苍月战士绿版图解:初三数学应知应会的知识点

初三数学应知应会的知识点        一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；     Δ=0 <=> 有两个相等的实根；
Δ＜0 <=> 无实根；               Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0  (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
※ 5．当ax2+bx+c=0  (a≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 ；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数  Û  = 0且Δ≥0  Û  b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数  Û  =1且Δ≥0  Û  a = c且Δ≥0；
（3）只有一个零根  Û  = 0且 ≠0  Û  c = 0且b≠0；
（4）有两个零根    Û  = 0且 = 0  Û  c = 0且b=0；
（5）至少有一个零根    Û  =0  Û  c=0；
（6）两根异号  Û  ＜0  Û  a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û ＜0且 ＞0Û a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û ＜0且 ＜0Û a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根  Û  ＞0， ＞0且Δ≥0  Û  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根  Û  ＞0， ＜0且Δ≥0  Û  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)  或  ax2+bx+c= .
7．求一元二次方程的公式：
x2 -（x1+x2）x + x1x2  = 0.    注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：
(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.
（2）常利用以下相等关系列方程：     第三年=第三年   或  第一年+第二年+第三年=总和.
9．分式方程的解法：
10. 二元二次方程组的解法：
※11．几个常见转化：
；
；
解三角形
1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么
sinA= ；      cosA= ；
tanA= ；      cotA= .
2．余角三角函数关系  ------  “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：
sinA=cosB；    cosA=sinB；    tanA=cotB；     cotA=tanB.
3. 同角三角函数关系：
sin2A+cos2A =1；    tanA·cotA =1.   ※ tanA=      ※ cotA=
4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.
5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数
值，要熟练记忆它们.
∠A
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1
cosA
1
0
tanA
0
1
不存在
cotA
不存在
1
0
※ 6. 函数值的取值范围：  在0°             90°时.
正弦函数值范围：0            1；      余弦函数值范围: 1             0；
正切函数值范围：0            无穷大； 余切函数值范围：无穷大              0.
7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.
※ 8. 关于直角三角形的两个公式： Rt△ABC中:   若∠C=90°,
9．坡度： i = 1:m = h/l = tanα；  坡角: α.
10. 方位角：
11．仰角与俯角：
12．解斜三角形：已知“SAS” “SSS” “ASA” “AAS” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
※ 13．解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解；  （2） ∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.
14．解三角形的基本思路：
（1）“斜化直，一般化特殊” -------  加辅助线的依据；
（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想；
（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.
函数及其图象
一  函数基本概念
1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.
※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.
※3. 函数的确定：对于 y=kx2  (k≠0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系：
（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为:  M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标；
（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：
（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也
成立；
（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:
x=y  <=>  M在一三象限角平分线上；      x=-y  <=>  M在二四象限角平分线上.
（5）对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：
关于y轴对称的两点  <=>  横相反，纵相同；
关于x轴对称的两点  <=>  纵相反，横相同；
关于原点对称的两点  <=>  横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”
（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 .
（2）如图， 象限上的点M（x,y）:
到y轴距离：dy=|x|；  到x轴距离:  dx=|y|；
.
（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离：
MO=|y|；  NO=|x|.
※（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离：
※ 6. 几个直线方程 :
y轴  <=> 直线 x=0 ；   x 轴 <=> 直线 y=0 ；
与y轴平行，距离为∣a∣的直线  <=>  直线 x=a；
与x轴平行，距离为∣b∣的直线  <=>  直线 y=b.
7. 函数的图象：
(1) 把自变量x的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；
(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！
(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；
(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.
8. 自变量取值范围与函数取值范围：
一次函数
1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . (k≠0)
2. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b (k≠0)的图象是
一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点( 0,b )和x轴上的点( -b/k,0 )；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b叫直线y=kx+b (k≠0)在y轴上的截距，b的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值.
3.y=kx+b  (k≠0) 中，k，b符号与图象位置的关系：
4. 两直线平行：两直线平行 <=> k1=k2  ※ 两直线垂直<=> k1k2=-1.
5. 直线的平移：若m＞0,n＞0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n个单位长度得y=kx+b-n （直线平移时，k值不变）.
6.函数习题的四个基本功：
(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0 ,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 ,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；
(2) 点求式： 已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式 ------ 待定系数法；
(3) 距求点：已知点M(x0 ,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；
(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.
正比例函数
1.正比例函数的一般形式：y=kx (k≠0)；  属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.
2．画正比例函数的图象：正比例函数y=kx (k≠0)的图象必过
(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例
函数图象时应取的两个点，即列表如右：
3.y=kx (k≠0)中，k的符号与图象位置的关系：
4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式------ 待定系数法.
