益
　　M1：
　　如果p
　　M2：
　　其中b是向B国银行所贷的款额，这时必有p0。假设M1所给的净收益是正的，则有一等价模型
　　M3：
　　在此模型成立的情况下，套汇者一定有利可图。当众多的套汇者都这样干时，会引起rA上升和rB以及FT的下降，综合结果是使p趋于零。于是，我们得到均衡模型
　　M4：
　　M4说明了汇率变化的中心趋势，FT实际上是ST的预测值。值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同时成立，它们不相容的原因是加了不同的假设条件。
　　我们定义两个数学结构是不相容的，如果在数学意义下两个结构不能同时成立。例如由于不存在这样的ST，FT，rA和rB使M3和M4同时成立，故称M3和M4不相容。我们记之为M3∩M4=?。
　　由于模型间有一定的逻辑关系，我们引进序的概念：如果由一个数学结构MS￠可以得出另一个数学结构MS＂，则称M＇和M＂之间存在着序，记作MS＇f MS＂（读作MS＇导MS＂）。所谓序"得出"包括适当地增加假设条件和纯形式的推导。如果依据纯粹的数学理论及方法，从MS＇推导MS＂，则称MS＇和MS＂之间存在真序，记作MS＇ffMS＂（读作MS＇真导MS＂）。根据模型化的观点，不是同一原型的模型之间无所谓序关系。今后谈到模型间的序关系时，均指同原模型。由定义我们不难证明两个命题：
　　命题①若M＇f M＂，则必有M＇∩M＂≠?
　　命题②若M＇ff M＂，则必有M＇∩M＂≠?
　　这些证明留给读者。
　　既然有序的概念，很自然地引出数学结构的等价关系。如果两个数学模型M＇和M＂满足序关系，且M＇f M＂，M＂fM＇则称M＇和M＂是等类的，记作M＇∽M＂。如果M＇ff M＂且M＂ff M＇，则称M＇和M＂等价。记作Ｍ＇∽ Ｍ＂。显然，等价必等类，反之不然。关于导序的性质，不难由定义推出。
　　1. 对称性：若M＇f M＂，则M＂p M＇；
　　2. 传递性：若M＇f M＂，M＂fM＂＇，则必有M＇fM＂＇；
　　3. 反身性：若M＇f M＂，M＂p M＇，则必有M＇∽ M＂。
　　一般来说，导序具有的性质，真导序也具有，反之则不一定。前面提到通过增减条件或推导可以得到不同的数学结构，但并不一定称得上新的数学模型。抽象地看，从旧的数学模型到新的数学结构是一过程，经过了一个映射。正如我们可以把从原型r到模型M的过程看成一种映射一样。对于数学结构而言，封闭是一个严格的概念；但对数学模型而言并不十分严谨。我们姑且这样定义：如果模型M在一映射Γ下所得到的数学结构仍是一个同原模型，则称该模型对映射P是封闭的。【例1.2.7】可以部分地说明封闭这个概念。
　　【例1.2.7】财务分析
　　假设某公司经销一种商品的数量为x，单位售价p元，经估算固定成本为FC元，单位可变动成本为UVC。于是，由定义有
　　M1： SR=px
　　M2： C=FC＋UVC·x
　　M1表示销售收入，M2表示总成本。对C微分得到边际成本模型，
　　M3： MC=UVC
　　将M1和M2视为一个数学模型，则利润I的模型为
　　M4： I=（P－UVC）·x－FC
　　可以看成M1和M2经过减运算得到的。利润率IR则是由M4和M2的商运算得到的，
　　M5：
　　根据模型化原理，我们可以这样认为：M2对一阶微分是封闭的，但对二阶微分不封闭；数学模型M1∩M2对特定的商运算也是封闭的。
　　迄今为止，我们只是讨论了模型的一些基本概念和性质，对于这些概念的系统讨论和研究将在第二章中进
　　第二章 数学模型化
　　从第一章的讨论我们知道，数学模型是反映原型的数学结构，而本章讨论的数学模型化则指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。本章主要论述与模型化有关的数量化度量、经济数学模型的分类、模型和模型化应用的条件和范围、模型和模型化选择的标准等问题，最后对模型化过程进行设计与讨论。
　　§2.1 数量化和量纲分析
　　§2.1.1 数量化的度量问题
　　经济信息数量化是构造模型的前提，经济原型总是具有质与量两方面的信息，模型所需的信息是二者的结合，即信息不仅包含经济概念而且有一种数量的度量。度量是定性与定量结合的过程。量纲是带有质的规定性的数量度量，因此，在模型化过程中是值得重视的。从理论上看，数学结构中的各种量是没有量纲的，但作为一个经济模型，模型的输入和输出的信息有量纲的问题，这是客观存在。事实上，没有量纲这个标准，则使各经济变量之间失去可比性。在商品经济存在的条件下，各种实物往往需要用货币量纲来反映价值，生产、流通、消费和分配等因素的联系需用货币量纲来体现，因此，在讨论问题时，往往把量纲统一于某种货币单位，从而，使不同质的量得到统一的度量。但实际中遇到的原型不尽相同，而且并不是什么都可以用货币度量的。因此，在数学模型的构造和推导过程中要注意量纲是否合理，否则可能失去原型背景，即不再是同原模型。　
　　不论是构造什么样的模型，总是要选择一些基本量纲或原始量纲，经过模型构造和求解后，往往生出一些新的量纲，我们称之为导出量纲。例如，在描述一段时期内的平均收入时，我们把单位时间和单位货币称为基本量纲，而把（单位货币/单位时间）称为导出量纲。我们定义一个量纲是独立量纲，如果它不能由其它量所导出，如经济上常用的货币单位、实物单位、和计量单位等等。从数学的观点看，以什么作为量纲并不重要，关键是在构造过程中量纲必须始终是谐调的、规范的。只有这样才能保证所得的模型与结果不仅有数学意义，而且有经济解释。　
　　无量纲的经济量（指标）在经济是经常遇到。诸如比例数、比率和指数等相对量，就可能是无量纲的。另一种较特殊的量是只起记录功能或排序功能的"数量"，例如，把盈利记为1，亏本记为-1，盈亏平衡记为0。这种量与有量纲的经济量有质的区别，应注意其数学处理的条件和应用范围。
　　模型化过程中常需直接利用已有的统计指标，这时更需注意量纲问题。按我国的惯例统计指标分为数量指标和质量指标。数量指标反映企业、部门或整个国民经济工作的直接结果，它是刻划经济规模的计划指标。质量指标反映生产资源和生产因素的利用效果，它是描述经济活动的统计性指标。质量指标分技术经济指标和经济质量指标，前者表示固定资产和流动资产的利用效果，产品质量及各产品生产间的比例关系，它是编制计划的依据，后者反映经济工作的质量与管理水平。与指标密切相关的因素是统计方式，这些都是收集信息时应当注意的。鉴于我国的经济指标体系与西方不尽一致，在考虑借鉴西方模型时尤应慎重。　
　　§2.1.2 量纲分析
　　前一节中已经提到过量纲等概念，我们将进一步深化它们。模型化常会涉及到可度量的信息，如经济中的国民收入、产出、消费额等，既是经济概念，又是可度量的。度量单位是带有质的规定性的标准。在这种标准下，信息传递被简化了。例如两个量不经实际比较，就知道孰多孰寡。物理学之所以成为严谨的科学，得益于数学模型的利用。物理学的典型方法是把物理原型用数学模型表现出来，通过对输入和输出的量的量纲比较，说明了物理学规律。量纲分析（Dimensional Analysis）就是物理学中一项模型化技术。（我们将沿用物理学中的名称予以介绍）
　　众所周知，一切物理量可以由若干基本单位推导出来。基本单位的体系在物理上称为单位制。例如力学单位制可由长度、质量、时间为基本单位的绝对单位制(System of Absolute Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived Unit）。如果q，j，y，…为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位a可以表示成
　　a = c q jm yn…
　　的形式，其中c， ，m，n，…是常数。则称指数 ，m，n，…为a的量纲，量纲公式记作
　　[a ]=[q jm yn …]
　　其中"[ ]"读作"…的量纲"。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个"单位制"。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。
　　量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉(Buckingham)的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我们首先介绍P定理。
　　P定理：假设有n个物理量a1，a2，…，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，…，bm，如果关系式
　　f(a1，…，an) = 0
　　的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为
　　F(P1，…，Pn－m) = 0
　　其中P1，…，Pn－m是无量纲量群，形式为
　　这里F为某一函数。
　　我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，…，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，…，am的量纲中含有b1，…，bm，则可用剩下的n－m个导出量构造无量纲量群。我们设
　　，i=1,…n-m
　　其中hij是待定参数i=1,…n-m，j=1,…,m。由于a1，…，an的量纲单位是从b1，…，bm导出，故有
　　，j=1,…,n
　　其ajk是aj的量纲，k=1,…,m。利用前式可得
　　因Pi是无量纲的，故令
　　，k=1,…,m
　　如此得到的m(n-m)个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1,…n-m，j=1,…,m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。
　　【例2.2.1】万有引力模型
　　牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为
　　式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然，
　　[F]=MLT-2
　　[m1]=[m2]=M
　　[r]=L
　　[G]=M-1 L3 T-2
　　设a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G则系数矩阵为
　　选择a1，a2，a4为基，则
　　于是我们得到
　　h11＋h12＋1=0
　　h11 ＋h13 =0
　　－2 h11 =0
　　和
　　h21＋h22－1=0
　　h21＋h23＋3=0
　　－2 h21－2=0
　　从中解出
　　无量纲量群
　　由P定理可知，必可转化为
　　F(P1，P2)=0
　　事实上，稍加观察就有
　　P1 P2 －1=0
　　这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。
　　【例2.2.2】流体实验
　　我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为ｌ，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT-2，LT-1，ML-3，L和ML-1T-1。与例2.2.1相仿，可以得到　
　　考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该物体正面投影面积上的作用力之比。 称为雷诺数（Reynolds Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。
　　【例2.2.2】中 就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。
　　综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。
　　相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所决定的系数值不是过大或过小，则可断定在这几个量之间可能存在相关性。
　　最后强调几点：
　　1. 量纲分析的基本方法没有固定的形式与结构；
　　2. 变量和常数的正确选择常常依赖于建模者良好的直觉；
　　3. 假说是十分必要的，不可太机械地利用量纲分析法；
　　4. P定理有双重含义：其一是存在一组无量纲量群，其二是如果主要变量或量纲数为m，导出变量数为n，则其必要的独立无量纲量群的数目为n-m；
　　5. 量纲和单位之间有差别，我们要保持单位的相容性和量纲的一致性；
　　6. 无量纲量群是组建模型的砖石。
　　§2.2 数学模型的性质应用条件及评价准则
　　数学模型是抽象模型中应用最为广泛的一类，它除具有一般模型的性能外，还有其独特的性质与功能，这就是数学模型日益渗透各个领域的原因。数学模型是借助抽象的数学语言来表述、分析和研究原型的数量的关系及量变规律的。由于数学本身的高度抽象性使数学模型不可避免地具有一定的抽象性，数学模型可以简化复杂的问题，提取关键的性质，使人们看到原型的本质，另一方面，数学模型有其具体的、确定的客观原型，它是原型的反映，故数学模型又有一定的现实性，这两重性使数学模型得以广泛应用于自然科学和社会科学。众所周知，数学是一个自封闭的、严谨的逻辑系统，因此受制约的数学模型必然具有严格的逻辑关系。如果数学模型是正确的，那么，由其推导出的结果也必然是正确的，这是其它模型所不能比拟的。
　　数学模型与其它模型的不同之处还在于它有坚实的理论基础和有效的实现手段，理论基础是指数学理论的支持，从最基本的概念、定义或公理出发，经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统，有许多可利用的定理、方法和结论。实现手段是指计算机的普及为数学模型的应用奠定的物质基础。如果说，运用数学模型是一种科学成功的标志，那么，这种科学的完善的方式就是运用数学模型。　
　　由于现实世界的任何事物都具有一定的数量关系和空间形式，因此，原则上说，数学模型可以研究任何原型。当然，数学模型的应用，也受一定条件的制约，有其应用的范围。Rosenblueth和Wiene (1945)曾对物理模型的实用性给出充分必要条件：
　　1. 在不熟悉或不太熟悉的领域（原型"空间"）里的一个现象必须被（更）熟悉的领域（模型"空间"）里的一个现象所代替。
　　2. 模型化实验必须在比原型实验更有利的条件（包括费用、时间等）下进行。
　　这两个条件对于数学模型在经济中的应用也是有启发的。
　　数学模型在经济中的应用是很广的，从应用的目的归纳大致包括四个方面：
　　1. 观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势；
　　2. 规划和设计经济的现实与未来；
　　3. 分析和控制经济的运动与规模；
　　4. 研究和解释经济现象及规律。
　　具体地说，数学模型是为了增加经济效益，降低经济消耗，合理地利用现有的资源等等。经济上需用模型的原因还在于人们往往不能或无法直接驾驭经济现实，所以借助数学模型是必然的。
　　数学模型可以用于研究许多经济问题，但这并不意味数学模型可无条件地应用，应用数学模型的必要条件是：
　　（1）经济原形(EP)可以映射到数学"空间"
　　此条件包括：EP的有关概念定义明确；EP的经济假说具有一定的科学性；在数学"空间"里存在着与假说的数量关系、逻辑关系或混合关系"同构"的数学关系式；可以通过必要的推导或证明得出有意义的数学结构；所需要的EP信息必须能够收悉，并可处理和转化成为模型的参数。
　　（2）数学模型在数学"空间"中可以研究
　　此条件包括：研究数学模型的数学理论与方法是完备的；数学模型必须满足一定的数学性质（如可解性、稳定性、可计算性等等）；结果必须能从数学上验证其正确与否。必要时，可以在计算机上实现。
　　（3）数学模型及其结果可以映射回经济"空间"
　　此条件包括：数学模型及其结果有一定的经济解释，可以验证经济假说或可以用经济实践检验。即数学模型及其结果可以用于指导经济工作。
　　如果上述三个条件不能满足时，不宜使用数学模型。
　　对经济原型的多种的希望使评价模型的准则也是多种多样的，人们总是希望在众多的"可行的"模型之中寻找一个最佳的模型，一般说来，合格的数学模型应当具有下列性质：
　　（1）真实性或现实性：如果一个模型客观地反映了原型或子原型的量与量的关系，则称此模型具有真实性或现实性。
　　（2）一般性或普遍性：如果模型的数学结构能够用于许多其它原型，则称此模型为异原模型，具有一般性或普遍性。
　　（3）简洁性：如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍弃次要的矛盾和特征，则称模型具有简洁性。
　　（4）精确性：如果模型能够在一定程度上，比较准确地刻划原型数量方面的特征，则称模型具有精确性。
　　（5）有效性：如果模型可以多方面地从不同的角度刻划经济原型或可以派生出较多的信息，而且具有多种功能，则称模型具有有效性。
　　这些准则并非一定之规，使用时可以权衡利弊，有所取舍。
　　模型化与模型是密切联系的，除模型化所得到的模型有上述性质外，模型化本身应满足以下的要求：
　　1. 可行性：可行性包括：信息可采集、可转化、模型可构造、算法可实现、假说可验证、结果可解释等等。
　　2. 经济性：模型化的过程中有一定的消耗，其中包括调查情况、收集资料、处理信息、构造模型、计算、分析、验证等等过程中的费用。模型化的收益与费用应当相称，经济性要求对模型化的规模和复杂程度加以控制。
　　3. 实用性：经济数学模型化贵在有实用价值，这里包括模型化过程所需的时间短、经济实践中使用方便、可靠。
　　值得指出，模型化的要求对模型的选取也有一定的参考价值。
　　§2.3 数学模型的分类
　　下面讨论一下数学模型的分类问题，这对于正确地构造模型和使用模型都是有益的。下面叙述几种分类方式。
　　（一）按模型的数学性质分类
　　按数学模型的性状大致可分为三类。其一为确定性模型，其原型具有相对地确定性或必然性，原型的各种关系相对稳定明确，模型的数学结构多为各种方程式，点集映射关系式和图式。其二为随机性模型，其原型具有随机性或偶然性，原型的某些关系是波动的和不肯定的。模型的数学背景理论是概率论、随机过程、数理统计、多元分析、和鞅论等等。其三是模糊性模型，其原型及其关系具有模糊性或不分明，其处理方式是Fuzzy子集理论、信度理论、证据理论和Fuzzy逻辑等等。
　　按数学模型的各种变量、参量和函数结构的变动情况，可以把模型分为连续型模型，非连续性模型和离散性模型。连续性模型对于任何量或关系的微小摄动是相对稳定的；非连续性模型对某些量或关系的变化是间断的，有跳跃的；离散性模型则多指其变量是可列点列构成的。
　　根据模型的参量可以分为固定参数(fixed-parameter)模型和自适应参数(adaptive-parameter)模型，前者在模型化过程中所涉及的参数只需给定一次，而后者则随着原型的变化而进行必要的调整，这时参数往往属于一个参数集合或空间。
　　（二）按模型与时间的关系分类：
　　亦可分为三类。首先，若模型的行为随时间而变化而且时间是独立的变量，则称为动态模型，其原型和时间关系密切（有时也称随阶段变化的模型为动态模型）。其次，若模型的行为不随时间而变化（时间可以是参量），则称之为稳态模型。其原型对时间的变化相对稳定。另外，若一非稳态的原型用一系列静态模型来表示，则称此系列模型为拟稳态模型。其原型是动态的，而这一系列模型中每一个模型是稳态的。如果细分，动态模型还可分瞬时模型(instantaneous)和记忆模型(memory)。前者在任意给定的瞬刻的行为只取决于此刻的环境或因素；而后者在任意给定的瞬刻的性态可能依赖此刻之前的一段时间的历史环境或因素。记忆模型还可以分为两种：其一，独立于此刻自身的行为而此刻之前的一段固定的有限时间称为定时距(time invariant)模型，其二，在现在任一瞬间的记忆范围，直到过去的一个固定的瞬间称为变时距模型，这引出所谓因果性分类，即若模型在一瞬间的行为取决于过去和现在，则为因果模型，若其还取决于未来则为非因果模型。此外，动态模型还可分为周期性模型和非周期性模型，随时间总是作为节奏有规律的变化的模型称为周期性模型，否则称为非周期性模型。应当指出，按步骤、阶段而变化（与时间长度无关）的模型有时也称为动态模型。在经济中动态模型是一类应用广泛的模型，尤其在宏观方面。
　　（三）按模型的经济背景分类
　　按原型背景分类，可以分为宇观经济模型、宏观经济模型、中观经济模型和微观经济模型。它们的原型背景分别是世界、国家、地区和企业（这种分类尚有异议）。
　　按学科分类大致有运筹学模型、经济控制论模型、计量经济学模型和数理经济学模型。这模型都有其独特的数学理论和方法，而且可以再细分。
　　按模型化问题的类型分类，可以分为模拟模型、统计模型、优化模型和结构模型。模拟模型和统计模型重在科学地观察、预测；优化模型重在配置、统筹和最佳控制；结构模型重在对原型的逻辑化、分析、推理和解释假说。
　　（四）按模型的数学机理分类
　　大致可分为：
　　①数学规划类模型：包括线性规划模型、非线性规划模型和动态规划模型等等；
　　②统计回归类模型：包括时间序列模型、多元分析模型等等；
　　（五）按模型化目的分类
　　大致可分为：观察和解释模型、计划和设计模型、计划和设计的优化模型、机理过程分析模型、控制模型和研究模型。
　　此外，还有一些其它的分类方式，而且分类不是绝对的。但是，识别模型的类别无论对构造模型还是使用模型都是十分必要的。
　　§2.4 模型化过程
