蓝光岁月论坛:概率论-浙江大学数学系3

第三节 概率的公理化定义
§3  概率的公理化定义
一、事件
二、概率空间
概率的统计定义，古典概型的概率以及几何概率都反映了部分客观实际．后两个克服了第一个的描述性定义的缺点，便于计算，但仍有不足之处．例如古典概型与几何概率都建立在“等可能性”的基础上，但是一般的随机试验不一定完全具备这种性质．而且对“等可能性”的不同理解甚至可能导致不同的答案．本节中我们先把统计概率、古典概率、几何概率等的性质抽象化，把其中最基本的因素作为规定（公理），其它性质则可由它们导出．
一、事件
随机试验中，除了那些基本结果——样本点以外，还可列出其它的一些结果．如在§2的例1中，还可能出现下面各种结果：
A={取得红球或白球}；
B={取得球的号数小于5}；
C={没有取得红球}
等等．这些都是事件．
如果把样本空间看成讨论问题的全集，样本点是全集中的元素，那么事件可以定义为样本空间中的某种子集，或者说是样本点的某种集合．在上面讨论的例子中，若取作为样本空间，那末
A={;
B={;
C={．
事件一般用大写英文字母A, B, C, …表示．
如果一次试验中某样本点ω出现，而ω∈A，则称事件A发生．样本空间Ω自然也可看作一个事件．因为在每次试验中必然出现Ω中的一个样本点，也即Ω必然发生，所以Ω就是必然事件．类似地，把空集φ作为一个事件，它在每次试验中必定不发生，所以φ就是不可能事件．
把事件看作样本点的集合，这种观点使我们能用集合论的方法来研究事件，特别是可用集合之间的关系和运算来研究事件之间的关系和运算.下面就来叙述它们．
事件A包含B（B包含于A); 记作AB（或BA）．例如，若以A记“产值超过2亿”，以B记“产值超过3亿”．则AB．其含义为：事件B发生导致事件A发生，或者说，若ω∈B，则ω∈A．
事件A与B相等，记作A =B，表示AB并且BA．
事件A与B的和事件，记作A∪B，也称为A与B的并，表示A与B至少一个发生．例如仍以A记“产值超过1 亿”，而以B记“产值在0．5 亿和1．5亿之间”，则A∪B=“产值超过计划0．5亿”．
事件A与B的积事件，记作A∩B，(也记作AB)，表示事件A发生并且事件B也发生，即A与B两事件都发生．对上面的例子A∩B=“产值在1亿与1．5亿之间”．
事件A与B的差事件，记作A－B，表示A发生而B不发生，显然A－B=．对上面的例子A－B=“产值超过1．5亿”．
如果A与B两事件不可能都发生，即A∩B=φ，就称A与B互不相容．在这种情形，有时以A+B代A∪B．
如果事件A与B不可能都发生，并且A与B至少发生一个，即A∩B=φ且A∪B=Ω, 就说B是A的逆事件（或对立事件，余事件)；记作B=(或)；此时A也是B的逆事件．
事件的关系与运算满足集合论中有关集合运算的一切性质，例如
交换律：A∪B=B∪A，AB=BA；
结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）；
分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，
（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；
德莫根（De Morgan）律：,;
对于几个事件，甚至对于无限可列个事件，德莫根律也成立．
读者要学会把集合论的写法与事件运算的有关意义互相翻译，要学会利用事件的运算把复杂事件分解成简单事件．
例1  若A, B, C是三个事件，则
{A与B都发生而C不发生}为AB或AB－C或AB－ABC；
{A、B、C三事件都发生}为ABC；
{三事件恰好发生一个}为;
{三事件恰好发生两个}为;
{三事件至少发生一个}为A∪B∪C或      ++ABC．
例2  一系统由元件A与B并联所得的线路再与元件C串联而成（如图）．若以A、B、C表示相应元件能正常工作的事件，那么事件W={系统能正常工作}={元件A与B至少一个能正常工作并且C能正常工作}=（A∪B）C或者AC∪BC．
图1-3
二、概率空间
概率空间包含三个要素．
第一要素为样本空间Ω，是样本点ω的全体，根据问题需要事先取定；
第二要素为事件域, 是Ω中某些满足下列条件的子集的全体所组成的集类:
1．；
2． 若, 则；
3． 若, 则．
满足这三个条件的称为Ω上的σ-代数或σ-域．中的元素（Ω的子集）称为事件．
由这三个条件，可以推得事件域有下列性质：
4． φ∈,（因φ=）;
5． 若∈, 则∈,（因=）;
6． 若∈, 则∈,∈．
于是必然事件，不可能事件，事件的逆，有限和，有限交，可列和以及可列交等等都是事件，从而这些运算在事件域内都有意义．
事件域也可以根据问题选择．因为对同一样本空间Ω，可以有很多σ-代数，例如最简单的是={φ,Ω}，复杂的如={Ω的一切子集}也是σ-代数，因此要适当选择．特别常用的有：
若Ω为有限个或可列个样本点组成，则常取Ω的一切子集所成的集类作为，像在古典概型中所做那样．不难验证，是σ-代数．
若Ω=(一维实数全体)，此时常取一切左开右闭有界区间和它们的并、交、逆所成的集的全体为，称为一维波雷尔(Borel)σ-代数，其中的集称为一维波雷尔集．它是比全体区间大得多的一个集类．
