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以静制动，动中窥静

浅谈动点问题的解决策略

宝应县安宜初级中学    李步章

世间万物运动是绝对的，静止是相对的，这是辩证唯物主义的观点。随着新课程标准的进一步实施，有关动点问题内容的考察在中考试题中屡见不鲜，面对这类问题，考生往往有些茫然。下面简说这类问题的解决方法，其主要策略是：以静制动，动中窥静。

1、利用特定的数学模型，以静制动

〖模型〗如图：点A、B在直线 的同侧，在直线 上求一点P，使PA＋PB最小。

这个问题的求解是大家非常熟悉的，在历年的中考试题中经常被考查。

例题1  如图：等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点。若AE=2，EM+CM的最小值为_______________．（2010年山东滨州）

利用等边三角形的轴对称性，显然点C和点B关于直线AD对称，利用学模型连接BE，则BE与AD的交点M为所求，BE的长即为EM＋CM的最小值。

2、利用图形的基本性质，以静制动

几何性质：“两点之间线段最短”以及“直线外一点和直线上各点的连线中，垂线段最短”等，也是解决几何中动点问题的重要依据。

例2  （2010年四川省自贡市）如图，点Q在直线y＝－x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为____________。

点Q在直线y＝－x上运动，根据几何性质，它与点A的所有连线中当线段AQ垂直于直线y＝－x时AQ最短，利用等腰直角三角形的性质就可以求出点Q的坐标。

3、弄清点的运动状态，画出各种运动状态下的图形，以静制动。

任何一个运动的物体均可以看成质点的运动，随着点的运动，与之相关的图形也会发生变化，但它在同一范围内运动形成的图形相对是稳定的，也可以说是静止不变的。因此，对每个范围内运动状态画出图形显得尤为重要，做好这一步可以将问题化为熟悉的问题去解决。

例如3  点P按A→B→C→M的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CD边上的中点。设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图像是（　　）

根据题意画出图形：

有三种状态

（1）点P在AB边上时，即当 ≤ ≤1时（如图1）

S_△APM= ·BC=

（2）点P在CD边上时，即当1≤ ≤2时（如图2）

S_△APM=S_{正方形ABCD}-S_Rt△ABP-S_Rt△PCM-S_Rt△ADM

=1- AB·BP- PC·CM- AD·DM

=1- ×1×( -1)- × (2- )- × ×1

= -

（3）点P在AB边上时，即当2≤ ≤2.5时（如图3）

S_△APM= ·PM= ×1×( - )

= -

进而不难得出结论A

例4  （2010年苏州市）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐      ．(填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

第（1）题只要考生“心里”画出FC最长和最短时（极点位置）的图形，此时的点F从初始位置到终点位置的轨迹就形成一个如图所示矩形ADF＇F

此时FF＇上的任一点P与点C距离PC满足下列关系：F＇C≤PC≤FC（大角对大边），因此结论应为变小。

而且第（2）个问题中的每一个问题的解决无不说明“以静制动”。抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间，将这些点锁定在某一位置上，画出图形，化动为静，问题的实质就显现出来，从而得到解决问题的方法。

因此问题①在画出图形的情形下实质为下列问题：

如图，∠ABC=∠FDE =90°，∠A=30°，

∠DEF=45°，BC=6cm，DE=4cm，当AD=      cm时FC∥AB。

这个问题的解决是非常容易的。

第②的问题的解决是利用方程的数学模型和分类的数学思想，就是用含未知数的代数式表示线段AD，然后分（Ⅰ）当线段FC为斜边时；（Ⅱ）当线段AD为斜边时；（Ⅲ）当线段BC为斜边时三种情况进行求解。此处无图胜有图。

第③个问题的解决是从结论出发，先画出图形，通过计算说明其结论是否存在。

根据题意所画图形如图，过点F作∠CFE的平分线FP，利用直角三角形和等腰三角形形等的相关性质计算得出:DC= ＋8＞12从而说明不存在.

以上是解决动点问题一些浅显的看法,但要使问题得以解决还必须给合具体问题建立函数模型、方程模型来求解，涉及的数学知识点主要有全等、相似等。