　　许多人曾给出过数学模型化的步骤，但很少有人详细地说明这个过程。本节试图详尽地阐述模型化程序，给读者一个较清楚的轮廓。我们首先给出模型化流程图。
　　模型化流程图 图2.1
　　§2.4.1 模型化方向的表述和经济原型的机理分析
　　一、模型化方向的表述
　　模型化过程始于对模型化方向的表述，当你怀着通过模型化研究原型的愿望，进入模型化过程，起初的模型化设想可能是模糊的，不完整的，随着模型化的深入和反复，不断地修正、调整，模型化的方向就会逐渐明确。在此阶段，应尽可能地表述整个模型化过程和注意模型化的可行性、经济性和实用性。可四个方面来表述：
　　（1）表述模型化的目的
　　包括模型化的动机和模型的用途等等，不同的目的决定着模型化不同的方向，如用于理论研究和实际应用的模型化会有很大的区别，由此引出模型的性质、类型、评价准则等一系列的区别，它是模型化沿正确方向进行的必要条件。
　　（2）表述对模型的期望
　　表述包括对模型解决问题的程度、范围以及模型性质的表述，它是模型化目的的深化。
　　（3）表述经济原型的轮廓
　　表述包括原型的横向与纵向，原型的内涵与外延，原型的内部、边界和外界等主面的表述，它是进一步明确原型定义的前题。
　　（4）表述可行的模型"空间"
　　表述主要指建模型者所熟悉的模型的类型，虽然我们尚不知确定何种模型，但通过掌握已知的条件成为可行的模型类型，这时类比分析和考虑异原同模往往是有益的。当然将来构造出的模型可能并不在第一次列出的候选之列，模型化过程是一个反馈型的创造性过程。　
　　上述四方面的表述不是一次完成的，在模型化过程中，可以修正、补充或简化，它们是调查和分析原型的前题。
　　二、经济原型的机理分析
　　经济活动通过抽象和提炼而形成了经济问题，它和客观经济现象有所不同。如果我们以一个经济问题为原型，那么其经济背景就是原型的原型。具体原型具体分析是模型化的灵魂，对原型的机理分析的方式可以是多种多样的，我们在此强调的是以定性为主，定量为辅的原则，采用将对象化整为零、把复杂事物分解为若干要素，对局部或要素进行研究和认识的一种手段，一般说来，原型机理分析包括以下三个步骤：
　　（1）分析原型的外部及边界的机理
　　其中包括分析原型外部和边界的状况，它们中哪些因素对原型的存在和发展的影响较大，它们是怎样发生作用的等等。
　　（2）分析原型的内部机理
　　其中包括分析原型的可分性，子原型的结构和相互依存关系，原型元的特性、作用、存在和变异的条件等等。
　　（3）综合分析
　　综合分析包括对原型的内部、外部和边界的相依关系，原型存在和消亡的条件、发展和变化的形式和趋势，以及原型的本质与特征和遵从的规律等方向的分析，它是我们进行简化和抽象的关键。
　　分析使经济原型的各种属性和本质清晰地呈现在我们的面前，而综合则把经济原型的各个部分、侧面、因素统一起来加以考虑。
　　综合是建立于分析的基础之上，运用正确的社会经济科学理论和概念，对原型的各个子原型和各种要素的理解统一为对原型的整体认识。这种认识将引导人们对原型进行合理的抽象和作出科学的假说。
　　§2.4.2 模型化假说和模型的构造
　　一、模型化假说
　　假说是自然科学和社会科学发展的描述形式，是通向客观真理的必由之路，它在模型化过程中也是最为关键的一步。严格地说，模型化假说是由经济假说到数学假设的过程。
　　所谓经济假说指依据客观经济事实和普遍规律，结合一定的经济概念、原理和科学知识，对于经济原型及其本质和规律所作的推断或解释，由于社会经济的机制复杂，因果关系不甚分明，假说是经济研究中常用的方式，如西方的各种经济学流派的理论实为不同的假说，经实践检验是正确的假说，就形成了理论，作为经济假说往往有三个性质：
　　一、似然性。人们常常感到假说与人们的直观的想象差异不大，但都不能断定其真伪； 二、推断性。由于造成一个社会经济现象产生的原因很多，假说往往是凭着构模者的推测或判断，找出在冥冥中牵引的魁首；
　　三、简明性。假说不再是原型本身，它简化了原型的复杂程度，抽象出最本质的东西，对原型的结构，趋势和规律做出了较明确的规定。
　　关于经济假说的范围大致应有两方面：
　　（1）对原型有关的经济概念的假说，一般说来，一个经济概念往往有多种解释，这与模型化不利，因此，在假说中应明确一切有关的经济概念前后一致，以统一口径。此外，假说时，要注意尽量使用量纲或可定量化的经济概念。
　　（2）对原型的经济规律的假说，由于原型及原型中子原型和原型元的逻辑关系和变异形式可能很繁琐，所以必须选择其关键的逻辑关系，普遍性的变异形式加以假说，排除一切不明确的或小概率的情况，假说原型在一定的条件下，遵从某种规律。
　　在经济假说中应注意承上启下，考虑经济假说的合理性。所谓合理性包括：假说中有关的信息是否可以获得，是否可靠，能否定量化；经济假说是否有适当的依据，能否检验，是否符合原型的客观背景，经济假说是否为数学假设奠定了足够坚实的研究基础，等等。在运用经济假说时，要充分发挥主观能动性，依据科学原理而不拘泥其间，勇于提出自己的假说；根据客观事实，利用创造性思维，对未知的事物进行推断；正视现实，以无私的态度接受实践的检验，不断地修正或放弃经济假说中的不妥之处。　
　　数学假设是经济假说的精确化。它是用数学术语考虑前述一切过程。 对经济假说中所使用的基本经济概念或经济量作出数学假设。一般将要研究的量设为变量，将影响模型但非我们所要研究的量设为参量。此外，根据具体原型及经济假说，对变量和参量的数学性质，定义域以及变量间的相互关系等等，给予严谨的数学定义。在数学假设中，既要尽力与经济原型吻合，又要有所创造和抽象，即要满足经济假说的描述，又要兼顾模型的可构造性。因此，数学假设是十分关键。最后，假设中还要考虑如何将实际的经济信息转化成模型的参数问题，关于这一点本文下面还要论述。　
　　二、数学模型的构造与推导
　　构造数学模型就是针对关于原型的特征规律和基本量的模型化假说，结合数学概念与方法，建立各经济因素之间的描述关系的数学结构。构造数学模型是一种创造性的活动，没有固定模式，构模的思维方法一般有四类：
　　（1）直接分析。当模型化假说十分清楚，各因素间的数量关系和逻辑关系比较简单，可以直接地进行推理分析，构造模型或使用标准模型。
　　（2）比拟思考。当问题的机理和假说不甚分明时，类比具有共性的事物；思考它们的构模方式，运用直觉、想象和灵感，在不同形式的事物间建立起同构或同态关系。
　　（3）启发性思考。启发性思考是从一般到特殊的思维方式。它运用已有的理论和原型方面的知识，探讨应用于构模的可能性。理论联系实际是其特征。
　　（4）理想实验法。当模型化假说较为复杂时，这是一种假想实验，此过程往往和模型化假说关系密切，是运用逻辑思维时设想的情况进行分析，和运用数学工具进行理论上的推导地过程。
　　构造模型是一个创造性的过程，因此没有固定的模式，下面就构模方法作一简单的综述：
　　（1）数据分析法
　　对结构尚不清楚或结构已定但参数未定的模型，可采用此法。其特征是利用数据作多元分析。如相关分析、聚类分析或回归分析等，最后推断出数量之间的结构关系。
　　（2）量纲分析法(dimensional analysis)
　　此法原于物理学。它的理论依据是P定理(P-theorem)和相似定理(Law of similitude)其大意为物理量都带有量纲，当度量基本单位改变时，物理定律仍然不变。我们把它平移到经济学中，有量纲的经济量之间的数量规律不随量纲的变化而变化。
　　（3）几何直观法
　　这是经济中最常用的方法之一。图形传递的信息以描述为主。根据几何直观构造相应的或推广的模型，以及其应有的性状是有效的。
　　（4）标准问题法
　　由于客观事物的同一性，许多不同的原型可以抽象为标准问题，这些标准问题与确定的模型相对应。找到原型的标准问题也就是找到了模型。
　　（5）数学分析法
　　利用特定的数学理论和方法（如数学分析、代数、拓朴概率、统计、微分方程等）构造相应的模型，这种方法要求构模对该数学分支的分析方法和理论有一定的了解。
　　（6）计算机模拟法
　　根据原型分析，设计出结构逻辑图，然后利用某种计算机模拟语言，进行模型设计。
　　至于模型的推导过程则主要是依据数学理论和方法进行的，以运用数学技巧为主。
　　§2.4.3 数学模型数学性质和经济背景研究
　　利用数学理论和方法研究已构造好的数学模型，是模型化中必不可少的。由于数学理论的抽象性可能会得出一些意想不到的结论，对这些结论应与适当的经济背景分析和研究，下面我们就经济中四类常见的模式指出它们各自主要研究的方面。　
　　一、概念性模式
　　基本概念模式是最简单的研究模式，对于数学模型中的基本量以研究其单调性、凸凹性、连续性、可微性、周期性或运动稳定性等数学性质为主，同时研究这些数学性质的经济背景。例如导数可能和边际、变动率、弹性等概念有关；凸性可能与下降且递增或上升且递减等概念有关，而周期性则可能与季节性波动或经济循环等概念有关。另外，对基本概念模型引出的特殊的数学性质，应用到经济上去接受检验。　
　　二、指标性模式
　　指标模式是经济中应有最广泛的模式。对数学模型设计有关指标并进行指标验证是研究数学模型的背景的手段。由于经济指标应具有的特点是不仅具有一定的经济解释，而且与一定的运算规则相联系，例如率、比、指数常和商的运算有关；累计、总和常与求和或积分运算有关。指标的经济解释一般是清楚的，只是对构成指标的诸因素的作用和影响应予以研究。分析各因素对指标的影响可以更科学地设计和控制指标，避免盲目依赖指标而导致谬误。
　　三、方程类模式
　　这类模型本质是可以利用其数学结构去寻找满足某些性质的数值解或函数解。方程本身则表示某种经济行为，一般说来，需要研究的数学性质有模型对参数稳定性，解的存在性、唯一性，可构造性或可计算性，以及解的稳定性等等。此外，对上述性质成立或不成立的条件，也应予以数学证明及经济解释。　
　　四、最优化类模式
　　优化类模式与方程类相似，除上述内容外，值得注意的是最优化模型一般存在着对偶模型，其原型与原问题的原型相对偶，研究模型的对偶性质对深化原型的研究也是必要的。
　　§2.4.4 解模算法的研制及公式化
　　概念模型和指标模型的算法一般是不难的，方程类和优化类模型则以求解为算法的重点。解模算法就是根据已有的数据和数学模型，计算或解出未知或待定的数值解或函数解的方法，公式化则指把算法的具体步骤用严谨的、标准的、可直接计算的数学公式表示出来，研制解模算法大致分以下几步：
　　（1）研究考查数学模型及相关的算法
　　一般说来，一类数学模型总有与之相应的一类算法，考查数学模型的类型和结构，选择和利用已知算法，可以避免重复劳动，处理大规模问题时，可以结合计算机程序化分析和选择算法，先把整个计算或求解过程分解成若干子块，把具有共性的子块放在一起统一考虑相应的算法。
　　（2）具体研制算法
　　完全套用已有算法的情况是不多见的，具体研制算法过程中，大致包括有关数学模型的条件修正，数学模型结构的变换或近似，旧算法的改进、移植、新算法的研制；符号的谐调一致以及子算法的逻辑关系的统一。
　　（3）算法的估价
　　估价算法大致有以下几个方面，算法的复杂性、收敛性和程序化的水平；精确度或误差量的可控性水平；简易性和实用性水平；以及解决同类问题的能力和扩展的潜力等等。
　　一般说来，选择算法的标准是计算误差小、方法简单、计算时间短和经济耗费低。应当指出算法的估价标准也是选择算法的标准，只不过我们事先不知道罢了。至于公式化则主要是为程序化作准备的，相当于把模型和算法用基本的、初等的数学语言加以描述，它是算法实现的一部分。
　　§2.4.5 程序设计和支持系统的开发
　　计算机是人脑和手的延拓，它使数学模型的实际应用成为可能，如果数学模型的规模较大，复杂程度较高，使用率也高，或要求迅速得出结果，则可考虑使用计算机，大致需要经过以下过程：
　　（1）公式化数学模型和所选用的算法
　　由于计算机毕竟只能按人们事先约定的方式进行演算，许多数学符号不能直接输入，因此必须把所有需要计算机处理的内容进行公式化。
　　（2）构造一整套程序框架
　　计算机程序往往是牵一发而动全身，故构造框架时力求严谨、精细和完整、子框架之间的接口要逻辑分明，设计一个好的框架是成功的关键。
　　（3）根据具体情况，选择计算机的类型、编程序的语言，以及适应的操作系统。
　　（4）设计较细致的框图，编制程序和部分调试。
　　（5）设计信息处理支持系统
　　其中包括：多种信息输入形式，统计预测方法支持系统，文件支持系统，关系数据库支持系统，以及信息直接转化模型参数系统等等。
　　（6）程序的输入调试与检测
　　调试方法有：将大程序分为子块调试，最后再联接的分块调试法；有加入显示程序尾随运算过程的跟踪法，有虚拟数据的逆向调试法等等。经常有这样的情况，程序已可以使用，但仍有错误。
　　（7）程序的维护和功能的完善化
　　第三章 经济统计指标模型
　　模型化过程的第一步是收集原型的有关信息，而信息的收集涉及到抽样调查的指标设计和信息的分类处理问题。本章主要讨论模型化信息的收集与统计处理方法。
　　§3.1 模型化信息的收集方法
　　信息是表现事物运动状态以及和其他事物相互作用的一种形式。收集有关原型的信息则是模型化中必不可少的一环。收集信息是为了实现模型化目的，是一种有意识的活动。一般来说，模型化信息有五类：
　　（1）先决信息：即有关模型化所需的准备性信息。如模型化的简单设想，原始概念、框架、草图、有关的经济理论、事实、和一般规律，以及必要的数学知识等方面的信息。
　　（2）外界环境信息：即有关原型外延的信息。其中包括定义明确的原型界限，原型外部对原型的影响、作用，以及它们之间的相互作用。
　　（3）内部结构信息：即原型体系内部的结构信息。其包括原型的组成方式，原型元和子原型存在的形式、功能及相依关系等等。
　　（4）原型性状信息：即原型作为一个整体的性态状况方面的信息。其包括原型存在的目的、形式、行为、性状、特征以及发展趋势和变异、消亡的条件等。
　　（5）数量信息：即已数量化或可数量化的信息。其包括现在的、历史的、不同空间的原型及模型化的数据资料、图表、以及原型的量变规律，乃至数量化及收集方式等等。
　　以上信息不是互斥的，而且有些信息正是需要通过模型化得到的。Samuel L.S.Jacoby (1980)曾就模型化目的与原型信息给出一张关系表（见表3.1），我们称此表为雅可比表。并利用它做为收集信息的指南。
　　3.1 雅可比表：
　　原型 模型化目的
　　信息 观察解释 计划设计 最优化规划 运行机理分析 运筹控制 研究
　　初等的概念、设计或计划 A A A A A A
　　定义完备的系统、事物或过程 R A&R A&R A A R
　　元素、轮廓和固定参量 R A&R A&R A A R
　　可调节参量 R A&R R A R R
　　外围、环境、运行条件 A A A A A A
　　目的、使用、外貌、行为、表现 A&R A A R A A
　　说明* A：可获信息 R：结论性信息
　　不同类型的模型对信息的要求也不一样，请读者自己设计一张关系表做为练习。
　　收集信息的方式很多，我们重点介绍经济统计方法。众所周知，统计方法指搜集、整理、表现和分析数据资料，并根据分析结果导出经济结论，乃至作出合理决策的科学方法。但我们只关心前几步。社会经济现象多具有群体性，统计信息就是经调查而得到的有关原型的总体性数据。依统计学惯例，我们将数据分为原始数据与次级数据，或静态数据与动态数据。原始数据指为了模型化目的，经过实地调查或直接从其他机构收集来的尚未经过任何简化与整理的数据资料；次级资料则指通过整理、简化等处理后的，可供模型化直接利用的数据；静态数据指某时刻的静止状态的数据；动态数据则指特定时期内继续发生的演变过程的数据。统计资料的共性是数字性，总体性和客观性，构成统计量的三要素是时间、空间和属性，这些都需要在模型化中加以说明和注意。　
　　（一）收集统计信息的方式大致有四类：
　　1.调查
　　以方式划分：亲自调查、委托调查和通讯调查；以范围划分有普查和抽样调查。
　　2.登记
　　3.实验
　　4.次级数据的搜集
　　在模型化工作中，这四类方式都会遇到，我们仅介绍普查与抽样调查。
　　所谓普查是指将需要研究的某种社会经济现象的全体进行逐一调查，以期获得完整、详细、可靠的总体数据。普查注重时间上的一致性，空间上的普遍性和方法上的统一性。普查的问项简易，组织庞大，精度较高，但耗资较大，一般是在政府支持下完成。抽样调查是在欲研究的总体中选取一部分加以调查。目的是在省时、省事、省钱的原则下，以最小的代价获得较精确的信息，利用概率论与数理统计推断总体特征。其在时空上限制较少，方法综合灵活。抽样调查的问项细致深入，组织规模较小，费用低廉，精度虽稍差，但可以调整控制。常用的抽样方法有以下几种：　
　　（1）立意抽样：依据某种准则，将总体中某些具有代表性的个体抽出来组成样本，这种方法称为立意抽样。
　　（2）随机抽样：在不受任何人为因素影响的条件下，等概随机地从总体中抽出若干个体以组成样本，谓之随机抽样。
　　（3）分层抽样：依照某种准则将总体分成若干层次(Stratum)，尽量使得层内的抽样单位同质，而不同层次的抽样单位异质，再由各层中抽出适当的单位组成样本。这种方法叫作分层抽样法。
　　（4）集团抽样：将总体分成若干集团(Cluster)，并尽量使集团内的抽样单位异质，而集团间的抽样单位同质。把这些集团视为抽出单位，依单纯任抽方式抽出其中若干集团，再在抽出的若干集团内进行调查。此法称为集团抽样。　
　　抽样的方法很多，例如多段抽样法、系统抽样法、弗曼抽样法，两段抽样法等等。可视需求择优用之。
　　§3.2 模型化信息的统计处理方法
　　我们对已收集到的数据的整理可分为三步：
　　1.分类：依互斥性与周延性原则，将特性相仿的数据分为一类。
　　2.归类：把数据分别归入应属类别，方法有划记法、卡片法和电脑录入法。
　　3.列表：将次级资料按照模型化研究目的，做成数据表和统计图。
　　次数分配表是统计表中最重要的一类。属于同一变量的一组数据或分组后属于同一组的数据个数称为次数。将各组次数依序排列称为次分配。其目的是将数据资料凝聚成更简明的形式，使数据便于模型化的利用。而且次数分配作成的次数直方图及次数曲线图等与数学上的函数概念相吻合。我们首先介绍几个常见的概念：　
　　①分组数据：以次数分配的形式所表示的数据。
　　②组限：各组的两端数值，其中最大者称为上限，最小者称为下限。
　　③组距：在分组次表中，线一组数据所包括的范围，即上限与下限的距离。
　　④组宽：组距上下限之差。
　　⑤组中点：每组上下限的中点，亦称组代表值。
　　⑥全距：数据中最大数与最小数之差。
　　编制次数分配表的步骤如下：
　　1.求全距：即计算出最大的和最小的数值之差。
　　2.分组：即参照全距将数据分成若干组或决定出每组组距的大小。一般来说，8≤组数≤30，组距尽量相等。
　　3.定组限：选组限应使各组的上限、下限和组中点为整数或其他简单的数字。出限次数多的数不宜定为组限。
　　4.归类：即将数据归入应属的组内，记下次数。
　　5.计算次数：统计各组的次数。
　　6.列次数分配表：表中有分组（组中点、组界、组限）、次数、以上累加次数、以下累加次数、相对次数、累加相对次数或百分比次数等栏目。
　　【例2.3.1】（取自高东正《统计学概要》）某工厂的50位职工的年龄资料如下：
　　20 26 28 21 25 32 34 37 15 46
　　26 23 21 22 17 28 33 38 38 36
　　40 18 29 23 21 27 25 26 51 48
　　19 25 26 31 32 28 20 33 28 24
　　42 24 16 21 26 24 32 31 35 18
　　我们编制次数分配表并绘出直方图和累积次数曲线。
　　①以5为组距编制次数分配表：
　　年龄组别 次数（|） 相对次数(F) 以上累加数 以下累加数
　　15～19 6 0.12 50 6
　　20～24 12 0.24 44 18
　　25～29 14 0.28 32 32
　　30～34 8 0.16 18 40
　　35～39 5 0.1 10 45
　　40～44 2 0.04 5 47
　　45～49 2 0.04 3 49
　　50～54 1 0.02 1 50
　　合计 50 1
　　②绘直方图和次数多边图
　　图3.1
　　③绘制累积曲线：
　　图3.2
　　可以看出，我们得到了比原数据浓缩的数量信息。如果以组中点和组次数相对应，并把A和|连续化，可以得到光滑的曲线。
　　统计图在经济数学模型中经常使用。它利用点的多少，线的长短，面积的大小，颜色的浓淡，线条的疏密或曲线的变化，来表示数据的大小程度、变动情况、分布状态和相依关系。统计图的类型繁多，以绘图目的为标准，可分为说明图、计算图和科；以应用环境为标准，可分为挂图、桌图和书图；以所用尺度为标准，可分为算术尺度图、单对数尺度图和双对数尺度图；以形状为标准，可分为线图、长条图、时间数列曲线图、面积图、洛伦兹曲线图，立体图、统计地图、象形图、以及组织图、工作程序图和工作进度图；以统计数列为标准，可分为时间数列图、地理数列图、属性数列图和变量数列图等等。
　　在经济研究中统计图是极重要的"数学模型"，利用它可以显示数量间的相互关系，便于进行多种复杂现象的比较，以供研究者分析和说明。尤其让使用
　　者在甚短的时间内，就能得到对经济原型某一事实的明确具体的概念，减少了冗长的文字或数字的说明，引起对该事实的兴趣。
　　制图程序可由下面的框图说明：
　　图3.3
　　除图形以外，完整的统计图还包括以下细节：
　　1. 标题：有简洁的文字写在图的上方。
　　2. 原文注释：写在标题下方，较小或不显著的位置。
　　3. 注脚：写在图的下方，以对段首目栏予以必要的说明。
　　4. 资料来源：常写在注释下方，以表明所搜集的资料的名称、页数等。
　　5. 约略数字：当数字有约略时，应在注释段首、或目栏开头说明其效果。
　　6. 比值：必须说明比值的意义。例如是"总数的百分比"还是"增减的百分比"，而不要以"百分比"代之。