二次函数
1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)
2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.
3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：
（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2 (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0,  y=a(x-0)2+0,  y=a(x-0)(x-0).
4. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：
5. 二次函数y=ax2+bx+c  (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：
(1)  a＞0 <=>  抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；
(2)  c＞0 <=>  抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；
c＜0 <=>  抛物线从原点下方通过；
(3)  a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；
b=0  <=>  对称轴是y轴；
(4)  Δ＞0  <=>  抛物线与x轴有两个交点；
Δ=0   <=>  抛物线与x轴有一个交点（即相切）；
Δ＜0  <=>  抛物线与x轴无交点.
6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.
8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k  (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值  y最值= k.
9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）
10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：
k值增大 <=> 图象向上平移；             k值减小  <=>  图象向下平移；
（x-h）值增大 <=> 图象向左平移；         (x-h)值减小  <=>  图象向右平移.
11. 二次函数的双根式：(即交点式)  y=a(x-x1)(x-x2)  (a≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.
12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）
13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.
反比例函数
1. 反比例函数的一般形式： 图象叫双曲线.
※ 2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0, 故函数图象与y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象与x轴也不相交.
3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：
4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.
函数综合题
1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.
2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.
3．函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k≠0)、一次函数y=kx+b (k≠0)都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数 可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.
4．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）如二次函数y=ax2+bx+c  (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；
（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.
（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式:  OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C(0,c),也有关系式: OC=|c|.
5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：
Δ＞0 <=> 方程组有两个解； Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.
初三数学应知应会的知识点   ( 圆 )
几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1.垂径定理及推论:
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例：
∵ CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
几何表达式举例：
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例：
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)
（1）       （2）（3）          （4）
几何表达式举例：
（1） ∵∠ACB= ∠AOB
∴  ……………
（2） ∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°
（3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB是直径
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是RtΔ
5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例：
∵ ABCD是圆内接四边形
∴  ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
几何表达式举例：
（1） ∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
（2） ∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
（3）  ……………
7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.
几何表达式举例：
∵ PA、PB是切线
∴ PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO =∠BPO
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如图）
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）
（1）               （2）
几何表达式举例：
（1）∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD =∠CAB
（2）
∵ ED，BC是切线
∴ ∠CBA =∠DEF
9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
（1）               （2）
几何表达式举例：
（1） ∵PA·PB=PC·PD
∴………
（2） ∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
（1）                   （2）
几何表达式举例：
（1） ∵PC是切线，
PB是割线
∴PC2=PA·PB
（2） ∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
（1）                   （2）
几何表达式举例：
（1） ∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
（2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ，
边长an ，内角bn ， 边数n；
（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例：
(1)  an  = ；
(2)
几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一  基本概念：圆的几何定义和集合定义、  弦、  弦心距、 弧、  等弧、  弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、  弦
切角、  圆的切线、  圆的割线、   两圆的内公切线、  两圆的外公切线、  两圆的内（外）
公切线长、  正多边形、  正多边形的中心、  正多边形的半径、  正多边形的边心距、  正
多边形的中心角.
二  定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三  公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L= ；（3）圆的面积S=πR2.
（4）扇形面积S扇形 = ；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh；  (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 = .  （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四  常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.
4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交 Û d＜r ；  直线与圆相切 Û d=r ；  直线与圆相离 Û d＞r.
5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离  Û  d＞R+r；   两圆外切  Û  d=R+r； 两圆相交  Û  R-r＜d＜R+r；
两圆内切  Û  d=R-r；   两圆内含  Û  d＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
7．关于圆的常见辅助线：
已知弦构造弦心距.
已知弦构造RtΔ.
已知直径构造直角.
已知切线连半径，出垂直.
圆外角转化为圆周角.
圆内角转化为圆周角.
构造垂径定理.
构造相似形.
两圆内切，构造外公切线与垂直.
两圆内切，构造外公切线与平行.
两圆外切，构造内公切线与垂直.
两圆外切，构造内公切线与平行.
两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.
两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.
PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.
相交弦出相似.
一切一割出相似, 并且构造弦切角.
两割出相似,并且构造圆周角.
双垂出相似,并且构造直角.
规则图形折叠出一对全等，一对相似.
圆的外切四边形对边和相等.
若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.
等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.
RtΔABC的内切圆半径：r= .
补全半圆.
AB= .
AB= .
PC过圆心，PA是切线，构造
双垂、RtΔ.
O是圆心，等弧出平行和相似.
作AN⊥BC，可证出:
.