蓝光是什么意思:第三章 数字特征与特征函数
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/29 06:13:36
§1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
三、一般定义
四、随机变量函数的数学期望
五、数学期望的基本性质
六、条件数学期望
分布函数可以全面地描述一个随机现象,但在实际工作中,人们不易掌握随机变量的分布函数,故全面描述较难做到.因此要引入某些数字特征以反映随机变量的主要性状.另一方面,根据经验,某些随机现象的随机变量服从某类分布,它们的一些参数可由某些数字特征确定. 对这些随机现象,数字特征有更重要的意义. 主要的数字特征有描述平均水平的数学期望(即均值)和描述相对于均值的离散程度的方差. 还有描述两个随机变量间线性关系密切程度的相关系数等,本章将详细介绍它们的概念、性质和计算.
本章还将讨论描述随机变量的一个强有力的工具——特征函数,并利用它,对在多元分析中起主要作用的多元正态分布作一介绍.
§1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
例1 为评价甲的射击技术,随机观察甲的10次射击,统计各次击中环数
击中环数
8 9 10
频
2 5 3
频 率
0.2 0.5 0.3
解 这是一般求平均数
写成一般形式就是
若要全面考察甲的射击技术,仅凭这10次观察是不够的,因为频率
定义1 设离散型随机变量ξ的分布列为
如果级数
注:条件
例2 退化分布
例3 二项分布
=
=
=
特别当n =1时,得到两点分布 (0—1分布)的数学期望为
例4 泊松分布
故泊松分布中参数λ就是它的数学期望.
例5 几何分布
=
上述各例中,或者只有有限项,或者
例6 设P(
虽有
二、连续型随机变量的数学期望
若ξ是连续型随机变量,其密度函数为
P (
近似地视为落在一点上的概率,此时与它相应的离散型随机变量的数学期望为
定义2 设ξ为连续型随机变量,有密度函数
为
例7 均匀分布的密度函数:
例8 指数分布密度函数:
如果注意到指数分布与泊松分布的关系,上述结果是容易理解的.
例9 正态分布
因为
=
=
上述第二个等式系通过变量代换
例10 柯西(Cauchy)分布的密度
三、一般定义
上一小节中我们把连续型随机变量的数学期望定义作
由此我们引入一个新的积分,叫做斯梯尔吉斯(Stieltjes)积分,而把上式右端的极端记作
定义3 设随机变量
为
顺便指出, 对于这类积分,有
由此对任何随机变量
四、随机变量函数的数学期望
定理1 设
这一定理的严格证明要用到测度理论中的积分论. 但就常见的特殊情况还是容易证明的. 例如, 设
另一方面若令
所以此时(5)式成立.
(5)式在计算随机变量函数的数学期望时很有用. 事实上,如利用(3)式计算,要先按第二章§5的方法求得
例11 设随机变量
解
定理1的结论可推广到随机向量的函数上.设
特别地有
其中
等等.
五、数学期望的基本性质
性质1 若
性质2 若
特别地我们有
性质3 若
证 因为
=
故
解 在例3中已算得
设计一个伯努里试验,记
例13 设
求
解 设计一个不放回抽样. 令
例14 设随机变量
证 因
由此
=
=
从而得
下面再看几个数学期望应用的例.
例15 在一个人数很多的单位中普查某疾病, N个人验血,可用两种方法: (1) 每个人化验一次,共需化验N次;2)
解 记用第二种方法化验时,一组
第二种情况是
所以
当
例16 国际市场上每年对我国某种商品的需求量
解 收益
而
易见当
例17 有
解 记
并记第
由于各企业被抽到的概率相同, 故
其中
六、条件数学期望
在第二章§4曾引入条件分布的概念,它具有通常分布函数的一切性质. 因此也可以对它求数学期望,称为条件数学期望(conditional expectation).
设在
从第二章§4例知,若
若以
这里对连续型随机变量给出证明:设
由
当
它类似于全概率公式,称为全数学期望公式(total expectation formula).
例18 设
解 记