　　7. 数：欲强调的数应写在上端或左方，否则可写在下端或右方。
　　8. 单位：行或列的数字单位必须特别指明，如标上"￥"或"＄"。
　　我们经过搜集、分类、归类、列图表等程序后得到的统计资料，在形式上已比较整洁。训练有素的经济学家能够直接从统计资料中窥出其蕴藏的问题。但毕竟仍嫌杂乱繁琐，尤其是资料种类及数量较多时不便利用。就数据性质可归两类：一是中央趋势量，二是差异分散量。我们罗列如下：
　　一、中央趋势量
　　在有序的数据集合中，表示其中心的量称为中央趋势量。在经济中常用的有：平均数、中位数、众数、四分位数和百分位数。假设数组为x1，x2，…xn，分成K组后的组中点为 ,组频数为|j，其中j=1,…,k，则
　　（1）平均数
　　a）算术平均数
　　(未分组)
　　(分 组)
　　数据不多时可用前式，否则用后式。利用公式的性质可得简捷算法：
　　此外，算术平均数有以下性质：
　　①
　　② （可扩充性）
　　③ （最佳性）
　　b）加权算术平均数
　　设数组x1，x2，…，xn的重要性程度由要系数w1，w2 …，wn表征，则
　　c）几何平均数
　　（未分组）
　　（分组）
　　它多用于比率平均及测定动态变化量。计算方法是利用对数性质：
　　(d)调和平均数
　　(未分组)
　　(分组)
　　其多用于有两个计算单位时，如平均速度、平均物价等等。
　　（2）中位数
　　中位数指一有序数组中位居中间的数值，记作Me。中位数所在的数组称为中位数组。假设样本数n，中位数组组下限Lme，中位数组组上限Ume，低于Lme的所有项数之和为FLme，低于Ume的所有项数之和是FUme，中位数组的次数是|me，中位数组组距为hme，则
　　未分组时，
　　分组时，
　　（3）众数
　　在一数组中出现次数最多的数，称为众数，记作M0，确定众数的方法有三种：
　　a）金氏法：
　　其中Lmo是众数所在组的下限，|-1是众数组的前一组的次数，|+1是众数组后一组的次数，hmo是众数组的组距。
　　b）比例法
　　其中f0是众数所在组的次数，其余同上。
　　c）皮尔生经验法
　　4）分位数
　　a）四分位数
　　如果将一有序数组分割成四个部分，其三个分割点就称为四分位点。从最小数值点算起，依次称作第一、第二、第三分位数，记作Qk，k=1,2,3，且
　　k=1,2,3，
　　式中 表示第k个四分位数所在给的组下限，fk表示小于 的各组次数之和， 表示第k四分位数所在组的组距，n表示总次数。
　　b）百分位数
　　设Pk为第k百分位数，则
　　k=1,...,99
　　其中 是第k百分位数所在组的组下限，fk是小于 的各组次数之和， 是第k百分位数所在组组距，n是总次数。
　　中央趋势量在社会经济中占有十分重要的地位，群体往往有向中心均衡集中的倾向，故利用它可以反映群体。作为一个优良的中央趋势量应具有六条性质：①简单明确；②感应灵敏；③定式严谨；④计算简易；⑤代数公式化；⑥抽样稳定性好。
　　二、差异量数
　　群体中各个个体之间存在着差异，表示变异状态的数量称为差异量数。经济统计中常见的差异量数有离中差，离均差和非离均差。它们的公式如下：
　　（1）离中差
　　离中差是以Me为中心的差异量数，它包括平均差和分位差。
　　a）平均差
　　其中Me是中位数，目前多采用 代替Me。
　　b）分位差
　　①四分位差
　　Q.D=1/2[Q3-Q1]
　　②百分位差
　　（2）离均差
　　离均差是以 为的差异量数。如标准差等
　　①标准差
　　简捷算法公式为：
　　②P范数标准差
　　（未分组）
　　（分组）
　　（3）非离均差
　　非离均差有两极差、均互差等。
　　a）两极差（全距）
　　其中Uu是最大组的上限，Le是最小组的下限。
　　b）均互差
　　①未分组
　　②分组
　　若组距相等，则有
　　式中h是组距，Cj是以下累加次数。
　　与中央趋势量相仿，对差异量数的要求也是易于计算和理解，确定方式严密，感应灵敏，适于代数处理，以及受抽样变化的影响小。除中央趋势量和差异量数外，变异系数也是经济中常见的统计量，如
　　（1）标准差异系数
　　（2）平均差异系数
　　（3）四分位差异系数
　　（4）均互差异系数
　　（5）均互差中位差异系数
　　=g/Me×100%
　　第四章 销售机理模型化过程
　　本章通过销售机理分析，提出用主观概率预测模式代替简单的数学外推预测，从而改进了销售预测的方法。通过对成本机理的分析，构造了一组适用于一般情况的成本模型，在经济收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，进而提出了广义利润、广义创利额等概念和模型。 在风险机理的分析中，采用变异系数、偏态系数、峰态系数和标准差共同度量决策的不确定性；用熵值变量决策的不肯定性以及用实现目标值的可能性度量决策的成功与失败。在时间机理分析中提出了贴标准值法，并讨论了系列收入或支出的近似模式。
　　§4.1 销售机理分析与基本模型
　　在一定时期内一定数量的某种商品，所能从生产领域经流通领域，最终进入消费领域的其客观基础是什么呢？首先，是在于该种商品有用性，"物的有用性使物成为使用价值"。[30] 就是消费者对该商品有客观上的需求。其次，在按劳分配原则和物质利益原则下，消费者手中的货币应标志着其付出的劳动或社会分配。如果需求者认为商品的使用价值和价值大体上与其需求程度和价格相当，则有购买的可能性。显然，如果消费者愿意支付的数量小于供给量，则商品不能实现或完全实现其使用价值和价值。但如果降低价格则有可能实现。因此，合理的价格是商品顺利地进入消费领域的必要条件。
　　我们定义能销售量这个经济概念为：在一定的市场环境和一定的行销规划下，消费者可能愿意并能够支付的需求量。所谓市场环境是指一定的地理区域和期间内的人口、经济、政治、文化和科技等的状况和水平。行销规划是指企业对销售价格、推销途径和行销努力等方面的计划和安排。显然，影响能销量的随机因素很多，而且与决策者的预测有关。因此我们视之为主观随机变量。为了简便起见，我们设能销售量是只和价格有关的随机变量。
　　现在，我们分析在一定时期内未能销售掉的商品。首先，商品作为使用价值存在有一定的时间限制，"如果商品没有按照它们的用途，在一定时期内进入生产消费或个人消费，换句话说，如果它们没有在一定时期内卖掉，它们就会变坏。并且在丧失它们的使用价值的同时，也就丧失作为交换价值承担者的属性?quot;[31] 因此，逾期未能售出的商品应当降价销售。否则，对经营者来说，拖延销售时间只会增加流通费用，影响资金周转，得不偿失。于是，我们可以做出经济假说，凡逾期未能售出的商品均应及时处理掉，而且每单位商品可以收回的残值约等于处理价格。这里的处理价格是指可以及时处理掉所有剩余商品的最合理的价格。一般说来，残值总是低于处理价格。
　　假设现有n种待决策的商品，根据上述经济分析和假说，对有关经济量作以下数学假设：设生产量（或采购量）记为 x=(x1,x2,…xn)T，其满足x30。设能销售量是随机向量，记为：x=(x1,x2,…xn)T，其中xk(k=1,2, …,n)的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是关于价格Pk单调下降的凸函数。设价格向量为P=(P1,P2…Pn)T,且P??。其中?是价格的约束集合，特别是?= 。设处理价格为DP=(DP1,DP2,…DPn)T这是一个给定的常向量。
　　我们开始构造销售额模型。所谓销售额(Sales Revenue)指在一定时期内的销售收入。如果商品k的生产量或采购量Xk小于或等于能销售量xk，则商品都可以以价格Pk售出。但如果供给量Xk大于能销售量xk，则只有数量为xk的商品k以价格Pk售出。根据假说，剩下的数量为Xk－xk的商品必须以处理价格DPk及时处理掉。因此，我们得到：
　　销售额模型
　　总销售额
　　其中随机指标集合
　　J1（X，x）={k?Xk￡xk，1￡ k ￡ n}
　　J2（X，x）={k?Xkxk，1￡ k ￡ n}
　　J1（X，x）∩J2（X，x）=?且J1（X，x）∪J2（X，x）
　　={1，…，n}
　　我们下面给出过剩损失模型，所谓过剩损失是指由逾期未能售出商品所造成的损失。由假设DPk等于残值SVk。当Xk￡xk时剩余量为零，当Xkxk时，剩余量为Xk－xk。每剩余一个单位的商品，则损失（Pk－DPk），因此
　　过剩损失：
　　总过剩损失：
　　我们对销售额模型稍作变形，则有
　　因此，我们有：
　　SRk(Xk,xk)=PkXk－ELk(Xk,xk)
　　其中PkXk是顺利情况下商品K的销售额。
　　类似地，我们有
　　即随机的销售收入等于正常的销售收入减去随机的过剩损失。
　　§4.2 成本机理分析和基本模型
　　经营者在从事一项经济活动中，总是要有一定的人力、物力和财力的消耗。商品成本是以货币形式表现的企业为生产和销售商品而消耗的生产资料价值和支出的劳动报酬。一个较一般的成本概念是"成本是为了达到一个特定目的而已经发生或可能发生的，以货币计量的牺?quot;。[33]模型中提到的成本指已统一量纲为货币单位的成本。
　　我国对成本的一般分类准则有按经济性质划分的要素分类；有按用途和计入成本的方法划分的项目分类等。由于经济现实的复杂性、成本的概念、归类方式及统计方法都不太统一，严格地说来，财会的成本资料不能直接用于决策分析，因为我们难以把各种成本都归入模型。因此必须寻找有实用价值的成本概念和新的思想，做为我们模型的依据。
　　管理会计学为我们提供了一些极有价值的新概念和新思想。虽然有些概念从数学上看是简单的，但对经济学上却曾意味着突破。现在我们就与决策有关的概念加以分析。对于企业的一项决策而言，并非所有的成本都与决策有关，故可将成本分为相关成本(relevant cost)和无关成本(irrelevant cost)。显然，无关和相关是相对的，需因情况而异。选择模型所需成本信息时，首先应做分类工作。
　　根据决策者所处的管理层次，可以将成本分为可控成本(controllable cost)和不可控成本(uncontrollable cost)。决策者订出归自己控制的成本范围后，可有效地利用成本信息。
　　一般地说，成本的性质虽然各有不同，但就其与生产数量的关系而论，可分为固定成本(fixed cost)和变动成本(variable cost)。前者指在一定时期内，一定的经济活动规模下，不随产量而变动的费用支出；后者指随产量做正比例变动的费用支出。应当指出，还有一种半固定成本(Semifixed cost),它随着产量的增长呈阶梯形上升。为了简便起见，我们假设已将此成本分别归入固定成本和变动成本，并且假设单位变动成本是常量。其实，变动成本不一定是线性的，但当企业的生产规模不变时，它很接近线性。对企业而言，变动成本主要是指直接原材料、直接人工等费用，对商业企业而言，变动成本主要是指进购原价、小包装费、运输费和佣金等。固定成本主要是管理费、折旧费等。
　　在很多经济文献中常把相关的固定成本处理成常量，但管理会计学根据固定成本涉及的范围将它划分为专属固定成本(Special cost)和联合固定成本(joint cost)。前者指专门由于某种经济活动的存在而发生的固定成本；后者指由于若干经济活动的存在而发生的固定成本。在这里我们假设，第k项数量决策Xk0，则其专属固定成本一定发生，否则不发生其专属固定成本。当n32时，联合固定成本存在，且其为零的充要条件是所有的经济活动都不发生。
　　在多品种的情况下，如何合理地把固定成本分摊到各项商品的成本之中是很重要的。一般的分摊方法有按固定资本占有分摊，按销售额分摊或按变动成本分摊等方式。我们假设，固定成本分摊系数是已知的，现在我们讨论一种特殊的成本或损失，即所谓机会成本(Opportunity cost or alternative)。机会成本并非通常所谓的成本，而是指在投资方案的选择中，如果选择了一个投资方案，则必须放弃投资于其他途径的机会，其他途径中最好的一种投资的收益，就称为这项投资方案的机会成本。机会成本与实支成本(Outlay cost)是相对应的。在我们研究的问题中，缺货成本(Shortage cost)就是一项机会成本。即在企业确有剩余生产能力或购销能力的情况下，因决策时优柔寡断或判断失误，没有能够及时地适量地向市场提供商品而损失的潜在收益。一般说来，商品k的机会损失应小于单位创利额。但应指出缺货成本不仅是含有一定的主观因素，而且也包含客观上可能发生的成本。生产企业的缺货成本中可能包括生产能力闲置损失，加急订原材料费以及追加生产费用等；商业企业的缺货成本中可能包括行销能力闲置损失、加急进货费用、相关商品的销货损失以及商誉损失等。
　　鉴于这些情况，我们认为缺货的可能性很小或根本不承认缺货成本。可以令其为零；如果不允许缺货，则缺货成本为无穷大；这时问题转化为存量控制问题。在我们的模型中不严格地区分缺货成本和机会成本，而笼统地称计入缺货成本或机会成本的成本为广义成本。　
　　至此，我们分析了有关的一些成本概念并做了适当的假设。在这里我们只是从理论上讨论了这些经济量。关于如何定量这些信息。可以在管理会计方面的文献中找到。
　　我们现在假设，不可控制成本为常量NC。若从事商品k的生产（购销）活动存在（Xk0），则专属固定成本为常量SFCk。否则（Xk=0），专属固定成本为零。若n=1，则无联合固定成本。若n32,则联合固定成本为零的充要条件是X=(X1，X2，…，Xn )T=0。若X10，则联合固定成本为常量JFC。这n种产品（商品）的联合固定成本和不可控成本的分摊权系数为l1，l2,…，ln ,且满足： 。单位变动成本为常量UVCk，单位缺货成本为常量USCk。下面我们将基于上述假设来构造模型。由于假设非常清楚，故仅将构造的模型罗列于下：
　　（1）固定成本方面
　　商品k的固定成本FCk（X）：
　　商品k的单位固定成本UFCk(Xk)：
　　UFCk(Xk)=[lk(NC+JFC)+SFCk]/Xk
　　总固定成本FC(X)：
　　（2）变动成本方面
　　商品k的变动成本VCk(Xk)：
　　VCk(Xk)=UVCk·Xk
　　总变动成本VC(X)：
　　（3）成本方面
　　商品k的成本Ck(X)：
　　Ck(X)=FCk(X)＋VCk(X)
　　=lk[NC＋JFC·Sign(XTX)]＋SFCkSign(Xk)＋UVCk·Xk
　　单位成本UCk(Xk)：
　　UCk(Xk)=UFCk(Xk)＋UVCk
　　=[lk(NC＋JFC)＋SFCk]/Xk＋UVCk
　　总成本C(X)：
　　（4）缺货成本方面
　　缺货成本SCk(Xk，xk)：
　　总缺货成本SC(X,x)：
　　其中随机指标集合J1 (X,x)={k|Xk￡xk，1￡k￡n}
　　（5）广义成本方面
　　广义成本GCk(X, xk)：
　　其中随机指标集合：
　　J1 (X,x)={k|Xk ￡ xk,1￡ k ￡n}
　　至此我们构造完了主要的成本模型。
　　§4.3 经济收益与基本模型
　　衡量经济收益的指标很多，为了在量纲方面有统一的准绳，我们只考虑与货币有关的指标。下面我们就最重要的收益概念进行分析和构模。
　　我们进行模型化分析的目的是为了实现企业的最终目的。企业的最终目的是利润，离开了利润，企业就失去了生存和发展的条件。所以在市场经济条件下，企业无一不是以利润作为行动的根本准则。一般认为，能提供最高利润的方案无疑被认为是最优方案。
　　利润指销售收入减去全部成本后得到的收益，利润率则指利润和全部成本之比。这里所说的利润是指净利润。净利润中再扣除税赋则为税后净利润或税后利润。我们知道，如果需考虑税的因素时一般只须在利润上乘一个（1－税率）或扣除产品税（=产量×单位税金）即可。为了简洁起见，我们暂不考虑税的因素。下面给出利润的基本模型：
　　利润：
　　NIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－Ck(X)
　　总利润：
　　NI(X,x)=SR(X,x)－C(X)
　　如果考虑机会成本，则得出广义利润的模型：
　　广义利润：
　　GNIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－GCk(X,xk)
　　总广义利润：
　　GNI(X,x)=SR(X,x)－GC(X,x)
　　我们应当指出，当机会成本为零时，利润和广义利润相等。为了避免比率模型中出现两个随机变量之比，我们假设一切比率模型都是分子的期望和分母的期望之比。例如广义利润率等于广义利润的期望和广义成本的期望之比。我们下面讨论一个与盈利能力有关的经济概念。
　　一种令人困惑的说法是："当卖价低于全部成本很多时，厂商可以从事一定程度的经营而受益"。这个似非而是的说法突破了传统的观念。我们依据前面的成本分析，单位成本是由单位固定成本和单位变动成本构成的，前者随经营量而下降，后者相对稳定。因此，既使单位价格低于单位成本也不一定经营的业务量愈大，赔的愈多。使人困惑的原因是人们习惯于以单位利润为每一单位产品（商品）的盈利能力。目前，国外愈来愈多的企业改用创利额来刻划盈利能力。所谓创利额(边际贡献)它等于销售收入扣除变动成本。上述问题中，只要单位创利额(Pk－UVCk)0，当XkFCk/(Pk－UVCk)时，即可扭亏为盈。因此从数学的角度看企业采用创利额作为盈利能力的度量是有一定道理的。利用创利额代替利润的另一优点是当固定成本不变时，创利额和净利润的极大值点是一致的，因此不必收集和处理固定成本方面的信息，从而提高了决策的效率。此外，创利额在预测、决策、弹性预算、控制和考核分析中均具有非常重要的作用。由经济定义，创利率(marginal income ratio)为创利额和销售额之比。根据前设，我们令创利额模型为创利额的期望和销售额的期望之比。
　　创利额：
　　MCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)
　　总创利额：
　　MC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)
　　如果我们把机会成本也看成变动成本，则得到广义的变动成本。我们称销售收入扣除广义变动成本为广义创利额，则
　　广义创利额：
　　GMCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)－SCk(Xk,xk)
　　总广义创利额：
　　GMC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)－SC(X,x)
　　与上相同，广义创利额模型为广义创利额的期望和销售额的期望之比。
　　§4.4 风险机理分析与基本模型
　　风险一般是指得与失的机会或可能性，广义的风险可以是经济上的，政治上的，法律上的，或物质上的。我们这里所讨论的风险是指经济方面的。
　　风险不同于危险。前者既有坏的可能性，也有好的可能性；而后者仅有坏的可能性。按决策进行经济活动的结果总会与期望有一定的偏离，因此不确性是与风险有关的概念，企业常常在不确定或不完全确定的情况下作出决策。所以，为了将决策分析工作建立在科学的基础上，通常把不确定性作为风险加以计量，从而便于进行定量分析。我们下面对风险的计量及模型化进行探讨。
　　一、风险的一般度量
　　风险是指得失的机会或可能性，因而风险的度量与数学上的随机变量的度量很接近。一般对风险通用的变量是标准离差(Stardard deviation)，风险愈大，标准离差也愈大。应该注意的是，标准离差是绝对量。由于绝对量缺乏可比性，因而标准离差不能很好地反映出风险的全貌。例如，销量庞大的商品和销量较小的商品相比。当前者的标准离差大于后者时，无法准确断定前者的不确定性大于后者。为了较全面地刻划风险，在此再给出一个相对性指标一一变异系数，它等于标准差和期望之比。变异系数是反映标准离差在期望附近摄动水平的指标，从而有利于客观地说明不确定性。另外，还可以用偏态系数和峰态系数等数学概念来共同度量风险。
　　二、风险的新度量一一熵
　　风险与不确定性的关系十分密切。目前国外对风险和不确定性这两个概念没有明确区分。但风险还有另外一层含意，即风险指人们在决策实施之前不能肯定地知道究竟结果如何，亦即在有风险的情况下，决策的结果具有不肯定性。即使在同一情况下，不同决策的结果的不肯定性也会有差异。因而应当找到一个模型从数值上度量决策的不肯定性。下面我们来讨论适宜度不肯定性的标准。
　　假设一项决策只有有限个彼此不相容的结果A1，…，An，它们相应的可能性（先验概率或主观概率）是P(A1)，…，P(An)，设这个度量不肯性的量为H。首先，希望这个量相对于P(A1)，…，P(An)是稳定的，即当P(A1)，…，P(An)有微小摄动时，它不会有显著的变化。因此，这个量应该是关于P(A1)，…，P(An)的连续函数；其次，在一般情况下，可能性的结果会愈多，则不肯定性愈大。因而，至少对决策的几个等概结果而言，这个函数是关于n单调上升的；最后，我们希望若干次结果较少的决策经验能够运用到结果较多的决策上。用数学语言讲，这个量H应满足以下三个条件：
　　（i）H是P(A1)，…，P(An)的连续函数；
　　（ii）对n个等概结果的试验，H是n的单调上升函数；
　　（iii）一个试验分成相继的两个试验时，未分之前的H即为分后的H的加权和。
　　唯一能够满足上述三个条件的函数就是由申农(Shannon)找到的熵函数。从物理学角度看，熵是系统内部无序程度的度量，这从另一方面说明。用熵来度量决策后果的不肯定性是合理的。由于模型中采用主观概率预测，所以应该认为此时熵值不仅反映了决策后果的不肯定性，而且反映了决策者对决策事件的不肯定程度。本文定义风险熵的概念为：若h是和得与失有关的随机变量，则称h的熵值为其风险熵。若h遵从离散分布，则其熵值为：　
　　其中P(Ai)是事件Ai发生的概率，K是正常数。若h服从连续型分布，则其熵值为：