若Ω=（n维实数空间），则常取一切左开右闭有界n维矩形和它们的（有限或可列）并，（有限或可列）交、逆所成的集的全体为，它包含了我们感兴趣的所有情况，称为n维波雷尔σ-代数．
如果我们对Ω的某个子集类感兴趣，所选的事件域可以是包含的最小σ-代数，这种σ-代数是存在的，因为：1．至少有一个包含的σ-代数即上述． 2．若有很多包含的σ-代数，则它们的交也是σ-代数，且就是最小的．
特别地，如果我们只对Ω的一个子集A感兴趣，则包含A的最小σ-代数就是
={φ,A,,Ω}．
概率空间的第三个要素是概率P． 对概率的定义应包含前面统计定义、古典概率、几何概率等特殊情况，因此可以这样定义概率：
概率是定义在上的实值集函数：A()P(A)，并且满足下列条件（公理）：
P1．（非负性）对任一A, P(A)≥0;
P2．（规范性）P(Ω)=1;
P3．（可列可加性）若是中两两互不相容的事件，则
P(．
用测度论的话说，概率是定义在σ-代数上的规范化的测度．
三元体 (Ω,, P) 就构成一个概率空间(probability space)．
下面再举个具体例子来说明实际问题中概率空间是怎样构造的．
例3 某人生产一批产品，任取一个产品．我们只关心它是否是正品，则可取A={产品是正品}，Ω=（A，），事件域={φ,A,,Ω}，再赋予F中各事件以概率：P(φ)=0，P(A)=p (),   P()=1－p,  P(Ω)=1, 这样定义的概率满足概率的三个条件． (Ω,,P) 就是概率空间． 这里的P(A) 事实上就是这批产品的正品率．
由此可知，概率的公理化定义只是规定了概率这个概念所必须满足的基本性质，它没有也不可能解决在特定场合下如何定出概率的问题．这一定义的意义在于它为一种普遍而严格的概率理论奠定了基础．
通常，对于一个具体问题，构造其概率模型时，样本空间和域的确定并不困难；但确定每个基本事件的概率大小往往需要足够的与问题相关的背景知识．概率论学科的主要任务是研究如何从简单事件的概率去计算复杂的、更有兴趣的事件的概率，因而总假定概率模型是给定的 ．
从上述定义我们可直接推出下列概率的运算公式．
1． P(φ)=0．
2． 若=φ, i, j=1,2,…, n, 则
P(．
3． P()=1－P(A)．
4． 若BA，则P(A－B)=P(A)－P(B)．
5． P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)．
第1条的证明：因为P(Ω)=P(Ω+φ+φ+…)= P(Ω)+P(φ)+P(φ)+…,两边消去P(Ω)，就有P(φ)=0．
第2条称为有限可加性，它可从可列可加性与第1条推得(对,令φ)． 结合1、2两条，容易推得第3条．
为证明第4条，只须注意A=B + (A－B)，并且φ，再应用第2条即可．
注意第4条必须有条件，如果取消这条件，则因A－B = A－AB，就有
6． P(A－B) = P(A)－P(AB)．
第5条可这样证明：A∪B= A+ (B－AB), 而=φ,又,故P(A∪B)= P(A) +P(B－AB)= P(A) + P(B)－P(AB)．
如果AB=φ，第5条就变成第2条的情况．
利用归纳法，第5条可以推广到任意个事件的和：
7．（多还少补定理）
P(∪∪…∪)=
++…+．            在实际问题中，可以先把一个复杂事件运用事件的和、交、差与逆等运算分解为较简单的事件，再利用概率运算公式进行计算．
例4 口袋中有n (3) 个球，编号为1, 2, …,n． 任取三球，求1、2号球至少出现一个的概率．
解法1  直接利用古典概型计算．{1,2号球至少出现一个}={恰好出现一个}+{两个都出现}, 故
P=．
解法2  记={出现第i号球}，i =1, 2． 则所求概率为
P(．
解法3 的逆事件为=，故
P()=1－P()=1－．
读者自己可以验证这三结果是相同的．
例5  某班有n个士兵，每人各有一支枪，这些枪外形完全一样． 在一次夜间紧急集合中，每人随机取一支枪，求至少有一人拿到自己的枪的概率．
解  记{第i个人拿到第i条枪}, i=1,2,…,n, 则所求为P(．又
P(,  P(, 1≤i < j≤n, …,  P(,
故       P(=
=
这类问题称为匹配问题．
概率测度的连续性.
给定一概率空间（A ,P）． 假设是一列单调增加的事件序列，即

记，称为的极限．从公理化定义可以看出，仍然是一个事件．下面定理给出该事件的概率大小．
8．连续性定理  如果是一列单调增加事件序列，具有极限，那么
．
证明． 对k=1,2,… 令．那么是一列不相交事件的并．根据可列可加性，

=．
另外，． 因此，

=
正是在上述定理的意义下， 我们说概率具有连续性．
如果是一列单调减少事件序列，记,那么同样有，请读者自行证明．
例6  独立投掷一枚均匀硬币无穷多次，一次正面都没出现的可能性显然是0．下面我们可以用上述连续性定理给出严格的解释：令表示前n次投掷中至少出现正面一次，那么．记，表示正面最终会出现．这样，
．