　　其中P(t)是h的概率密度函数。当对数以2，e和10为底时，熵的单位分别为比特(bit)，迪西特(decit)和奈特(nat)，不论单位如何，熵值愈大，说明决策后果的不肯定性也愈大。对于与决策有关的随机模型来考虑每个经济模型的熵值可以有利于正确地进行决策。
　　三、广义盈亏平衡分析及安全边际
　　不得不失是风险中的一种极端的状态，在经济中称为盈亏平衡，即利润为零。对这种临界状态下各种经济量及其关系的分析称为盈亏平衡分析（或称损益分界分析，保本分析等）。一般定义为：盈亏平衡分析是研究固定成本、变动成本和利润三者关系的分析技术，其模型为：
　　销量×（价格－单位变动成本）=固定成本
　　销量=产量（隐含假设）
　　盈亏平衡点=固定成本/单位创利额
　　其中单位创利额=价格－单位变动成本。与盈亏平衡关系密切的经济概念有安全边际(margin of Safety)和安全边际率，其模型是：
　　安全边际=计划业务量（或实际业务量）－盈亏平衡点业务量
　　安全边际率=安全边际/计划业务量（或实际业务量）
　　在上述条件下盈亏平衡点所提供的创利额恰好弥补固定成本，所以安全边际所提供的创利额就是利润。从另一角度看，盈亏平衡点业务量所获得的销售额正好弥补了全部成本。因此安全边际和安全边际率越大越能经受市场的冲击，企业的经营风险也越小。
　　从上述模型中，可以看出几个问题：
　　（1）销量（业务量）等于产量（计划量）的隐含假设只适用于供不应求的情况。
　　（2）当计划量不等于实际业务量时，安全边际和安全边际率不能度量未来的风险。因为这样会得出计划量愈大，则安全边际和安全边际率愈大、决策愈安全的结论。
　　（3）模型没有考虑决策对安全的影响，而且只适合于单品种，价格不变。无机会损失等比较确定的情况。
　　为了解决上述问题，可以利用广义利润的期望来代替一般的利润，从而得出以下模型：
　　广义盈亏平衡模型：
　　E{GNIk(X,xk)}=0
　　插图5.1
　　广义盈亏平衡点：
　　GBEPk={Xk|E[BNIk(X,xk)]=0}
　　广义总盈亏平衡模型：
　　E{GNI(X,x)}=0
　　插图5.2
　　广义总盈亏平衡超曲面：
　　GBEP={X|E{GNI(X,x)}=0, X? }
　　应当说明，当缺货损失为零时，产量等于销量，并且处理价格等于原价格，则单品种的广义盈亏模型与盈亏模型完全一致。
　　对于安全边际方面，给出一般的模型：
　　安全边际：
　　MSk=yk－GBEPk
　　安全边际率：
　　M/Sk=MSk/yk
　　其中yk需根据实际情况来选取，yk的选取原则是：
　　（1）若商品k供不应求，则考虑生产能力或行销能力的上限为yk。
　　（2）若商品k供大于求，则考虑取能销售量的期望为yk。
　　（3）若商品k供求差异不太大，则考虑取使利润的（或广义利润的）期望值达到最大的生产量或采购量为yk。
　　将上述三条原则用数学语言表述为：
　　其中 是生产量或行销量的上限。 是最佳生产量或采购量，
　　对于多品种的情况，可以根据几何直观构造出安全边际的一个模型：
　　它的几何解释是使广义利润的期望最大的决策点到盈亏平衡超曲面的距离。显然，最优解点 离盈亏平衡超曲面愈远，则经营的风险愈小，与之相应的安全边际率模型是：
　　一般情况下，还可以用更简便的模型代替上述多品种的安全边际和安全边际率模型。设 0，则
　　其中，
　　四、成败风险
　　评价一项决策的成功与失败总是有一定准则的。我们采用能否实现目标的可能性作为成功或失败的风险的定义，进而可以给出度量成败风险的模型：
　　P{h
　　其中h是随机变量，可以和决策X有关。G是决策者给出的目标值。我们可以提出一系列目标如目标利润、目标销售量、及目标成本等，都可通过这个模型来度量成败的可能性。
　　§4.5 时间机理分析与基本模型
　　经济活动无一例外地在一定时间与空间中进行。在经济实践中，对于同一数额的货币，总是现在收入优于将来收入。而现在支出劣于将来支出。所以时间因素对经济收益的评价是有影响的。对于我们所讨论的原型，从开始实施决策到决策完成大致分成四期：生产预备期、生产期、销售期和处理期。由于各种成本和销售收入是在不同时期发生的，不考虑时间因素就难以评价决策的优劣。另外，由于与时间有关的成本多为固定成本，故时间因素与品种选择的关系密切。　
　　西方经济实践中常用所谓时间价值(time Value)来调整不同时刻的收入或支出的价值。关于时间价值这个概念在西方也莫衷一是。例如管理会计学中认为：投资者进行投资就必须推迟消费，其耐心的报酬与推迟消费的时间成正比，单位时间（一般指一年）的这种报酬的投资的百分率称为时间价值。而凯恩斯等西方著名经济学家认为：时间价值的量很大程度上取决于流动偏好(Liquidity Prenference)，消费倾向(Propensity to Consume)等心理因素。还有人认为：时间价值是由物价上涨、风险和盈利能力等因素所形成的，弥补付款与收款的时间差的价值。马克思虽然没有定义时间价值，却精辟地指出所谓"耐心的报酬"就是剩余价值，而利润则是剩余价值的转化形态。马克思还科学地指出：在利润不断资本化条件下，资本积累应按复利方法计算。据此，有学者认为资本主义的时间价值是没有风险和通货膨胀条件下的社会平均资本利润率。[33]
　　时间价值是按复利方式计算的，所谓复利(Compound interest)方式指本金加上以前未支付的利息的计算方式。假设ｌ为计息年数；i为时间价值（年率），FV是终值(futune Value)，PV是现值(Present Value)，则有以下公式：
　　本利和模型：
　　FV=PV(1＋i)
　　贴现模型：
　　PV=FV/(1＋i)
　　本利和模型表示如果现值为PV，时间价值为i，则ｌ年后可以收到终值FV。贴现模型表示如果在ｌ年后收到终值FV，则可折合成现值PV。由于以上两个模型在实际应用中不方便，财会上一般使用复利系数表 )和贴现系数表 。
　　由于我们需要考虑任意时点的收入与支出的贴现问题，所以财会模型不能胜任，为此引入瞬时时间价值：
　　d= (1+i）
　　于是对任意时刻t30时，若终值为FV(t) ,则现值为：
　　同理，若现值为PV，则终值
　　我们沿用财会的习惯，称 和 分别为t时刻的贴现因子和复利因子。若收款或付款序列为：FV(tk), tk30,k=1,… ，则对任意的t30，折成t时刻的价值：
　　特别地：
　　V(0) =PV, V(t )=FV
　　如果支出或收入可以近似为连续流FV(t)，0￡T1￡t￡T2，则可得
　　类似地，如果我们以时刻ST为标准时刻则有
　　有了这些基本模型可以把成本和销售收入等各项收支用统一的时刻来讨论，一般说来，均匀连续流的处理比求和方便些，例如：若在（T1，T2）内的总销售额为SR，则其标准值模型为：
　　在上述模型中应注意时间量纲，例如当时间价值以年为单位时间时，可取1/365，1/12，1/4为转换因子则可把天、月、季度折成年，利用上述模型可以把不同时刻发生的收入和支出统一到标准时刻上来。
　　时间价值是客观存在的经济范畴，因此应当予以重视。我们认为可以考虑经济发展的速度(GDP增长率），结合银行信贷利率和本企业的盈利水平来确定时间价值。
　　§4.6 约束问题与基本模型
　　从事经济活动总会受到一定的限制。所谓寻找最佳的决策也是指在一定的客观条件下，在可行解中寻找最佳。一般约束主要有生产能量约束、购销能量约束等，我们在此给出最简单的模式。
　　在我们的模型里生产能量约束是指在正常条件下，可以投入或产出的数量。产出量指在一定的时间内，生产企业所能生产出的产品数量；投入量指在一定的时间内企业所能使用的直接劳动小时和投入原材料的数量。我们生产一个单位的产品K需要耗用数量为a ik的某种资源i（aik可以是负数，这时表示生产一个单位的产品k会有副产品aik），若资源i的生产能量为bi,则约束模型为：
　　ai1X1＋ai2X2＋…＋ainXn￡bi
　　购销能量约束则指在一定的市场环境下，一定的时期里，一定的行销努力下，可以购入和售出的能量。其中包括订货能量、包装能量、运输能量、存储能量、服务能量等等，与上相仿，假设约束仍是线性的。我们设约束集合为：
　　R={X|AX￡b, X30}
　　其中Amxn是技术经济系数矩阵，bmx1是资源限。应当指出其它类型的线性约束也可以化成上面的形式。例如，把国家的指导性计划作成约束模型，则可能是上限约束，下限约束或二者皆有的线性模型。这时经济解释有区别。　
　　§4.7 导出模型及模型的派生方式
　　导出模型是根据基本模型经过推导或证明得出数学模型。虽然导出模型的经济解释不如基本模型那样直观浅显，但理论层次和实用性方面都高于基本模型。我们假设：能销售量x1，…，xn是相互独立的连续型随机变量，其边缘密度和边缘分布分别为fk(·, Pk)和Fk(·,Pk)，且Exk和Dxk均存在。在此假设下，经过颇为复杂的推导及证明，我们可以得到下列模型：
　　（1）销售额的期望：
　　（2）销售额的方差：
　　（3）销售额的变异系数：
　　（4）销售额的熵值：
　　（5）实现目标销售额G1的可能性：
　　（6）过剩损失的期望：
　　（7）过剩损失的方差：
　　（8）过剩损失的变异系数：
　　（9）过剩损失的熵值：
　　（10）过剩损失不超过目标G2的可能性：
　　（11）缺货成本的期望：
　　（12）缺货成本的方差： （13）缺货成本的变异系数：
　　（14）缺货成本的熵值：
　　（15）缺货成本不超过G3的可能性：
　　（16）广义变动成本的期望：
　　（17）广义变动成本的方差：
　　（18）广义变动成本的变异系数：
　　（19）广义变动成本的熵值：
　　（20）广义变动成本不超过目标G4的可能性：
　　（21）创利额的期望：
　　（22）创利额的方差：
　　（23）创利额的变异系数：
　　（24）创利额的熵值：
　　（25）创现目标创利额G5的可能性：
　　（26）期望创利率：
　　（27）广义创利率的期望：
　　（28）广义创利额的方差：
　　（29）广义创利额的变异系数：
　　（30）广义创利额的熵值：
　　（31）实现广义目标创利额G6的可能性：
　　（32）广义创利率：
　　（33）广义成本的期望：
　　（34）广义成本的方差：
　　（35）广义成本的变异系数：
　　（36）广义成本的熵值：
　　（37）广义成本不超过目标G7的可能性：
　　（38）利润的期望：
　　（39）利润的方差：
　　（40）利润的变异系数：
　　（41）利润的熵值：
　　（42）实现目标利润G8的可能性：
　　（43）期望利润率：
　　（44）广义利润的期望：
　　（45）广义利润的方差：
　　（46）广义利润的变异系数：
　　（47）广义利润的熵值：
　　（48）实现目标广义利润额G9的可能性：
　　（49）广义利润率：
　　上述模型中，期望模型表示在决策Xk下该经济量的最合理的平均值；方差模型表示在决策Xk下该经济理的不确定性；变异系数表示在决策Xk下该经济量在期望附近摄 动的水平；熵值模型表示在决策Xk下该经济量的不肯定性；可能性模型则表示在决策Xk下该经济量实现或不超过目标的概率，由上述期望模型和Xk之比，可以得到平均（单位）经济量的模型。由上述期望模型的导数可以得到Xk点的边际经济量的模型。此外，还可以由广义利润的期望得出广义盈亏平衡点，并由致得出广义安全边际和广义安全边际率。与管理会计不同的是盈亏平衡点可能不唯一。
　　读者可能已注意到模型还没有考虑时间价值和税赋，我们现在给出考虑这两个因素的方式。对于前者，我们要求在收集成本信息时已将NC，JFC，SFCk，UVk等成本信息进行时间价值处理了。若销售期望初为BTk，销售期末为CTk，标准时刻为ST，则贴标准时的价格为 贴标准时的处理价格为 。对于后者，可先将税金分为两类：其一为固定税FTAXk，另一类为变动税VTAXk，把税看成是成本，则可完全套用上述模型。
　　至于多品种情况的模型，由概率论的知识可知：随机变量和的期望等于期望的和。故易得期望模型；随机变量相互独立时，随机变量和的方差等于方差的和，故易得方差模型；利用随机变量和的分布函数公式，可以得出可能性模型；利用随机变量相互独立时，联合密度等于边缘密度之积及对数的性质，易证随机变量和的熵等于熵的和，故易得熵的模型。鉴于多品种模型不难由单品种模型中导出，在此恕不赘述。　
　　第五章 运筹学模型
　　在第四章销售机理模型化过程的基础上，给出了多目标多指标模型的一般形式，并对单目标最优解的性质进行了分析，指出了各种经济量对数量决策的影响，此外研究了非线性共轭对偶理论的应用，并讨论了广义创利额的期望最优化模型。　
　　§5.1 多目标一多指标模型及单目标最优解的性质
　　多目标数学规划模型是经济分析中常用的一种模型，使用这种模型时，可以根据使用者的偏好在导出模型中选取目标函数。作者认为由于在多目标模型中目标数目愈多，计算愈复杂，因此应该精选较少的经济量来作为目标，把其余的经济量列为指标。这样既可以满足决策者多方面的愿望，又可以减小实现模型的难度。
　　多目标一多指标模型的一般形式为：
　　其中f(x)=(f1(x),…fp(x))T是目标向量函数，I(x)=(I1(x),…Iq(x))T是指标向量函数，R是变量约束集合。应当指出I(x)不参加优化，即调整权系数时对指标没有影响，但此时应参考指标来调整权系数。
　　下面我们考虑利用单目标模型来讨论最优解的经济解释。假设规划模型的形式为：
　　其中，
　　由Kuhn-Tucker定理，（GMC）有最优解的充分且必要的条件是存在 满足：
　　其中，
　　当A=0时，K-T条件变为：
　　显然，如果 是有限最优解，则对任一 有两种情况：
　　（1） =0
　　这时，必有Pk-UVCk+USCk￡0，其经济解释是单位变动成本高于单位价格加单位缺货损失。则以不生产为佳。
　　（2） 0
　　这时，必有 。由于分布函数是单调函数，所以当右端大于零且小于1时，反函数是存在的。而右端的经济解释是，当
　　Von Neumann(1947)将对偶概念引入线性规划后，由Gale Kuhn Tucker等精确和推广了对偶概念的表达形式。人们发现对偶理论不仅在数学上是完整的，而且有着深刻的经济背景。这一切激励着人们探索非线性规划的对偶理论，但直到六十年代后期凸规划的对偶理论才逐步形成，这方面的理论正日益受到人们的重视。
　　一般说来，非线性规划的数学性质与线性规划的性质相仿，而且线性规划的结果只是非线性规划的推论。下面按照所谓现代的方式，把非线性规划和其参数的微小摄 动相联系，用共轭映射诱导模型的对偶问题。这种方式既适于可行解和最优解的存在性和特征的研究，也适于研究最优解对于参数摄动的灵敏度。限于篇幅，我们只讨论在优化创利额中对偶理论的应用。
　　假设规划问题(GMC)：
　　max E{GMC(X,ξ)}
　　(GMC) s.t. AX￡b,X30
　　其中，目标函数为：
　　不难证明E{GMC(X,ξ)}是一个可微的凹函数。可行解集合：
　　R={X|AC￡b,C30}
　　我们将E{GMC(X,ξ)}拓广到En，得到新的凹函数：
　　我们在约束条件中引入摄动变量w、g，得到函数：
　　其中，w和g分别是m维和n维的向量。不难验证，规划问题(GMC)和下面的无约束规划问题等价，
　　（P4） max ?(x,0,0)
　　x?En
　　我们考虑?(C,w,g)的共轭函数?*（m,l,b)，它的变量与?的变量完全不同，即?*是另一空间（对偶空间）里的函数，其定义为：
　　其中m,l和b分别是n维，m维和n维的向量，由上式可得，
　　*(u,l,b)+?(x,w,g)￡uTx+lTw+bTg
　　取m=0,w=0和g=0，则有
　　(x,0,0)￡-?*(0,lb)
　　我们定义（P?）的对偶规划为：
　　可以证明以下结论：
　　（1）（P?）是求极大的凹规划。（D*?）是求极小的凸规划；（D*?）中没有（P?）的变量，反之亦然；（D*?）的对偶规划是（P?）。
　　（2）（P?）的目标值永远小或等于（D*?）的目标值；若（P4）的最优解存在，则（D*?）的最优解也存在，反之亦然；而且可以由对方的摄动函数的次梯度得出。如果其一的有限最优值存在，则另一个的最优值与之相等。
　　我们把具体的目标函数和约束代入共轭函数，就得到
　　我们以供不应求的情况为例，推导（GMC）的对偶规划。因为发生过剩概率为零，所以
　　E{GMC(x,ξ)}=(P-UVC)TX
　　其中，P=(P1,P2,…,Pn)T,UVC=(UVC1,UVC2,…,UVCn)T。代入上式，
　　于是，我们得到对偶规划
　　min-lTb
　　s.t. -ATl+b=P-UVC
　　l￡0
　　b￡0
　　取y=-l,则得到(GMC)的显式的对偶：
　　(DGMC) min yTb
　　s.t. ATy3P-UVC
　　y30
　　(GMC)的经济原型是如何最优地配置资源使企业获得最大的创利额，(DGMC)的原型是如何恰如份地评价资源使资源能充分利用。显然，这两个原型也是"对偶的"。我们知道，约束矩阵A的元素aij是技术经济系数，aij表示产出一个单位的商品j，需要耗用资源i的数量。因此，矩阵A的第j列表示产出一个单位的商品j所需要的各种资源的数量。于是，对偶规划（DGMC）中的约束：
　　ATy3P-UVC, y30, y=(y1,y2,…,ym)T
　　中的y可以视为m种资源的"价格"，对企业而言，每生产一个单位的商品j需付出"成本"：
　　不言而喻，这种所谓的"价格"和"成本"不是真实的市场价格和生产成本，国外一般称这种价格为影子价格(Shadow Price)，其有两层含意：一是在确定的资源配置下的机会成本。即影子价格是资源对经济收益的潜在贡献。二是为了优化产出的价值而对每一种生产能量所分配的价值。即在一种特殊情况下，赋予稀缺资源的单位经济价值。利用影子价格y计算出的商品j的单位成本称为隐含成本(imputed cost)。隐含成本也是一种机会成本。
　　从数学的角度看，如果(GMC)的某个资源约束是松的，则其相应的影子价格为零；即使此资源约束是紧的，其影子价格也会受其它约束的制约。更重要的是影子价格反映的是在约束向量b点的局部性质，因此，把(GMC)的对偶最优解 视为价格或成本时，应当慎重。例如，某种资源的价值不低，但由于企业的储备量比较充裕，则会把它的价值估得很低，甚至认为其价值为零，这显然是不合理的。此外，只用m种资源的利用情况估算产品的成本也是不够全面的。
　　对偶最优解y的经济解释还可以从数学推导中得到启发。如果我们把(GMC)的第i个资源量bi改为bi+1（其余不变），则得到一个新的规划(GMC')，后者的最优值和前者的最优值之差恰好是(DGMC)的最优解 的第i个分量 i。这个有趣的事实可以解释为：在资源约束AX￡b和单位获利能力(P-UVC)之下，如果增加一个单位的资源i，则会获得数量为 i的创利额。根据这种观点，(GMC)的对偶最优解 就是资源的边际贡献。虽然人们看待对偶最优解的方式可能不同，但在分析是否应当供应或减少某种资源时，考虑它还是有益处的。
　　非线性的经济解释与线性的有相仿之处。区别在于有关理论的层次高于线性规划。为了能稍深入地讨论问题，我们引入摄动函数的概念和稳定的概念，假设
　　原有摄动函数：
　　对偶摄动函数：
　　可以证明，F是正常凹函数。我们称(GMC)是稳定的。如果次梯度合理JF(0,0)是非空集合。稳定的含意是 有限且摄动函数F(w,g)在零点不会无限地增大，或(GMC)的最优值是-￥。由非线性规划的对偶理论有以下结论[2]:
　　（1）?*(0,l,b)=F*(l,b)
　　（2）设F(0,0)有限，则规划 有最优解 ，且
　　的充要条件是(P?)是稳定的。此外， 是摄动函数 在零点的次梯度的充要条件是上式成立。
　　（3）若 是闭正常凹函数，则
　　（4）若?是闭正常凹函数，且设j（0）有限，则规划（P?）有最优解 ，且
　　（5）若?是闭正常凹函数，则（P?）是稳定的且有最优解 的充要条件为 是稳定的且有最优解 。
　　根据上述结论和前面对于对偶最优解的经济讨论，我们引入一个新的数学概念一一拟对偶最优解，其定义为：
　　yi(di)=[M(b+di×ei)-M(b)]/di
　　其中di是一正数，ei是m维向量，其第i个分量是1，其余为0。M(·)是一极值映射，定义为：M(b)=sup{E{GMC(x,ξ)}|Ax￡b,x30}。一般说来di愈小,yi(di)就愈接近对偶最优解。显然，拟对偶最优解表示创利额关于资源的变动率。由此看出，对偶最优解 和bi的乘积恰好是在决策为 时创利额在资源b点关于bi的弹性。至此，我们运用共轭对偶理论分析了创利额的经济模型，并给出了一些经济解释。
　　勿须讳言，非线性规划理论在经济中的应用是有限的，其原因之一是太数学化。我们引入拟对偶解的目的在于增加对偶理论的实用性。需要指出，拉格朗日乘子常和对偶最优解是一致的。因此，可以通过Kuhn-Tucker条件去求对偶最优解。不过这经常是困难的。　
　　第六章 经济控制论模型
　　§6.1 系统论方法
　　一、基本思想
　　十九世纪的科学发展的突出特点是摒弃了目的范畴；致力于把数学方法与实验方法结合起来；并以还原论作为方法论。虽然近代科学在研究简单系统的物质运动方面取得了成功，但是面对复杂系统提出的诸多问题仍然束手无策。一般系统论的创立，正是在这种背景下应运而生的。系统论的特点在于用系统的观点去看待世界，其研究对象是复杂系统。
　　系统论和物理主义的区别是什么呢？从方法论的角度看有三个重要不同点：
　　1）思辩原则代替实验原则
　　物理主义认为，自然科学可以分成经验（实验）和理论（数学）两个部分，但系统论却使之彻底改观。今天，在分析和研究复杂系统时，实验员被在计算机上模拟系统的数学家代替，理论家则被精通被研究对象并能解释计算机实验结果的经验家代替。我们需要这类思辩实验并非由于实验设备不完善，而是由于被研究对象是复杂系统。对整个复杂系统进行经典意义下的实验，无疑是荒诞的。例如，社会经济系统在时空上不断变化，结构又极其错综松散，因此难以进行全面的模拟。
　　2）整体论代替还原论
　　物理主义的基本原则之一是还原论。即在研究整体时先将整体分解成若干部分，然后研究诸部分的性质，再从中可以确定整体的性质。然而复杂系统与简单系统的一个重要的区别就在于，它不遵从还原论。例如，即使我们熟知每个社会基本单位一一家庭的结构，也不能解释社会行为和伦理。　
　　3）目的论代替因果论
　　物理主义建立在自然定律的基础上。其因果定律源于对简单系统的大量实验，并通常珍述成简单的数学形式。因而欲推翻某一定律，只须做出一个不符合该定律的实验即可。但是复杂系统却不一样，它的许多特性是相互关联的，因而反映系统个别特性的模型可能与系统本身不相容。
　　那么，什么是系统的定律呢？目的论的答案只有在对复杂系统有关目的性的行为作出假定后，才有可能对其特性进行简单的解释，乃至得到用数学形式表达的定律。
　　二、基本概念
　　下面我们对系统论的基本概念作一个描述性的说明。在"系统"一词被通俗化的今天，尤其有这个必要。需要说明的是，我们与其说是在形式化的定义，还不如说是解释性的定义。
　　首先，系统指的是由相互作用的和相互依赖的若干组成部分结合而成的具有特定功能的有机整体。由于客观世界的层次结构，某个系统本身是它所从属的一个更大的系统的组成部分，同时，该系统本身又具有自己的诸要素的体系。系统是由结构和行为来决定的。对系统学来说，结构和行为就象物理学中的空间和时间一样，是一种极为基础的概念。在系统论里，系统的行为理解为系统随时间的动作，而系统的结构则理解为对系统要素间的联系在时间上不变的规定。系统结构随时间的变化可看作是系统的演化。系统结构可划分成两种：形式结构和非形式结构。形式结构指的是直接把位于下一层次水平上的系统看作不可分割的要素。非形式结构指的则是?quot;原始"要素作为系统的要素。显然，系统结构是一个相对性的概念。因此，在系统结构概念基础上定义"复杂系统"是非常困难的，有时甚至是不可能的。由于这个缘故，有时尽力避开系统结构这个概念，而利用系统行为这个概念。凭直觉可以看出，系统行为的复杂性的增加（至少要到个体这个水平）是与系统非形式结构复杂性的增加联系在一起的。因此我们可以用系统行为的复杂性来确定系统的复杂性。　
　　为了阐明"复杂系统"这个概念，我们先定义"决策行动"。决策行动指的是选择备选方案，其中也包括利用随机机制进行选择（就是说，这时完全不必是理智选择）。当系统的行为本来就是决策行动时，这样的系统就叫做决策系统。如果系统中至少有一个决策系统作为子系统，则该系统就称为复杂系统。不具备决策行动的系统，就称为简单系统。特别地，决策系统本身就是复杂系统。我们隐含地认为：一切系统力图达到对它来说的最佳状态。这就称为系统的趋的行动，并称这个状态为系统的目的。而只有复杂系统才具有目的。
　　其次，我们结合系统论对模型作一个回顾。按系统属性，系统可划分成物质系统和符号系统。符号系统在某种程度上能够反映物质系统。符号系统可称为系统的符号模型。非符号模型（物质系统在同一物质系统中的反映）叫做类比模型。由于在系统学中往往只讨论符号模型，因此就把符号模型简称为模型。系统学不仅研究现有物质系统的模型，还研究现实物理世界中可实现系统的模型（可实现模型）。此外，为了解释和（或）预测复杂系统的结构和（或）行为，在观测误差的范围内往往可能建立起来几个模型。　
　　再次，对于许多类型的系统来说，关于规律或多或少具有普遍性这个观点是与其适用的范围联系在一起的。物理主义发现的还只是自然界中简单的普遍自然定律，其原因就在于，它所研究的简单系统的诸性质在实际上是相互独立的。因此，简单系统的这些单独性质的仿真模型与简单系统本身是完全相符的。
　　复杂系统与简单系统不一样，它具有本质上联系的众多性质。所以，复杂系统单个性质的仿真模型与复杂系统是不完全相符的。复杂系统的众多性质的仿真模型是非常复杂的，而且缺乏一般性。
　　那么，怎样理解复杂系统的规律呢？这里，我们需要讨论一下解释和预测这两个概念以及它们与理论和实验的关系，在系统学里，这是需要予以重新陈述的。这是因为，如果复杂系统与它的仿真模型相符合的程度越高，即模型的复杂程度越接近原型，则对系统进行预测的准确性越高，而解释的质量却越低。在许多情况下，解释的概念在系统学中与在物理主义中不同，有着另外的含义。事实上，物理主义遵循还原论，它是依据尽可能低的系统水平（直到原子、粒子）上的现象来解释某个系统水平上的现象。与此不同，系统学解释现象的基本原则是下面将要阐述的一步递推原则。
　　物理主义赋于预测以传统的含义，就是由物理定律来预先确定系统的未来行为或某未来行为发生的概率。系统学里则是利用计算机仿真来实现预测实验，其实验就是在比现实世界中快得多的机器时间的进程中进行各种状态?quot;抽签"。为了预测复杂系统的行为，在计算机仿真的同时还利用半直觉的专家方法（人一机对话），这就在某种程度上复活了古代特尔斐预言家的实践活动。
　　三、系统学的若干基本原则
　　1、层次组织原则
　　我们所知道的这部分世界里存在着逐渐产生并相互作用着的三个层次，这就是自然产生的物理生物层次、社会层次以及人工产生的技术层次。无论是自然系统还是人工系统，层次组织原则均能使它们处于隶属的地位。例如对物理生物层次来说，其层次水平大致是：原子一分子一细胞一个体一群体一种群一生物群落一生物圈。每当上升到高一极的层次水平时，位于下一极水平上的系统就成为上一级水平系统的要素。层次组织原则在系统学中得到了广泛的应用。　
　　2、系统行为复杂化原则
　　系统行为复杂化原则中目前从经验上已发现的一些原则如下：
　　（1）物质能量平衡原则（基于守恒定律）；
　　（2）稳态原则（基于反馈概念）；
　　（3）决策选择原则（基于归纳行为）；
　　（4）前景积极性原则或未来需要原则（预适应，超前反应）；
　　（5）反射原则（超前反映）。
　　必须指出的是，在某个水平的系统中首先发现的行为原则，对更高复杂性水平的系统来说都是成立的。但是，对于某一个水平系统的行为原则而言，其中起决定作用的仍然应该是在这个水平系统中首先发现的原则。例如，最低水平的系统所固有的物质能量平衡原则对所有系统直到高度复杂的系统都是成立的。但是，这个原则仅只对最简单的系统才是决定性的。
　　3、反直觉行为原则
　　有不少学者注意到这个原则，它可以陈述如下：仅仅根据固有经验和直觉来给出相当长时期内关于复杂系统行为的满意预测实际上是不可能的。我们的直觉是在与简单系统打交道的过程中培养起来的，而简单系统中各要素的联系总是能够弄清楚的。复杂系统行为的反直觉性就在于，它对作用的反应同我们直觉上期待的结果比较起来完全是另外一回事。
　　4、极小极大建模原则
　　对于复杂性不断增加的系统来说，其理论仍然应该由最简单的模型来构成。最简单模型中的每一个模型哪怕是在极小程度上（极小）都应该反映出复杂性水平不断增加的（极大）系统行为。换句话说，模型的形式上的复杂性（例如，描述模型的方程数目）不应对应于系统的非形式上的复杂性（系统行为的复杂性）。
　　由这条原则可以得到一个推论：较复杂系统的粗糙模型与较简单系统的较精确模型比较起来可能还要简单些。这在系统学中引起乐观。
　　因此，为了建立系统（其中包括复杂系统）的理论模型，就需要前述的系统行为复杂化原则的知识。
　　必须指出的是，这条原则仅提出了要求，除了要援引系统行为复杂化原则作为建立理论的简单模型之外，并没有任何具体的构造性建议。
　　5、不相容原则
　　根据近代科学中养成的习惯，对现象的理解与对现象作定量分析的可能性是等价的。对于这种可能性，不相容原则增添了限制：对现实系统分析得越深入，那么关于系统行为的判断就确定得越少。
　　6、定律形成原则
　　与物理主义不同，系统学完全是在另外的一种逻辑基础上建立复杂系统的定律的：先假定可实现模型，从其中用定理的形式引出复杂系统定律。
　　推论6-1 定律涉及现有的或未来的自然系统和人工系统。定律能够解释自然系统的结构和行为，并指导建立人工系统。
　　推论6-2 任何现象都不能推翻或者证实具有演绎性质的系统学定律。
　　这个断言应该这样来理解。对现实复杂系统的实验与定律之间不一致，仅仅说明现实系统与用来导出定律的那个模型类别不一致，并不是说定律被驳倒。另一方面，即使实验与定律一致，也无论如何不能把它与定律的证实联系在一起。这种一致只说明，关于现实系统与用来导出定律的那个模型类别相一性的假定没有被推翻，可以继续用作假定。
　　根据这条原则，理论是由用数学模型的形式表述的假说构成的。由这种数学模型导出的理论（定律），应有可能将其中的部分结果与所研究原型的某些宜于试验的特性加以对比。另一部分结果可用来对原型的相应特性进行理论预测。对于独一无二的复杂系统，只有它们的非整体特性才能与理论进行对比。预测的可信程度取决于理论与容许试验确定的特性之间相符合的程度。
　　§6.2 一个宏观经济系统的最优控制模型
　　经济现象或经济过程都可以看作由若干相互作用相互依赖的经济要素组合而成的复杂系统。这里要介绍的就是一个运用系统论和控制论研究宏观经济系统的案例。美国人平代克(R.S. Pindyck)在对美国经济运行系统分析的基础上，于1971年构造并提出了一个小型美国的宏观经济模型，在模型上成功的进行了最优稳定政策控制实验，具体研究了财政政策、货币政策对美国经济的影响和作用。
　　一、 建模构想和模型结构
　　为了使仿真模型能够较好地拟合现实系统又便于进行政策"试验"，平代克构模时的原则是：
　　1.在系统分析的基础上合理地确定宏观经济变量数量并认真筛选基本宏观经济变量，掌握好模型的变量与规模。
　　2.采用通行的经济理论为指导，使结构更为合理，减少争议。
　　3.对于经济变量之间的非线性关系和时滞问题进行必要调整或技术处理，使模型最终化为完全线性化的动态差分方程。
　　4.充分利用已有历史数据和先进的统计计量方法，使模型参数与历史值尽可能地拟合。
　　平代克模型最终形式是一个季度经济计量模型，模型选用10个基本经济变量作为内生变量和系统的状态变量，并以凯恩斯经济理论为基础构造各经济变量之间的关系和模型结构，模型的参数设定采用了美国1955到1968年"现代商业资料"提供数据和自回归变换协同最小二乘法。
　　设状态变量
　　x1(k)=C(k) 个人消费 单位：10亿美元
　　x2(k)=INR(k) 非住宅投资 单位：10亿美元
　　x3(k)=IR(k) 住宅投资 单位：10亿美元
　　x4(k)=IIN(k) 商业库存变动 单位：10亿美元
　　x5(k)=R(k) 短期利率 单位：百分数
　　x6(k)=RL(k) 长期利率 单位：百分数
　　x7(k)=P(k) 物价水平 单位：1958年水平=100
　　x8(k)= UR(k) 失业率 单位：百分数
　　x9(k)=W(k) 小时工资 单位：美元
　　x10(k)=YD(k) 纳税后的可支配收入 单位：10亿美元
　　政策-控制(外生)变量
　　u1(k)=TO(k) 附加税 单位：10亿美元
　　u2(k)=G(k) 政府支出 单位：10亿美元
　　u3(k)=DM(k) 在一个季度货币供应的变化 单位：10亿美元
　　其他外生变量
　　z1(k)=1.0 对所有K均为常数
　　z2(k)=YDP 潜在国民收入
　　平代克经济计量模型可表为：
　　x1(k)=-2.368x7 (k)+0.415x10 (k)+0.7596x1 (k-1)+2.368x7(k-1)+8.174x9(k-1)
　　-0.282x10(k-1)+5.299z1(k-1)
　　x2(k)=0.157x10(k)+1.336x2(k-1)-0.157x10(k-1)-0.344x2(k-2)-1.356x6(k-5)
　　+1.356x6(k-6)+0.044x10(k-3)-0.044x10(k-4)
　　x3(k)=0.0127x10(k)+0.603x3(k-1)-0.55x5(k-2)-0.55x5(k-3)-0.465x10(k-5)+6.65-
　　2.462z1(k-1)
　　x4(k)=-0.60x1(k)+0.4763x10(k)+0.422x4(k-1)+0.60x1(k-1)-0.465x10(k-5)-
　　2.462z1(k-1)
　　x5(k)=0.479x7(k)+0.0415x10(k)+0.375x5(k-1)-0.479x7(k-1)-0.0344x10(k-1)-
　　0.165u3(k-1)-0.1473z1(k)
　　x6(k)=0.06x5(k)+0.0055x10(k)+0.871x6(k-1)-0.0055x10(k-4)+0.313z1(k-1)
　　x7(k)=-0.0156x10(k)+0.804x7(k-1)+6.28x9(k-1)+0.0195x10(k-1)-0.033x4(k-2)
　　+14.55z1(k-1)-0.0195z2(k-1)
　　x8(k)=-0.00043x10(k)+0.805x8(k-1)+0.0024x9(k-1)-0.00003x10(k-1)
　　+0.00032x10(k-5)+0.0065z1(k-1)+0.00014z2(k-1)
　　x9(k)=0.0012x10(k)+0.627x9(k-1)-0.0001x10(k-1)+0.011x7(k-3)-0.828x8(k-4)
　　x10(k)=0.85x1(k)+0.85x2(k)+0.85x3(k)+0.85x4(k)-u1(k-1)+0.85u2(k-1)
　　将模型在计算机上对1955年第一季度到1969年第四季度期间美国经济进行模拟试验，这时政策变量中政府费用和货币供应均取历史值，附加税收取零。结果表明：消费、价格水平、工资率、变动曲线与历史曲线十分拟合，非住宅投资、短、长期利率轨线也与实际拟合较好，住宅投资、库存投资和失业率则拟合较差，问题主要是在设定库存投资方程时，为了稳定模型，采用了YD和C两个季度差分，需要加以改进。
　　二、 模型的最优稳定政策试验
　　1. 最优控制模型
　　为了使最优稳定政策试验时能直接应用最优控制理论的有关结果，需要对模型作进一步的调整：
　　引入新的状态变量即附加变量来替代时滞超过一个周期的变量，将动态方程化为状态空间形式：
　　X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
　　其中X(k)为28维状态向量，前10个分量为已定义的基本经济变量，其余均为附加变量。U(k)为3维控制向量即政策向量，Z(k)为2维外生变量，分别为YDP（潜在可支配收入）和常数1。A、B、C分别为28′28，28′3，28′2的矩阵，均可以在方程整理过程中推出。
　　进行优化设计，确定价值函数的形式：
　　其中 （t=0，1，…，N）表示第t季度的状态向量实际值
　　（t=0，1，…，N）表示第t季度的状态向量的标准值，即理想值
　　q 为28′28的半正定对角矩阵，其对角线元素为对应各经济分量偏离标准轨 线的罚数，也称价值参数，其值大小也体现了政策试验的目标，附加向量对应位置取零
　　R 为3′3的正定对角矩阵，其对角线元素为各控制变量偏离标准轨线的罚数，也称为价值参数，其值大小也表明试验采用了什么政策手段
　　确定模型的初值x0和各标准值（标准轨线）。本例中，初值被定为美国1957年第一季度各经济量的历史值，状态变量和政策变量的标准轨线分别由表1和表2给出。外生变量中，将潜在可支配收入的趋向界限定为可能的国民生产总值GDP的85%，另一外生变量为常数1。
　　表1
　　状态变量 标准值取值
　　从初值起每年增长4%从初值起每年增长6%从初值起每年增长6%从初值起每年增长4%取初值3.1%取初值3.3%从初值起每年增长2%取常数2%从初值起每年增长6%从初值起每年增长4%
　　表2
　　政策变量 标准值取值
　　0从1956年第四季度实际值开始每年增长4%从初值开始每季增加＄14亿，而每年增长4%
　　最优控制问题最终可表述为：
　　在状态方程
　　X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
　　及初始值条件x(0)=x0的约束下，求解最优控制序列
　　使目标函数
　　取最小值。
　　由于目标函数为二次的，该最优控制模型也称为线性二次型问题，简称LQ(Linenr-Quadratic)问题。最优控制序列可以用动态规划方法求解，并在计算机上实现，结果将是状态的线性反馈形式。
　　2. 最优稳定政策试验
　　下面将进行多种形式的最优稳定政策试验。每次试验方案都是通过对价值函数中矩阵q和R的对角线元素的设定中体现出来。
　　试验1 价值函数定义如下：
　　C INR IR IIN R RL P UR W YD
　　q 1 6 15 0 0 0 6 4′106 0 0
　　TO G DM
　　R 6 3 300
　　定义表明：试验主要通过财政政策手段G讨论对YD，W，IIN等各种经济变量作用与影响。
　　结果显示：消费、非住宅投资、住宅投资和可支配国民收入全部运行结果比标准轨线升高。 失业率下降大约3%，表明使失业率下降的唯一途径是增加GNP。而且高消费、高投资与低失业率一致。与此同时，约有5%的通货膨胀率，工资增长率达8-12%之间。迅速上升的GNP促使货币需求上升，从而导致利率上升，由模型得到最优政策也主要体现在财政手段上，政府费用平均高于标准值60亿美元上下，货币供应略有上升，变化幅度在15亿美元左右。
　　试验2 价值函数定义如下：
　　C INR IR IIN R RL P UR W YD
　　q 1 6 15 0 0 0 0 4′106 0 0
　　TO G DM
　　R 60 3 15
　　定义表明：试验将货币政策作为达到上次试验相同目标的手段，与附加税对应的价值参数增加了10倍。
　　结果显示：可支配国民收入再次上升超过标准线，失业率也下降大约3%，价格以每年5%的通货膨胀率迅速上升。这次运行与上次试验区别在于在政府费用大小与前期相当、附加税为负的情况下，最优政策可认为是货币供应有意义的扩充，幅度达到20亿美元/季，利率上升幅度不大。
　　试验3 价值函数定义为
　　C INR IR IIN R RL P UR W YD
　　q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000
　　TO G DM
　　R 10000 3 30000
　　定义表明：试验用一个控制变量来迫使一个内生变量保持在标准轨线的情况。
　　结果显示：可支配国民收入几乎正好确定在标准轨线上，此时政府费用在计划期大多时间里只略高于标准轨线，说明要达到目的并不需要采用极度的财政政策。当政府费用和可支配收入标准轨线建立在每年4%的增加率的基础上时与实际经济活动相符，这时失业率大多数情况下保持在4.5%的水平。同时经济将经历4-4.5%通货膨胀率。
　　试验4 价格函数定义为
　　C INR IR IIN R RL P UR W YD
　　q 0 0 0 0 0 0 120 4′106 0 0
　　TO G DM
　　R 10000 3 300
　　定义表明：试验企图同时用财政和货币政策了解适当的通货膨胀率和较低失业率之间转换关系。其中附加税收参数设置取很高的值，目的是将其分解出来，将政府费用作为单一的财政政策手段。
　　结果显示：可支配国民收入呈着上升达每年6%。失业率下降，在计划期最后一年达到2%。价格水平增长很快，通货膨胀率达5.5%，尽管此时货币供应增长比标准情况要高，但可支配国内收入增加主要是政府费用增加的结果。
　　此次试验中价值函数中通货膨胀价值参数2倍于高失业率的价值参数，但结果仍是低失业率。高通货膨胀的价格水平的增长率是由于初始的GNP和工资率触发的，要使通货膨胀率回降，应采用更为激烈的财政政策，致使相当长时间里产生高失业率。模型试验表明要在相当长的时间周期里达到低失业率要比达到较低通货膨胀率更容易。　
　　类似地利用最优控制模型还可做更多的政策试验，尽管该模型是一个容量很小而且大大简化的宏观经济模型，但仍然可以帮助我们了解到一个极为复杂的宏观经济系统运行过程中的动态行为特征，并提供了有关稳定政策的许多有益的启示。
　　第七章 计量经济模型分析
　　本章主要阐述计量经济模型的整个建模过程，计量经济模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，最后收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法(OLS ：Ordinary Least Squares)，然后指出在实证分析中运用OLS估计时应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。
　　§7.1 经济模型的最小二乘估计
　　一﹑OLS估计及其性质
　　经济变量之间的关系通过数学化的函数来表示，就形成了经济模型。根据观察到的数据对给出的函数关系进行统计分析的方法称为回归分析。假设根据经济理论，变量Yt依赖于k个变量Xit (i =1,2,…k),且Yt和Xit 之间有如下的线性关系成立
　　Yt =b1X1t ＋b2X2t ＋…＋bkXkt ＋ut t=1,2,…,n (1)
　　例如上述模型中Yt 可以看成货币需求而把Xit 看成GNP、利率、汇率、通货膨胀率。模型中Yt、Xit 分别称为被解释变量和解释变量。另外模型（1）中包含随机误差项ut，简而言之,ut被认为对于Yt的变化Xit不能解释的微小变动的全部，或者说没有在模型中明确表示的所有影响Yt因素的总和。如果ut=0，Yt成为Xit的线性函数，但是Yt一般同随机误差项ut有关，由于ut是未知回归平面同观测值Yt的差，实际上我们无法得到ut的真正数据，即使这样它在模型中起的作用是任何其它变量所不能替代的，可以说随机误差项的引进才使得经济模型的识别成为了可能。回归分析是指根据观察数据，求得模型中参数bi的估计值，同时检验Yt和Xit的关系是否的确如（1）所假设线性关系的整个过程。
　　考虑未知参数的函数
　　求出参数(b1,b2…bk)的估计量(b1,b2…bk)使上述函数|(b1,b2…bk)达到最小值的方法称为最小二乘方法。本章中设X1t =1,主要是为了考虑包括常数项的模型。如果引进向量和矩阵符号可以把（1）写成矩阵表达形式。
　　Y=Xb＋U (3)
　　其中Y=(Y1,Y2,…Yn)T
　　b=(b1,b2,…bk)T
　　U=(u1,u2,…un)T
　　平方和的函数形式（2）变成向量的内积形式
　　|(b)=(Y－Xb)T(Y－Xb) (4)
　　根据矩阵函数的求导法则和微分学中求极值的方法可知，要使（4）达到极小值，参数的估计量应满足条件：
　　即
　　XTXb=XTY
　　容易得到
　　b=(XTX)-1XTY
　　b称为b的最小二乘估计， =Xb称为估计回归平面，注意到为求出OLS估计用到了(XTX)-1存在的条件。为了使OLS估计b具有统计上一些重要的性质，对于模型（3）有必要做出如下的假定：
　　1）误差项ut的期望为0，即E(ut)=0 (t=1,2,…n)
　　2）不同时点的误差项之间不相关，即E(utus)=0 (t1s,t,s=1,2, …n)
　　3）ut的方差和t无关，即Var(ut)=s2 (t=1,2,…n)
　　4）Xit为确定性变量，即E(Xitut)=0
　　5）由X的列向量构成的向量组线性无关，即r(X)=k
　　6）ut服从正态分布，即ut∽N(0,s2) (t=1,2,…n)
　　由于b－b = (XTX)-1XTY－b
　　= (XTX)-1XT(Xb＋U)－b
　　= (XTX)-1XTU
　　在上述条件成立的前提下，容易求出b的期望为
　　E(b)=b
　　b的协方差矩阵为
　　Var(b)=E[(b－b)(b-b)T]
　　=(XTX)-1XTE(UUT)X(XTX)-1
　　=(XTX)-1s2
　　同时最小二乘估计量给出参数的最优线性无偏估计(best linear unbiased estmators:略为blue)，即在所有可能的线性无偏估计的集合之中b具有最小协方差矩阵（半正定的意义上）。在这里需要读者留意的是在证明b的blue性质时，并不需要ut关于正态分布的假定6），只有在对模型的参数进行检验时，才用到此条假设。关于OLS估计的最小方差性的证明，可以查阅参考文献[41]。我们称满足假定1）－5）条件的模型为"标准线性回归模型"，加上假定6）时将回归模型称为"标准线性正态回归模型"。
　　OLS估计的残差向量定义为：
　　=Y-Xb = e =(e1, e2,…, en )T
　　其中 et = (t=1,2,…,n)， 为Yt的估计值。从残差的定义可知它不同于误差。二者区别在于前者是估计回归平面同观察值高度的差，而后者是未知回归平面同观察值高度的差。由于
　　e=Y－Xb=Y－X(XTX)-1XTY=[I－X(XTX)-1XT]Y
　　=[I－X(XTX)-1XT](Xb＋U)
　　=[I－X(XTX)-1XT]U=MU
　　残差在形式上可以理解为误差项ut的一种估计。利用公式
　　E(UTAU)=s2tr(A)
　　其中tr表示矩阵的迹，A为n×n矩阵，U为模型（3）中的误差向量。有
　　E(eTe)=E(UTMU)=s2(n－k)
　　故ut的方差s2的无偏估计由残差平方和除以它的自由度给出，即 。其平方根S称为回归模型的标准差。利用残差向量和估计回归平面垂直的性质可以把总离差平方和 (total sum of squares:TSS)分解为可解释平方和 (explaned sum of squares:ESS)，残差平方和eTe (residual sum of squares:RSS)两部分。即
　　eTe (5)
　　亦可以写成TSS=ESS＋RSS。（5）中 为Y的平均值，即 ， 为Yt的估计值。（5）的分解只对于包含常数项的回归模型成立。
　　作为说明线性回归模型解释能力大小的一个指标量决定系数(coeffcient of determination)定义为：
　　(6)
　　R2表示被解释变量观察值的总变动之中解释变量所能解释部分的百分比，显然有0￡R2￡1，如果R2=0表明模型的解释能力为0，如果R2=1表明模型的解释能力为100%。当解释变量只有一个X时（模型中包含常数项），决定系数R2和Y与X的样本相关系数的平方相等。由（6）定义的R2可以看出随着解释变量个数的追加，其值增大，即使追加的解释变量对于模型没有太大的解释能力，最终仍能使R2变成1。为了对这一点进行修正，在实证分析中经常使用自由度调整后的决定系数；其定义为
　　(7)
　　其中(n-k)是残差平方和RSS的自由度，(n-1)为Yt样本方差的自由度，比较R2和 ，前者当模型中追加新的解释变量时，由于RSS不会增加（一般情况下RSS变小），故前者决不会减少，而后者当解释变量的个数增加时有减少的可能。 和R2的关系由下面的（8）式给出：
　　(8)
　　通常有(n-k)
　　二﹑OLS估计的分布性质
　　由于
　　b-b=(XTX)-1XTU
　　即b为U的线性函数，在U服从多元正态分布的假定下，由正态分布的性质，b亦为正态分布，即
　　b～N(b,(XTX)-1s2)，
　　显然有bi～N(bi,aiis2)，其中aii为(XTX)-1中主对角线上第i个元素。由数理统计学的知识可以证明统计量 在假设H0：bi=0的前提下，服从自由度为(n-k)的t分布。这里 。bi=0假设含义是模型中解释变量Xi对于Yt的解释能力为0，如果"bi=0"被拒绝的话，则可以得出Xi是决定Yt的主要因素之一这一积极的结论。实证分析中经常运用的检验统计量除去对单个系数进行检验的t统计量之外，还有对系数总体进行检验的F统计量。其定义如下：
　　(9)
　　上述统计量在假设H0：b2=b3=…=bk=0的前提下服从自由度为(k-1,n-k)的F分布，此假设的含义是：模型中除常数项外所有解释变量Xi对于Yt没有任何影响。
　　如果把决定系数
　　代入F，可以得到F的另一个表现形式
　　(10)
　　我们知道R2是判断模型拟合程度的一个尺度，而F统计量是在统计上评价给出模型的合理性重要的统计量之一。
　　三﹑OLS估计的应用
　　我们考虑以下的宏观消费函数（中国城镇居民的消费函数）
　　Ct = b1+b2(Y/CP)t + ut t = 1,2,……,n (11)
　　其中， C：城市家庭商品性支出（不变价）；
　　Y：城市家庭可支配收入（现价）；
　　CP：城镇居民消费物价指数（1990年=100）
　　消费函数(11)主要考虑实际可支配收入Y/CP决定实际消费支出C。模型(11)称为绝对收入学说下的消费函数。表7.1是城市家庭商品性支出、城市家庭可支配收入、城镇居民消费物价指数的年度数据。
　　表7.1 城市家庭商品性支出、可支配收入、消费物价指数年度数据
　　年度 C Y CP
　　1978 1479.91 705.31 45.05
　　1979 1624.62 801.63 45.90
　　1980 1804.14 945.56 49.32
　　1981 1925.80 1009.36 50.54
　　1982 2020.96 1149.87 51.53
　　1983 2128.78 1276.03 52.57
　　1984 2386.22 1585.41 54.01
　　1985 2758.48 1879.34 60.45
　　1986 3038.03 2399.20 64.68
　　1987 3313.10 2801.16 70.36
　　1988 3721.47 3416.74 84.91
　　1989 3649.69 4099.59 98.74
　　1990 3984.10 4597.46 100.00
　　1991 4449.61 5232.32 105.09
　　1992 5158.75 6576.47 114.14
　　1993 5897.37 8615.10 132.52
　　1994 6481.59 12013.27 165.68
　　1995 7325.36 15082.93 193.51
　　1996 7744.04 17416.98 210.54
　　1997 7894.81 19086.32 220.54
　　资料来源：国家信息中心预测部
　　消费函数（11）的估计结果由下面的（12）式给出：
　　C=-113.5 + 0.9252Y/CP (12)
　　(-1.47) (58.8)
　　R2=0.995 S=157 F(1,18)=3459 DW=1.25
　　括号中的数字为t估计值。Brown考虑过去收入对本期消费的影响后，提出如下形式的消费模型：
　　Ct = a+b0Yt+b1Yt-1+b2Yt-2+ …… (13)
　　其中，C：消费支出
　　Y：可支配收入
　　过去收入对消费的影响程度可以假定为随着时间的推移，以几何级数形式减少，即
　　bi = b(1-l)li， 0
　　显然有b0 b1b2 ……，这表明距离现在越近，影响也就越大。把bi代入(13)式，得出
　　Ct =a+b(1-l) Yt+b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (14)
　　用l乘次Ct-1可得
　　l Ct-1=la + b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (15)
　　(14)-(15)给出
　　Ct -l Ct-1 = a (1-l)+b(1-l) Yt (16)
　　即
　　Ct=a (1-l)+b(1-l) Yt+l Ct-1 (17)
　　Brown消费函数本质上是考虑了消费习惯影响到本期的消费，从模型中可以看出，短期MPC（边际消费倾向）为b(1-l)，长期MPC为b。
　　利用表9.1的数据，Brown消费函数的估计结果由下面的(18)式给出
　　C=-74.38+0.6095Y/CP+0.3706C(-1) (18)
　　(-1.02) (5.44) (2.88)
　　R2=0.997 S=131 F(2,16)=2291 DW=1.78
　　如果考虑在Brown消费模型的基础上在增加一个解释变量实际储蓄存款利率（一年期利率），我们得到以下结果：
　　C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) - 9.683R - 295.4D1 (19)
　　(-0.125) (4.29) (3.95) (-1.73) (-2.18)
　　R2=0.997 S=118 F(4,14)=1427 DW=1.76
　　(19) 式中的变量D1称为虚拟变量，它刻画了1989年物价的急剧波动。
　　从上面3种不同形式的消费函数的估计结果来看，回归模型中参数的符号及大小不仅和经济理论相吻合，而且参数的估计值在统计上有意义。3种模型中的长期MPC分别为0.93、0.97、0.98，在数值上没有发生明显的变化。这种高MPC反映了中国城市居民在此期间的消费特点，我们注意到1965年-1985年间的美国、德国（西德）、法国的宏观消费函数中的MPC都在0.9以上。考虑到MPC和投资乘数的关系，从投资乘数M=1/(1-MPC),可以得到在高MPC的情况下，投资乘数的效果增加。但是，应该注意的是，随着近年我国居民收入结构的改变和各种金融证券市场的日趋繁荣，消费函数中应考虑加入金融资产和隐性收入等变量，这样更能够说明城市居民的消费状况。
　　§7.2 计量模型分析中的诸问题
　　在第1节中看到模型中误差项ut的诸假设对于OLS估计具有blue性质至关重要，特别是如果ut关于方差一定和不相关的假定不成立时，OLS估计不再是有效的（即OLS估计的方差不再是最小的）。本节主要讨论这些假定不成立时，如何采取适当的对策或者如何对估计方法进行修正。
　　一﹑序列相关(autocorrelation)
　　对经济数据进行计量分析时，经常发生的问题是ut不满足E(utus)=0 (t1s, t,s=1,2,…,n)的假定条件，即误差项之间存在着序列相关性。产生这种相关的原因一般有以下两个方面：
　　1）模型设定的偏误。例如模型中丢掉了某个重要的解释变量。
　　2）经济行为的惯性。例如考虑消费函数模型Yt=a＋bXt＋ut，其中Xt为收入，Yt为消费，ut为除去收入之外影响消费的所有因素之和。如果收入之外的要素发生变化时，显然通过ut会对t期的消费Yt产生影响，通常这种影响要延续到下一期或者下几期的消费，这是因为经济活动尤其是消费行为并不一定是本期内完结的，在这种情况下，产生正的序列相关是显然的。经济变量一个显著特点是大多数都具有惯性或滞后性，尤其在经济时间序列的分析中，这种特点更加明显进而产生了序列相关性。
　　对于模型估计，序列相关存在的主要后果是：虽然OLS估计具有线性无偏性，但失去最小方差性，而且序列正相关时，参数估计的标准差相对于实际的估计值过小估计，导致t值过大，容易造成拒绝H0过度频繁出现，假回归的危险性增大进而产生使人们对模型的参数估计值过度信赖的假象。
　　众所周知，计量模型中误差项的相关模式绝大部分遇到的是具有以下的一阶自相关形式：
　　ut=rut-1＋et (20)
　　其中et满足模型（3）中假设的1）、2）、3）和6），这种形式的模型称为一阶自回归模型(first-order autoregressive)记为AR(1)。模型（20）是一种在经济分析中非常重要的自相关模型，理由在于首先这种自相关模型代表了实证分析中大多数误差项自相关的形式，并且由于它的特殊性，简单性和实用性，一般情况下在实证分析中不考虑误差项之间存在的高阶相关的情况，主要是处理起来比较困难的原因。
　　通过模型（20）可知，如果r10表示ut之间存在自相关，r=0表示ut之间不存在自相关。作为检验序列相关是否存在的方法，可以考虑以下的假设检验。
　　H0：r=0
　　由于残差表现了误差项的行为，考虑下式给出的r的估计
　　(21)
　　可以看成et和et-1 之间的相关系数，实际为et对et-1作回归的系数估计。当ê ú的值较大时，可认为误差序列中存在一阶自相关性。
　　Durbin,J和Waston,G.S (DW)基于et和et-1之间的相关系数 提出了检验r的d统计量
　　(22)
　　通过简单的推导有下面的近似关系成立：
　　d"2(1－ ) (23)
　　考虑到r的取值范围，可以得到如下的结果
　　(24)
　　表明d的值约等于2时，误差序列不相关，d接近于4时，序列呈负相关关系，d接近于0时，序列呈正相关关系。一般利用 构成的d取值范围在0～4之间，从d的定义看到它依存残差向量e，而e=MU，虽然E(e)=0，但是E(eeT)=E(MUUTM)=Ms2,一般情况下e的分布依赖于X，这导致d的分布亦依赖于X，使得直接利用d的分布进行检验变得非常困难（虽然给定解释变量X后求d的分布也不是一件容易的事）。为了回避上述难题，DW考虑了不依赖于解释变量取值的d统计量的上界(du)和下界(dl)。为了检验模型（20）中
　　"H0：r=0 对立H1：r0"
　　DW对显著水平0.05，0.01和不同的样本容量及解释变量个数，给出了统计检验表（可查阅参考文献Johnston[15],Maddala[18]).
　　如果d
　　如果ddu，接受H0；
　　如果dl￡d￡du，不能确定。
　　对于"H0：r=0 对立H1：r
　　4－d=2(1＋ )=2(1－(- ))
　　故只须作变换（4－d），检验步骤同样，即
　　如果4－d
　　如果4－ddu，接受H0；
　　如果dl￡4－d￡du，不能确定。
　　虽然d统计量经常被用于检验误差序列的自相关性，但使用时，要留意以下3点：
　　1）d只适合于1阶自相关的检验；
　　2）回归模型中必须含有常数项；
　　3）当模型中含有被解释变量的滞后项时，此检验产生偏误，即d常取值在2左右，造成模型中不存在自相关的假象。
　　用d统计量检验出误差项为一阶自相关后，对模型可采用下面的估计方法。设考虑模型为
　　Yt=XtTb＋ut t=1,2,…,n (25)
　　ut=rut-1＋et (26)
　　Xt=(1,X2t,…Xkt)T b=(b1,b2,…bk)T
　　其中et同模型（20）的假设，显然（25）为（1）的向量表达形式。用r乘以Yt-1得到
　　rYt-1=rXTt-1b＋rut-1 (27)
　　（25）－（27）给出
　　Yt－rYt-1=(Xt－rXt-1)Tb＋et (28)
　　当r已知时可作变换（或称为广义差分）
　　t=2,3,….,n (29)
　　得到模型：Yt*=Xt*Tβ＋et (30)
　　(30)中的误差项et满足OLS所有假设，对(30)运用OLS可得到满足blue性质的估计量。虽然上述方法简单可行，但实际工作中假设r已知是不现实的，r未知时首先必须对r进行估计，具体步骤如下：
　　第一步：对（25）直接运用OLS，利用得到的残差et对et-1作回归，求出r的估计值
　　(31)
　　第二步：用 代替（30）中r后，再运用OLS方法，求出b的估计值。
　　上述方法称为CO法(Cochrane,D.和Orcutt,G.H)。考虑到r的估计 的精度问题，可重复上述步骤，直到 收敛为止。上述方法已在计量分析用软件中程序化（例如TSP，RATS等），故经常被应用于实证分析，注意到CO法中，由于取广义差分变换的原故，估计利用可能的样本容量从n减少为(n-1)带来了信息的损失。关于这一点的修正方法，已经提出各种各样的改进方案，在机理上和CO方法没有太大的差别，有兴趣的读者可查阅参考文献，Harvey[12],Maddala[18]。
　　应用实例：
　　如果我们用CO方法对消费函数(11)进行估计则得到如下结果：
　　C=-150.3+0.9305Y/CP (32)
　　(-1.25) (40.7)
　　R2=0.990 S=147 F(1,18)=1657 DW=2.08 =0.3522(1.68)
　　上式的估计结果和(12)式进行比较我们看到DW值明显变好，长期MPC几乎没有发生改变，但是估计值的t值急剧变小，使用CO法一般伴随此种倾向。
　　二、异方差性(Heteroscedasticity)
　　在OLS的基本假定中，假定5）不成立，即E(ut2)=st2 t=1,2,…n 其它假定不变的情形称为异方差性。这也是经济分析中经常遇到的问题之一。例如利用横截面数据研究消费和收入之间的关系时，收入较少的家庭用在购买生活必需品上的比例较大，误差项的变化幅度不大。收入较多的家庭有更多可自由支配的收入，使得这些家庭的消费有更大的选择范围，由于个性、爱好、习惯等不同造成的差异，使误差项变化幅度增大，或者说低收入家庭消费的分散度（方差）和高收入家庭消费的分散度相比较，可以认为前者小于后者。下面考虑一种最重要的异方差模型。　
　　Yt =b1＋b2X2t＋ut t=1,2,…n (33)
　　式中ut除Var(ut)=st2=s2X2t2之外，满足标准线性回归模型的其它基本假设，这里假设ut的方差为解释变量X2t的函数（有时也假设st2=s2X2t）。这是一种在实证分析中经常使用的手法。例如对截面数据的消费和收入分析时，就常常假设此种类型。亦可以说是一种经验手法。对上述模型估计的具体步骤如下：
　　（33）式的两边同乘以 后得到
　　= (34)
　　上述模型中 ，可知变换后的误差项满足回归模型基本假设，对（34）式作回归得到满足blue性质的OLS估计量。注意到（34）式的 对 作回归等价于求
　　(35)
　　的最小值问题。这种方法又称为加权最小二乘法(weighted least squares)。
　　与序列相关一样重要的是：我们怎样才知道异方差存在？对于异方差的检验来说没有像检验序列相关时d统计量那样方便可行的方法，这里可以考虑以下实用的手法。
　　1）图示法
　　首先按不存在异方差性的假设，对模型进行OLS估计，由于残差可以看成是误差项的一种估计，作出解释变量与残差平方的散点图，根据图形的类型来判断异方差存在与否。
　　2）根据研究问题的性质
　　例如研究储蓄和收入的关系时，可以认为收入高的家庭储蓄的方差高于收入低的家庭，同样研究企业的投资行为时，大企业投资支出的方差很可能比小企业的方差大，即把大中小规模的企业放在一起作抽样调查，模型中异方差性存在的可能性较大。根据经验，使用横截面数据进行计量分析与使用时间序列数据相比较，前者存在异方差的可能性要大于后者。
　　当异方差存在时，模型的估计方法除了可以采用上面叙述的加权最小二乘法外，还可以采取对所研究的对象取对数后，再进行回归分析的方法，实践证明亦是回避异方差存在的一个可行的方法。
　　应用实例
　　表7.2 日本国各地区储蓄和收入数据 单位（千日元）
　　地区 Y(储蓄) X(收入) 地区 Y(储蓄) X(收入)
　　北海 4349 2376 滋贺 5901 2914
　　青森 3499 2032 京都 7070 2690
　　岩手 3851 2096 大阪 8341 3179
　　宫城 4130 2442 兵库 6158 2701
　　秋田 3611 2098 奈良 5630 2174
　　山形 4192 2152 和歌山 6750 2108
　　福岛 4206 2386 鸟取 4847 2177
　　茨城 4872 2638 岛根 4589 2142
　　木 5292 2780 冈山 5584 2556
　　群马 5732 2684 广岛 5839 2662
　　玉 4471 2858 山口 5144 2302
　　千叶 4494 2801 德岛 5870 2275
　　东京 16242 4258 香川 7098 2508
　　神奈川 4753 3007 爱媛 5782 2162
　　新泻 5017 2377 高知 5360 2001
　　富山 6585 2592 福冈 4632 2526
　　石川 5865 2582 佐贺 4550 2153
　　福井 6527 2400 长崎 3950 2648
　　山梨 5898 2585 熊本 3886 2269
　　长野 6925 2612 大分 4220 2289
　　岐阜 6454 2495 宫崎 3492 2055
　　静冈 5833 2899 鹿儿岛 3700 1985
　　爱知 6595 3002 冲绳 3082 1892
　　三重 5863 2587
　　资料来源：山本 拓（日）计量经济学，新世社,1995
　　利用表7.2的数据，得到如下回归方程式：
　　Y=-3866.05+3.756X (36)
　　(-3.46) (8.45)
　　R2=0.614 S=1240 F(1,45)=71.5 DW=1.97
　　根据上面对异方差性的分析我们怀疑上述模型的误差项之间可能存在着异方差，为此我们考虑残差平方 对Xi的回归得到：
　　(37)
　　(-4.45) (5.23)
　　R2=0.388 S=2313430 F(1,45)=27 DW=1.11
　　从上述的回归结果可知，误差项之间存在着异方差性。下面我们利用本节中给出的异方差性存在时的修正方法进行估计给出以下结果：
　　Y= -2042.86+3.014X (38)
　　(-1.85) (6.54)
　　R2=0.071 S=0.445 F(1,45)=3.41 DW=1.62
　　三、多重共线性(multicollinearity)
　　标准线性回归模型中假定（5）为r(X)=k,从此假定可知由解释变量矩阵X的每一列构成的向量组是线性无关的，它保证了(XTX)-1的存在性，显然这条假定不成立时，向量组线性相关，不能求出OLS估计量。这种情况称在解释变量之间存在着完全的多重共线关系。经济分析中经常遇到的不是这种极端的情形，常常是解释变量的一部分或者全部存在着高度但不是完全的共线关系的情形。例如：为考虑消费者的行动对消费函数进行计量分析时，设被解释变量为消费，解释变量为实际可支配收入和储蓄，显然我们不能排除收入和储蓄之间存在着相关关系，由于多数的经济变量具有同一方向变动的倾向，这也造成了在经济模型中常常出现多重共线的现象。　
　　多重共线性存在对模型估计的影响主要表现在以下三个方面：
　　1）估计值可能有很大的方差，使得估计的可信度低下。
　　2）估计值缺少稳定性，即对数据的极小变化和解释变量的增减，估计值都有很大变化。
　　3）虽然有较高的决定系数，但是估计系数的t值在统计上很少显著。
　　和其它不满足基本假设的情况一样，我们主要关心的是如何判断多重共线性的存在与否。在各种计量经济学中的专著和论文中，人们已经给出了多种的判断多重共线性存在的方法，但是应当指出的是很难找到一个统一的严格的判断准则。这里只给出一个用解释变量之间的决定系数判断多重共线性的尺度，定义如下：
　　(39)
　　其中 为第i个解释变量关于其余的解释变量作回归的决定系数，VIF(bi)称之为bi的方差扩大因子(variance-inflation factor:VIF)。根据经验通常当VIF(bi)10（ 0.9）时，认为Xi和其余的解释变量之间存在着共线关系。
　　多重共线关系存在时，找到一个确切的处理方法是困难的，这里只介绍一些简单实用的方法。
　　1）增加样本的信息
　　例如对消费函数的分析，选择年度数据进行回归利用上面的判断尺度，发现了多重共线性，此时可以把年度数据换成季度数据再进行回归，通常会减少解释变量之间的相关关系。
　　2）对数据进行变换
　　例如对变量取对数后，再做回归通常会减少变量间的共线性，并增加参数估计的稳定性。也可以采用对模型中的变量一阶差分后，再进行回归的方法。
　　3）对模型不做任何调整
　　对模型进行估计后，发现参数估计值的符号大小都不和经济理论矛盾，其对应的t值在统计上显著，决定系数也很高，在这种情况下即使VIF很大，也没有必要对模型采取任何修正措施。对于多重共线性的处理对策，还存在其它一些方法，已超出本书的范围，故给予省略。由于不存在根本的解决方法，所以说即使是现在，多重共线性也是多元回归分析中使人感到最困难的问题之一。
　　应用实例
　　对于回归估计（19）式
　　C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) - 9.683R - 295.4D1
　　我们计算上式中系数所对应的VIF得到
　　VIF(b2)=81.9, VIF(b3) =83.9, VIF(b4)=1.28
　　根据多重共线性判断尺度，可以认为解释变量之间存在着高度的共线关系。但是，注意到模型中各参数符号及大小和经济理论相一致，同时参数估计的t值在统计上有意义，R2很高。在这种情况下，不用过多考虑多重共线性的存在，我们对方程可以不做任何修改。
　　§7.3 回归分析的一些新发展
　　近年非平稳时间序列的估计方法、模型选择理论、长期均衡关系的分析方法都取得了飞速的发展。这些方法被应用于消费理论景气循环理论货币需求等领域，成为宏观经济学分析研究中不可缺少的手法。下面简单介绍一下主要的结果。
　　一、非平稳时间序列和假回归现象
　　考虑回归模型
　　Yt=jYt-1＋ut (40)
　　式中ut满足模型（3）中假设的1）、2）、3）和6）。当j
　　E(Yt)=0
　　当j=1时，Yt称为"醉步模型(random walk model)"，是非平稳时间序列中最有代表性的一种，亦称Yt存在着单位根(unit root)，记为Yt∽I(1)，这时Yt的期望方差分别为：
　　E(Yt)=0 Var(Yt)=ts2
　　从上述结果可知，Yt的方差随时间t增大而发散。这种非平稳模型被应用于效率市场的假说下的股票价格变动，恒常收入学说(permanent income hypothesis)下的消费函数等的分析。关于非平稳时间序列研究的主要结果可以简述如下：用时间序列数据进行OLS估计时，有必要首先检验所使用变量的平稳性，这是因为两个不相关的非平稳时间序列Yt和Xt作回归，会带来假回归的问题，即虽然Yt和Xt独立不相关，但回归中的t值在统计上显著导致好像Yt和Xt之间存在有意义的相关关系的结论。
　　单位根的检验方法：
　　到目前为止对于单位根问题的研究论文可以说举不胜举，但实证分析中经常被应用的是Dickey-Fuller检验（略为DF）。这里准备用以下最简单的模型形式，介绍一下DF检验的使用方法。
　　设 DYt=aYt-1＋et (41)
　　其中DYt=Yt－Yt-1 a=j-1
　　如果H0：a=0（即j=1，单位根存在）的假设没有被拒绝，认为Yt存在单位根。模型（41）可以扩展到包含常数项和时间变化趋势(time trend)等一般的情形，我们这里不准备再进一步讨论，有兴趣的读者可以参阅参考文献 Banerjee et al [3]，Dickey and Fuller[7]，在这里只准备强调一点，对a=0作检验时，t检验统计量已经不服从通常的t分布，必须利用DF给出的修正分布表，不然会得出错误的结论。
　　二、协整关系(cointegration)
　　宏观经济变量的大多数，单个来观察的话，随着时间的推移它们呈现一种"醉步"（非平稳）的走势。如果把几个经济变量的走势图形放在一起观察的话，会发现它们的运动具有某种相似性（例如，消费和收入，进口和出口等）。这种现象的产生，引起了人们的兴趣，这种经济变量运动的相似性构成了协整概念的基础，下面给出协整的定义。
　　设Yt∽I(1)，xt∽I(1)。如果存在常数b（b10），使得Yt－bXt为I(0)（平稳时间序列）时，称Yt和Xt之间存在协整关系。上面提到当Yt和Xt均为非平稳时间序列Yt和Xt作回归时，要注意假相关问题的出现，但是当Yt和Xt之间存在协整关系时，不会产生这样的问题。关于协整关系的检验，这里只简单介绍一下利用回归残差进行检验的Engle-Granger方法(Engle and Granger[8])具体步骤如下：
　　第一步：设Yt和Xt之间存在以下的关系
　　Yt=m+bXt＋ut (42)
　　用OLS对（42）式作回归得到残差et。
　　第二步：对残差et运用DF的单位根检验方法来判断ut的平稳性，如果得出ut∽I(0)的结论，则称Yt和Xt之间存在协整关系，此外对于协整的检验还有Johansen的最大似然估计检验，此方法的解释超出这本书范围，故不再说明，读者可以参阅参考文献Johansen[14],或者Banerjee et al [3]。
　　三、非平稳经济模型的应用
　　在这一节我们将通过对日本货币需求函数作分析的实例，来说明如何利用前面讨论的非平稳模型的的方法，对经济活动进行定量研究。近年来，对于货币需求的研究所采用的模型多为Hendry流ECM（error correction model)形式，它不同于过去的传统货币需求方程的模式，关于ECM模型的特点我们将在下面的具体模型中简单地给予说明。（对ECM的详细解说可查阅Banerjee et al [3],Hendry and Ericssion [13])
　　估计中使用的数据来源于OECD统计年鉴(Organization for Economic Cooperation and Development)区间为1960年1季度至1990年4季度，变量的定义如下：实际货币供应量（M2，1985年价格单位为10亿日元，季节调整完成），实际GNP（1985年价格单位为10亿日元，季节调整完成），美元对日元汇率（注：模型估计时以上三个变量分别取对数）、通货膨胀率（GNP冲减指数[deflator]的上升率）、利率。下面分别用M、Y、EX、I、R来表示上述变量，货币需求函数的估计回归式由下面的（43）式给出。
　　DMt =-0.030+0.67DMt-1+0.22DYt-0.81It+0.26DIt-1-0.0022DRt+0.019D-0.064EXt-1 (43)
　　(-3.3) (10) (3.3) (-10) (3.6) (-2.5) (4.1) (-4.6)
　　R2=0.74 S=0.0077 F(7,113)=47 DW=1.8
　　其中Et-1=Mt-1－1.2Yt-1＋0.26EXt-1意味着M、Y、EX之间存在着协整关系（关于协整关系的计算可以用TSP等软件包），它给出了M、Y、EX之间的长期均衡关系，DXt表示变量的一阶差分，即DXt=Xt－Xt-1，注意到方程式既包含水平变量又包含差分变量，这表明ECM模型充分利用了来自"静态"和"动态"的两部分信息。如果模型中仅包含差分变量的话就失去了来自水平变量的信息。模型中的D为虚拟变量(dummy variable)，理由在于1974年石油危机的爆发，使得日本经济的结构发生了很大变化，D：73、74年的八个季度取值为1，其余为0，括号内的数字是t估计值，从这些结果可知，所有系数的估计都是显著的（显著水平为0.01），下面讨论（43）中解释变量符号的合理性。
　　由于我们对GNP取了对数，所以有
　　同理
　　即DYt，DMt实际可以看成GNP，货币供应量的增长率。DYt系数符号为正表示GNP的增长对于货币供应量的增长具有正的影响，符合货币供给和GNP之间存在安定的关系的学说。通货膨胀率It的符号为负，因为It对货币持有者来说表示货币持有的费用，当通货膨胀率上升时，货币持有者会减少其持币的数量，It的一阶差分的系数符号为正，这意味着通货膨胀率实际上发生改变时，水平变量It的作用（-0.81）会受到来自差分变量DIt的反面影响（+0.26）。利率的系数为负号，可以理解为：利率对货币持有者来说可以看成货币持有的机会消费，其符号为负表示作为对利率上升的反应，货币持有者会减少对货币的需求，换句话说这也意味着货币持有机会费用的增加。Et-1的系数符号为负，表明为达到均衡状态必要的调整过程是不可缺少的。Et-1的系数我们称做为达到均衡状态作调整的速度。
　　在这一节中我们用回归分析的方法对日本的货币需求函数进行了定量分析，无论在经济理论上，还是在统计上都得到了比较满意的结果，对上述货币需求函数的更深入的研究结果请查阅参考文献Morimune and Zhao[20]。这里需要指出的是：在用计量方法对经济问题作分析时，首先必须考虑给出的模型在经济理论上的合理性。换句话说，模型中参数的估计和其它诊断检验量即使在统计上很有意义，如果经济理论不具有合理性的话，其模型对于经济的分析是没有任何意义的。
　　第八章 模型在经济中的应用
　　作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。本章主要内容如下：首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多―多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。
　　§8.1 卡莱斯基商业循环模型
　　卡莱斯基(M.Kalecki)模型自1935年问世以来就引起了许多经济学家和数学家的兴趣。特别是20世纪70年代后，随着周期性因素再次宣告西方经济第二次大战后长达20年繁荣时代的彻底结束，又唤起了人们对它重新认识的极大热情。在近半个世纪的研究中，关于该模型运动稳定性方面的问题更是不乏探讨和论证。在这当中，有些可以说是天才的猜测，有些则是部分的证明。迄今为止，尚未见到关于卡莱斯基模型的运动稳定性的完整成果。本节在参照前面章节建模步骤的基础上试图解决卡莱斯基早期及后期模型的运动稳定性问题，并据此提出若干经济猜想和可供参考的经济结论。
　　一、卡莱斯基的商业循环理论与模型
　　早期模型：卡莱斯基早在1935年就提出了关于资本主义经济波动的动态模型。根据他的理论，在资本主义经济中，投资机制由企业（资本家）操纵的。企业在时刻t计划的投资决策B(t)，经过一个固定的时间间隔（时滞）q，资本设备方可交货，而支付行为应当分布于整个设备生产及装置期间。假设净投资I(t)为超过重置部分的净支出，K(t)为资本设备存量，则有模型如下：
　　(1)
　　(2)
　　假设整个经济系统的总收入Y(t)，由总消费C(t)，总投资I(t)和自主性支出A所构成，而且总消费C(t)线性地依赖总收入Y(t)，c表示边际消费倾向，则有
　　(3)
　　(4)
　　关于核心变量B(t)，卡莱斯基认为其受储蓄S(t)正向的影响和资本物存量K(t)反向的影响。因此当这种关系为比例关系并且没有时滞时，加速形式由模型(5)、(6)决定
　　S(t) = Y(t)-C(t) (5)
　　B(t) = aS(t)-bK(t)+e (6)
　　式中：a,b是正数，e是趋势项。从长期观点看，虽然e随时间的变动而变动，但在此仍视为常数项。结合(5)、(4)和(6)，就得到
　　B(t) = a(1-c)Y(t)-bK(t)+e (7)
　　这是一个关键方程，它说明卡莱斯基的投资决策的加速机制，不象一般的加速因子那样取决于dY/dt（或DY），而是决定于Y的水准。
　　不难证明，变量Y(t),C(t),I(t),B(t)和K(t)，满足同一类似的方程式，其数学形式是混合式的差分--微分方程。因此，整个经济系统的运动稳定性可由以上任一变量表征。如选择K(t)，则有
　　d k(t+q)/dt=(a/q)K(t+q)-(b+a/q)K(t)+aA+e (8)
　　其均衡水准Ke = (aA+e)/b，运动稳定性等价形式为
　　(9)
　　方程(9)表示的 实为对均衡水准Ke的离差。在运动稳定性意义下，(8)和(9)式是完全等价的。
　　后期模型：
　　卡莱斯基的后期模型（1943,1954），在简单乘数关系上仍与早期模型(3)、(4)相同，但是对影响投资决策B(t)的因素，以及其后的投资支出和资本设备的产出，均有新的考虑和修改。
　　在后期模型中，卡莱斯基将投资I(t)分成两类，固定资本及材料Ik(t)和在制品及制成品的盘存Is(t)。各种盘存的投资支出Is(t)决定产出的变动，时滞 ；固定资本的投资支出Ik(s)与设备的装置同时发生（即到货时支付），但是比其相应的投资决策落后时滞 。因此，有模型
　　I(t) = Ik(t)+Is(t) (10)
　　Is(t) = n1dY(t- )/dt (11)
　　Ik(t) = dK(t)/dt = B(t- ) (12)
　　式中：n1是正数，K(t)、B(t)意义同前。卡莱斯基认为这时B(t)受储蓄S(t)和产出率(d/dt)Y(t)的正向影响，受资本存量变动(d/dt)K(t)的反向影响。因而，得到模型(13)
　　B(t) = aS(t)+n2dY(t)/dt-bdK(t)/dt+e (13)
　　式中：a，n2，b为正数，e为趋势项。由(4)、(5)和(12)可知，(13)的变形为
　　Ik(t+ ) = a(1-c)Y(t)+n2dY(t)/dt-bIk(t)+e (14)
　　我们定义平均时滞q满足
　　(1+b)-1[Ik(t+ )+bIk(t)] = Ik(t+q) (15)
　　并假设 = q，则不难得出（推导过程见本章附录1）
　　其均衡水准Ie = (aA+e)/(1+b-a)
　　若表示对此均衡水准的离差，则(16)式与下列方程式的运动稳定性等价
　　(17)
　　方程式(17)和(9)是决定后期模型和早期模型运动稳定性的关键。在后期模型中,Y(t)，C(t)和I(t)满足类似的混合型的差分-微分方程，因此，只须讨论(17)式中 的运动稳定性。　
　　二、卡莱斯基模型的稳定性
　　有关卡莱斯基模型运动稳定性方面的研究工作集中在早期模型上，最典型的手法是令时滞q = 1(取单位时间）。然而，即使这样也没有人完整地研究了参数不同的取值，会对运动稳定性产生什么影响。而且，对"选择时间单位使q = 1，不失一般性"的说法，经济学者是持谨慎态度的。数学者持这种说法，是出于简化数学上的复杂性，并且在不考虑参数之间存在相依关系的前提下成立的。数理经济学家 Allen[1]曾警告说：有一点须加注意，即在所有卡莱斯基模型中，各常数的时间长度必须小心确定。这说明q = 1的假设是不科学的，容易引出谬误。
　　由于早期模型和后期模型的数学结构有所不同，我们将分别研究和讨论。对方程(9)引入显易解K(t) = K0elt，可以得到其对应的特征方程
　　qleql-aeql+a-bq = 0 (18)
　　同理，对方程(17)引入显易解I(t) = I0est，就得到相应的特征方程
　　(19)
　　方程(18)和(19)又称为超越方程，满足这两个方程的解l和s分别称为(18)和(19)式的特征根。研究模型稳定性，就是研究在什么条件下，特征根的实部Re(l)
　　① q(a-1)
　　②
　　这里，j0是方程
　　jctgj = a-r/q (20)
　　在0
　　命题2：后期模型(17)对应的特征根s的实部均小于或等于实数r/q的充分必要条件是①和②中，至少其一不成立。
　　① ；
　　②
　　这里，j0是方程
　　jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2]-r/q (21)
　　在0
　　显然，在命题1和命题2中r = 0，则得到关于模型稳定性的有关条件，这里恕不赘述。如果我们设l=a1+ib1，s = a2+ib2分别是(9)和(17)的特征根，那么早期模型的振幅以 加速，经济周期为2p¤b1；后期模型的振幅则以 加速，经济周期为2p¤b2。我们下面给出关于参数域与稳定性的两个命题。
　　命题3：早期模型的运动稳定性，取决于参数a、b、q，并由表1给出：
　　表1 早期模型稳定性条件与结论
　　参数域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
　　条件 a1+a1 ￡ 0a1 -1 0 或a1 -1 30} < 0a1 -1
　　结论 减幅(稳定)无振荡 增幅(不稳定)无振荡 减幅(稳定)振荡 增幅(不稳定)振荡
　　表1中，a1 = a，a2 = bq-a，j0满足方程jctgj = a，(0
　　命题4：后期模型的运动稳定性取决于参数a、b、V1、V2、 、 和q，并由表2给出：
　　表2 后期模型稳定性条件与结论
　　参数域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
　　条件 a1+a2￡0a1 -1 0 且{a1+a2 0 或a1 -1 0或
　　结论 减幅(稳定)非振荡 增幅(不稳定)非振荡 增幅(不稳定)振荡 减幅(稳定)振荡
　　表2中，a1 = qa(1-c)/[V1 (1+b)+V2]，a2 = - q(1-c)/[V1+V2/(1+b)]，j0满足方程
　　jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2] (0
　　-a2
　　p/2 IV I
　　1 Ⅲ 450
　　e-1 II
　　0 1 a1
　　图8.2
　　-a2
　　p/2
　　1 IV
　　Ⅲ
　　e-1 I II
　　45°
　　0 1 a1
　　图8.1
　　图-1和图-2分别表示命题3和命题4中的参数区域。应当指出，两图的符号虽有类同，经济意义却截然不同。（请读者参阅§1）
　　下面，我们将从数学模型的性质及经济分析引出若干经济结论和观点。经济学家可以用直觉对其加以评判。
　　三、主要结论
　　很早以前，经济学家就在研究资本主义经济的商业循环。他们企图通过准确的预测，使资本主义企业可以根据这些预告及时地适应周期性波动。一些具有控制论思想的经济学家甚至期望通过对商情的发展施加影响，实现排除或缓和经济危机。然而，资本主义经济学家的这些愿望能否实现，社会主义市场经济下又是否存在着周期现象和避免周期发生的机制上的保证，我们希望从模型和现实中得出以下结论可以部分地回答上述问题。　
　　1. 资本主义经济的无休止的周期性波动，是由其基本矛盾造成的。在这一基本矛盾支配下的企业行为，是在私有制使企业追逐自身最佳利益的同时，缺乏对整个经济的责任感。这种行为可分别由方程(6)和(13)描述出来。因此，资本主义经济面临的抉择只有两种选择：要么经济繁荣发展必然伴随着经济波动；要么经济缓慢发展（甚至衰退）换来经济稳定。命题3和命题4就是说明了资本主义基本矛盾必然导致资本主义经济"永恒的波动"。
　　2. 从理论上说，如果政府能够对企业的投资决策B(t)施加影响，并对时滞q进行适当的诱导，则可以把较大的经济波动分解成若干次较小的经济波动；如果能完全操纵投资决策B(t)，则能够及时刹住过于繁荣的经济，又不至于滑入灾难性的衰退之中。
　　3. 即使政府能够成功地进行2中的诱导，也必须是在政府所能承担的政策代价的限度之内加以推行。从第二次世界大战以来的历史看，尽管西方国家运用需求管理的政策调整弱化和分散了周期波动，但是，也不断遇到了政策目标相互冲突的长期困扰。这里既有传统的菲利浦斯的失业和通货膨胀的相互替代；也有停滞和膨胀的同时发生；更有内部均衡和外部均衡的不统一，所有这些都极大地降低了政府政策诱导的效应和成功的可能性。
　　4. 在计划经济体制下，国家身兼投资秩序的维护者和投资行为的承担者的双重职责。这种情况，既为计划经济能够避免西方那样灾难性的危机创造了条件，但也带来了以宏观管理失误为特征的经济波动的极大可能。从中国经济发展的历史来看，就先后发生过若干次周期性波动，几乎每一次都是以投资膨胀为先导，继而又不得不以大规模的结构调整作为结束。可见，卡莱斯基提出的投资决策B(t)诱发经济周期性波动的思想，对社会主义市场经济也同样具有借鉴的意义。　
　　§8.2 最优外资规模的决定条件
　　一国利用外资的规模总要受到一定的限制。外资"过少"意味着经济中仍有处于"闲置"状态的投资机会；外资"过多"则可能超过一国所能承受的能力。因此，一旦由经济本身规定的约束条件已经给定，"合理"的外资规模只能是特定意义下的，唯一的最优规模。然而，在我国目前的体制下，这一最优规模的决定机制以及经济变量对这一过程的参与程度与市场经济有较大的不同。因此，简单地把适用于市场经济的一般规律套用于我国是不恰当的。
　　在市场经济条件下，投资行为是由以利润最大化为其经营目标的经济实体来承担的，投资决策取决于这些经济实体对未来的收益水平的预期。因此，一般认为，市场经济下，经济变量直接参与了对吸引外资流入量的调节，同时，也规定了最优外资流入量的均衡条件。在投资收益递减规律普遍作用的情况下，这一均衡条件表现为外资在受资国的边际收益等于借入外资的边际成本。这时所实现的利用外资规模优化，不仅意味着受资国在现行借债成本的基础上，一切有利可图的投资机会已开发殆尽，从而外资的流入不再继续；而且，还意味着受资国（外资）的投资收益在偿付了必要的利息之后，还将给受资国带来一定的净收益。在市场机制充分活跃的情况下，一方面，凡是影响投资收益的经济变量都直接参与了对资本流入规模的限制，另一方面，经济实体的行为方式则构成了市场经济下约束外资规模并使其优化的"自发"机制。应当看到，外资投资的净收益往往是按一定的份额由出资国和受资国共享，因此极大化受资国的净收益是外资投资的共同目标。考虑到人们对未来汇率的期望也直接影响投资规模，我们有必要建立一个确定最佳外资投资规模的模式，以描述市场机制下这一最优规模的决定过程和经济变量对这一过程的参与程度。我们假设：
　　I=以受资国货币表示的该国投资总规模；
　　I*=以出资国货币表示的投到受资国的投资规模；
　　I0=资本流入前受资国经济处于均衡状态下的投资水平；
　　e=资本流入时受资国汇率；
　　=出资国投资者对未来投资收益时的预期汇率；
　　i=受资国的投资收益率，且i=f(I)，f￠ 0或受资国的借债成本；
　　i*=出资国的投资收益率或受资国的借债成本；
　　π(I* )=以出资国货币表示的投资收益；
　　I0*=以出资国货币计量的最优外资投资规模。
　　显然，外资投资I*相当于受资国货币计量的投资eI*=I-I0，而且，在不考虑汇率变化的情况下，最优的外资投资规模I0*一定在区间 内形成，其中I满足f(I)=i*。这是因为当I* 时，在受资国投资的报酬率将低于出资国的投资收益率。在这种情况下，受资国即使把全部净收益转让给出资国，也无法吸引出资国投资。如图所示：
　　插图8.3
　　I-I0为受资国引入外资的最大规模，阴影部分表示外资投资的总收益；其中，矩形部分为在汇率保持不变的条件下受资国的付息总额，拟三角形为受资国的外资投资净收益。鉴于π(I* )往往是由受资国和出资国分享的，故不论份额如何，投资规模的最优化对双方都有利。于是，以出资国货币计算的，计入预期汇率的净收益成为外资投资决策的主要依据。那么，处于均衡状态下的最优外资引入规模就可由下面的数学形式求出：　　
　　其中I*(1+i*)表示期末受资国偿还外资的本利和； 表示外资I*在期末的投资收入。分别对π(I* )求一阶导和二阶导，得到
　　(22)
　　(23)
　　由f`￠
　　(24)
　　其中f-1[·]是投资收益率（单调递减函数）i=f(I)的反函数形式。由(24)的数学性质可以推出，如果 e，即预期汇率贬值，则最优的外资引入规模下降；如果汇率不发生变化，则 ，即受资国的外资投资报酬率和出资国的投资收益率一致，此时最佳的投资规模达到一般的上限；但是如果
　　许多人误认为宏观增长理论始于后凯恩斯主义的哈罗德一多马模型。但如果我们把马克思的劳动价值理论和扩大再生产图式作为总量分析的基础，对宏观经济的平衡增长深入细致地研究的话，发现马克思理论的模型与哈罗德一多马模型有惊人的相似之处，这说明马克思的经济理论对经济学的贡献是无与伦比的。
　　首先，我们用模型化假说表述马克思的扩大再生产图式：(1)整个经济分为两大部门：生产资料生产部门(第I部类)和消费资料生产部门(第II部类)；(2)没有技术进步，故经济中的生产函数保持不变，且资本-劳动比率也不变；(3)劳动和生产资料的所有生产要素的投入，在每一周转期内都完全地移转到商品中去了。于是，整个生产过程用价值形式表示成：
　　I： c1+v1+m1=w1
　　II： c2+v2+m2=w2
　　I+II：c+v+m=w
　　式中c，v，m，w分别表示不变资本，可变资本，剩余价值和价值，下标表示相应的部类。
　　马克思认为每一部类有三个比率：
　　（1）剩余价值率：
　　mi = mi /vi
　　（2）利润率：
　　gi = mi /ci+vi
　　（3）资本的有机构成：
　　qi= ci /vi
　　马克思确信资本主义的竞争会使各部门的剩余价值率均等化，从而平衡时，
　　m=m1=m2
　　同样，利润率也趋于均等，
　　g = g1 =g2
　　在马克思的模式中，资本的有机构成反映技术的进步，而且q1≠q2。如果真是这样，则可推导出，
　　c1 /c2 =m1 /m2
　　或
　　m1 /c1 = m2 / c2
　　显然，均衡的条件偏多。
　　经济的增长在于积累，假设mi中积累了aci，追加雇用工人avi，被资本家消费了ki，则
　　mi =ki + aci +avi
　　图式改写成
　　I：c1+v1+k1+ac1+av1 =w1
　　II：c2+v2+k2+ac2+av2 =w2
　　I+II：c+v+k+c+v=w
　　为了使部类之间能够平衡，消费品的需求总量必须等于消费品的供给量，即
　　v1+k1+av1+v2+k2+av2 =w2
　　而且生产资料的需求量也必须等于生产资料的供给总量，即
　　c1+ac1+c2+ac2 =w1
　　从这两个式子中都可以导出均衡式：
　　v1+av1+k1 =c2+ac2
　　反之亦然。马克思设想先确定第I 部类的积累率，然后相应地调整第II部类的积累率以达到均衡状态。这里两大部类的积累率不相同。即
　　a1 / m1 ≠a2 /m2
　　ai表示部类i的积累。基于马克思的理论，鲍尔提出了他的模型(1913)。它可以轻易地转变成哈罗德一多马模型，因此，认为马克思是现代增长理论的先驱决非过誉。
　　每个社会在人口增长时，必须逐年扩大其生产能力，以维持消费水平。这就需要资本积累，而在资本主义条件下任何积累的来源是剩余价值，如果人口增长率或相当于它的劳动力增长率b不变，那么v亦不变。若m亦不变，则剩余价值
　　m=mv
　　也就不变，这时被积累的m=ac+av+k，当用于不变资本的积累的比率a也是不变的，则
　　act =act
　　于是不变资本的增长取决
　　ct =(1+a)ct-1
　　积累用作可变资本的比率应是人口增长的比率b，故
　　avt =bvt
　　于是
　　vt=(1+b)vt-1
　　剩余价值的增长是
　　mt=mvt=m(1+b)vt-1
　　劳动价值理论中新价值的增殖依靠活劳动的支出，这与现代的"国民收入"的概念相近。国民收入是可变资本加上剩余价值。故
　　yt=vt+mt
　　=(1+b)vt-1+m(1+b)vt-1
　　=(1+m)(1+b)vt-1
　　=(1+b)yt-1
　　显然，马克思可以得出一切财富是劳动创造的，当然这时没考虑技术进步。稍加整理，我们有
　　ct = (1+a)t-1 c1
　　vt = (1+b)t-1 v1
　　mt = (1+b)t-1 m1 =m (1+b)t-1 v1
　　yt = (1+b)t-1 y1 = (1+m)(1+b)t-1 v1
　　类似地，
　　act = a (1+a)t-1 c1
　　avt = b(1+b)t-1 v1
　　初始状态
　　y1 =m1 +v1
　　在完全市场经济条件下，资本的积累依赖于投资家?quot;任意"决定，而为了与人口增长保持均衡，资本的积累必须有某种相应的动作。但是只有在政府部门宏观指导下，才能使生产能力的增长和消费品的增加与人口增长保持着同步。如果m不变,q1,q2上升，则a亦上升，因此马克思认为ab是可能的。它们之间的联系是什么呢？我们注意到国民收入的增长率　
　　这说明国民收入将与人口增长同步，积累率
　　则表明ab使经济系统不稳定。依据劳动价值理论（ab），计入不变资本的毛收入gG?a (t?￥)。而且在发展过程中，利润率由于有机构成的提高而有所下降
　　0 （t?￥）
　　可以看出马克思正是透过这种图式，预见到资本主义初期发展的不稳定性。从上述模型还可以看出资本家会自动扼制资本有机构成的提高，以维持较高的利润率。
　　如果将前述假设改成a=b，则资本主义经济系统中用于积累的剩余价值不会被耗尽，而且资本有机构成和利润率将保持不变。我们考虑均衡增长的情况下，马克思的扩大再生产模式是如何得到哈罗德模型的。哈罗德的均衡等式为
　　Dy/y=s
　　式中y是国民收入，s是平均（边际）消费倾向，
　　S=sy
　　s =Dy/DG
　　s是资本一产出率，S是储蓄，G是资本存量其保证的增长率
　　gw=ss
　　在均衡下，哈罗德要求实际增长率gA等于保证的增长率gw，而两者都必将等于人口增长率b，即
　　gA=gw=b=ssw
　　其中ssw是保证的资本产出率。于是
　　yt=(1+m)v1 (1+b)t-1
　　如果依据马克思的理论：资本家储蓄剩余价值m中没有用于消费的部分，整个经济中消费掉的有v，av和k，因而
　　St=yt-(vt+avt+kt)
　　=(vt+mt)-(vt+avt+kt)
　　=act
　　即整个经济能够储蓄的数额S，恰好等于资本家愿意追加的不变资本的数额ac。这就是凯恩斯理论中的投资I=S的前身！因此
　　GA=Gw=ss=b
　　这说明马克思的模式能满足哈罗德的平均增长条件。请留意，马克思的模式中s?￥,(t?￥)且s?0 (t?￥)；而哈罗德的模式中，s和s是不变的。当a=b时，s与s不变，故马克思的理论说明资本主义经济中，随着资本密集化资本一产出率持续下降，经济的持续增长要求储蓄倾向抵消资本一产出率的下跌。但资本家的消费将在一定的时期后被耗尽。
　　kt=mt-(act+avt)
　　=v1(1+b)t-1 (m-b)－ac1 (1+a)t-1
　　这个就会使资本家尽力压低劳动力的追加工资，从而相对贫困在所难免。综上所述，马克思的扩大再生产图式是宏观增长理论的前身，而且远比哈罗德模型深刻。
　　如果将两部类联合起来来考虑，有以下三个假设：
　　（1）两大部类的积累率相同
　　a1 /m1 = a2 /m2 = a/m
　　（2）部类间的均衡条件
　　(1+m)vI =cI +ac
　　（3）部类间的不变资本积累和可变资本积累相同
　　问题是1)由于转移到第I部类的剩余价值资金，在其生成的部类尚未分成不变资本和可变资本，所以acII和avII就不能这样被转移。2)要求资本依其所生成的部类的有机构成来转移，而不是按照受它的那个部类的有机构成来转移，这也不太合理。但上述三个假设决定了两部类内的转移机制，正是以此为依据，部类I增长必须快于部类II的增长。这时，　
　　显然,cI, vI不断增长, cII, vII趋于零。结果同说明了这个体系是不稳定的。原因仍是ab。所以只有a=b，才能使资本主义体制稳定。
　　§8.4 效用函数与生产函数
　　在这一节里，我们要学习经济学家是如何利用数学模型描述他们心目中的市场经济的。人们已经注意到经济学语言转化成形式化数学语言的困难在于经济学术语的多层次性。例如市场一词在经济学中有六个层次的含意：1）考虑一种商品时，市场是该商品的买方和卖方相互交易、进行交换的地方；2）一组特殊的买方，如初级市场；3）一种已知商品的买方和卖方，如小麦市场；4）商业区，如北京王府井；5）在马歇尔经济学中，市场是理想的、在任何给定时刻的价格对一切买卖双方是同样的地方；6）口语中，市场有市场价值的意思。鉴于这种情况，我们不标明经济学的观点是否正确，立论是否严谨，而重点放在怎样利用数学语言。　
　　在我们这个世界上，人类在不停地忙碌着。他们不断地给予和索取，为什么要取舍这些东西呢？一切经济单位也是这样，什么动机促成了它们的行为是这样而不是那样呢？偏好是其根源。人们在享受物品或劳务中所得到的满足叫作效用。偏好决定了人们为什么做甲事而不做乙事。即甲f乙。"f"在数学里称为序。效用可以是不道德的，甚至是负效用。如果享用第i个单位的某物品或劳务的效用记作mui，则有
　　mu1 > mu2 …
　　这就是边际效用递减规律。假如市场上有n种商品，某代理人的效用值用函数表达成
　　u=u(x1,x2,…xn)
　　则应有
　　若代理人的收入为I，市场价格p=(p1，p2，…，pn)T,则他一定追求效用最大。行为由模型
　　maxu(x1,x2,…xn)
　　s.t. pTx ￡ I
　　表示。方程pTx = I称为选择预算线。如果代理人的钱财不是数不胜数，不等式约束等价于等式约束。假设上述模型的最优解为
　　则得到n个需求函数
　　xi = xi (p1，…，pn,I)
　　如果固定pj, j1i, 1￡ j￡ n和I，就得到商品i的需求曲线
　　xi = xi (pi)
　　特定的 下， 称为价格水平，若新的价格为p*，且
　　p*T > pTx
　　则称发生了通货膨胀。价格指数 和通货膨胀率P分别为
　　这时，代理人的真实收入Ir变化了
　　Ir = I*/
　　其中I*是新收入。这时代理人的行为会发生变化，依据是
　　max u(x1,x2,…xn)
　　s.t. p*Tx ￡ I*
　　的最优解x*变了。显然，如果价格和收入同步增长，则x*= 。假设相对价格或价格比率为
　　价格p变化到p*且收入不变。则经济学家认为需求变化是两种效应共同作用的结果，它们是
　　1）收入效应：由价格变化引起某商品i的供给者的真实收入下降，从而使需求发生的变化的效应；
　　2）替代效应：由于相对价格Pij的变化，引起需求变化的效应。
　　Max u(x1,x2,…xn)
　　s.t. p*x ￡ I
　　x 3 0
　　的最优解为 ，则 的变化表示替代效应。若
　　max u(x1,x2,…xn)
　　s.t. p*Tx ￡ p*T ，x 3 0
　　的最优解为 ，则 的变化表示收入效应。但是经济学家们的观点也不一致。希克斯（Hicks,1946）则主张保持实际收入不变指的是新的预算超平面的法向量仍取p*，但与以前一样的无差异曲面
　　u(x1,x2,…xn)=
　　相切。即模型
　　u(x)=p*
　　u(x)=u( )
　　p*x=u( )
　　的解为 ，则 表示替代效应。 表示收入效应。无论 如何变化到 ，价格起了核心作用。我们把 的差异留给读者思考。
　　价格是市场上最积极的因素，它是如何确定的呢？按规范的经济学观点，市场经济中需求和供给确定相对价格；相对于物品流动的货币量决定绝对价格。我们姑且承认这些理论，从而面临的任务是找出供给函数。　
　　企业是经济中的供给单位，由于资本、劳力、技术、管理等因素的差异，企业的生产能力有所不同。假设某企业的生产函数为
　　y=f(x1,x2,…xn)
　　其中y是产出，x=(x1，…，xn）是投入。生产函数一般是相对稳定的，数学性质多为一阶正齐次函数。假如投入的价格分别为p1，…，pn，则成本函数为
　　c(x)= pTx
　　在市场经济的条件下，企业追逐最大利润，在客观上要求企业内部对投入进行最佳组合，即在费用一定的情况下尽可能多生产出产品来。模型
　　max |(x)
　　s.t. pTx ￡ c
　　x 3 0
　　说明了企业的行为，其中pTx￡c是成本预算约束，一般可改为等式。从优化模型中解出的
　　x=x(p1,p2…,pn,c)
　　称为对投入的需求分配，将其代入生产函数后，得到
　　y=f[x(p1,p2,…pn,c)]
　　解其关于c的反函数，即生产成本函数，
　　c=c(p1,p2…,pn,y)
　　再固定投入价格p，就得到生产成本曲线
　　c=c(y)
　　在生产成本中，随着产出量的变动而变动的部分叫做变动成本，不随着产出量的变动而变动的部分叫固定成本。它们分别是(或等于)c(0)和c(y)-c(0)。设产出的价格为p0，则利润为
　　P=p0y－c(y)
　　将P极大化解出最佳产出量 ，这时边际收益MR等于边际成本MC，即
　　解出
　　或反解成
　　y=y(p0)
　　这正是企业的供给曲线。换言之，边际成本曲线就是供给曲线。产出y也是市场上的商品，那么我们对某种商品得出其需求曲线D=D(p0)和供给曲线S=S(p0)后，就可以由模型
　　确定该商品的均衡价格p0*和均衡量Q*=D*=S*。关于竞争的市场经济中，需求方程和供给方程最重要的一点不是它们能确定相对价格和产出量，而是价格和产出被确定的方式。
　　企业对某种投入的需求也可以从模型中得到解释，生产函数y=f(x1,x2,…xn)的偏导数 的经济含意是该投入的边际产出率，那么如果
　　pi
　　则表示增加投入Dxi带来的收益p0Dy大于费用的增加piDxi，于是企业增加投入xi。因为边际产出率递减，所以当
　　=pi
　　时，企业停止投入xi。
　　如果某市场上出现垄断，这时产出仍由边际收益和边际成本的交点确定，但是价格由产出代入需求函数而定。即由
　　解出y*，再由
　　y*=y(p0)
　　解出p0*。
　　最后，对整个市场经济体系而言，若其产出为x1，…，xn，由一切产出的可能组合应构成一个生产可能性集合R，全社会的福利由效用函数U(x1，…，xn)表示，则一般来说，R是凸集，且U(x1，…，xn)是凹函数。R的外点构成的曲面叫作生产转换曲面。在最优解点上，生产转换曲面的梯度应和全社会无差异曲面的梯度一致。而梯度的分量恰好是相对价格的负值。我们把这些模型留给读者思考。 附录1
　　(16.1)
　　将(4)代入(3)
　　将上式代入(16.1)
　　(16.2)
　　由于i￠=q，则由(1)
　　(16.3)
　　由(16.2)及(16.3)得
　　附录2
　　我们首先介绍赫斯定理，它是研究一维系统的运动稳定性的基础。在此之前，我们引进两个引理[6]：
　　引理1 考虑方程
　　w=cew (1)
　　位于w的上半平面的根。
　　(i)当c0，在每一带形区域
　　2kp
　　内，方程(1)都有一个根位于曲线
　　b=±(c2a2a-a2)1/2 (3)
　　与曲线
　　a=bctgb (4)
　　的对应分支的唯一交点上。除此之外，当0
　　(ii) 当c
　　(2k+1) p
　　内的曲线(3)与(4)的交点上。
　　(iii) 在这两种情况都有对应的方程(1)的根位于w的下半平面。
　　(iv) 方程(1)仅当c=e-1才有实根，且w=1是方程(1)的重根。
　　(v) 当0 < c < e-1时，方程(1)有两个根位于实轴的正半轴与曲线(3)的交点上。
　　(vi) 当c
　　引理2 方程w=cew的所有根位于直线Re(w)=r的右边，当且仅当 r < 1
　　及 re-r < c < e-r(f2+r2)1/2
　　这里对0 < f < p的f而言，f=f(r)是fctgf=r的唯一零点。
　　关于这两个引理的证明是极其繁琐的，请参阅有关专著[32]。
　　赫斯定理 方程wew-a1ew-a2=0的根均在Re(w)=r的左方的充要条件是a1-r
　　a1=a
　　a2=bq-a
　　w=qs
　　则可证明命题1。我们注意到如果取
　　a1=qa(1-c)/v1(1+b)+v2
　　a2=-q(1-c)/[v1+v2/(1+b)]
　　w=-qs
　　则可利用赫斯定理证明命题2，但这里用到引理1关于根的性质。
　　我们考虑函数
　　f(w)=wew-aew-a2
　　它是下单峰函数，实数域上最小值点w=a1-1，唯一的拐点w=a1-2,左极限为-a2，右极限+￥。因此，方程
　　wew-a1ew-a2=0
　　有实根的充要条件是
　　f(w)￡0
　　于是，我们得到引理3。
　　引理3 方程
　　wew-a1ew-a2=0
　　的根均为实数的充要条件是
　　-ea-1-a2￡0
　　从引理3中可以得一个直接推论：方程(7)的根均为复根（虚部不为零）的充要条件是
　　ea-1-a2 > 0
　　我们进一步考虑方程(7)的实根，显然，其最大的实根位于零的左边，必须是以下三条同时成立。
　　(1) f(w) ￡0
　　(2) f(0) > 0
　　(3) w < 0
　　反之亦然。结合赫斯定理，我们就证明了命题3。关于命题4的证明，与命题3类似，这里恕不赘述。有兴趣的读者可参阅文献[11]，[32]。