九乡新闻网自动化生产线解决方案:要重视沟通数学知识与方法的思维训练
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/03 12:25:51
要重视沟通数学知识与方法的思维训练
肇庆地区教育局教研室 李统塘
数学是一门知识与方法连贯性、系统性、综合性很强的学科，在教学中如能注意培养沟通知识与方法的思维能力，加强这方面的训练，不但有助于学生对所学数学知识及其相互间内在联系的认识与理解，且能使学生学会把各种表面上零散的知识与方法，组成系地、结构严密的知识网，为学习新知识、解决新问题打下牢固的基础。
例１、试比较Ｘ２ 和Ｘ的大小。
初一学生刚学完代数式的值后，训练了这道练习题，当时学生只能从估计Ｘ的不同取值范围去考虑，但这种解法是难以得到完整的答案的。当学生学完二次函数的有关知识之后，我们就可以引导学生这样去考虑，设Ｙ＝Ｘ２ －Ｘ。
Ｘ２ －Ｘ＝０的两根为０，１，
当Ｘ＜０或Ｘ＞１时，Ｙ＞０，即Ｘ２ ＞Ｘ；
当Ｘ＝０或Ｘ＝１时，Ｙ＝０，即Ｘ２ ＝Ｘ；
当０＜Ｘ＜１时，Ｙ＜０，即Ｘ２ ＜Ｘ。
这种解法较仅从估计Ｘ的不同的取值范围去解，不同简明，而且有规律可依，不会漏解，又能使所学的知识系统化、结构化。因此，我们可以引导学生运用这种思想方法去解决更为复杂的问题，如比较下列各组中每两个式的大小：
（１）－３（Ｘ＋２）２ 与２（Ｘ－１）２ ；
（２）Ｘ２ ＋２Ｘ与３Ｘ２ ＋３；
（３）ａ２ Ｘ２ ＋ｂ２ Ｘ＋ｃ２ 与ａＸ２ ＋ｂＸ＋ｃ（ａ２ 、ａ≠０，且ａ２ ≠ａ）。
通过例１，说明如何引导学生沟通课本前后出现的同一知识的思维方法，学生一旦掌握这种思维方法，那么就可发现，能够互相沟通的内容，课本中随处都有。如通过题目“试求抛物线Ｙ＝（１/２）
Ｘ２ －３Ｘ＋１/２的焦点坐标、准线方程。”就把初中学到的抛物线知识与高中解析几何学到的抛物线知识沟通起来了。又如通过题目“试求双曲线ＸＹ＝１的实轴和虚轴的长、离心率。”就把初中的反比例函数Ｙ＝１/Ｘ与解析几何中的双曲线问题沟通起来了。
例２、从实数的取值范围，讨论下面方程组解的情况：
Ｙ＝ｍＸ＋３ｍ （１）
这样的题目，仅用代数方法，想通过方程
解：方程（１）表示过定点（－３，０），斜率为ｍ的直线束；方程（２）表示以点（０，２）为圆心，半径等于２的下半圆周，如右图。
图可知，直线ＢＣ的斜率ＫＢＣ ＝２/５，直线ＡＣ的斜率ＫＡＣ ＝２。
①当ｍ＜０或ｍ＞２时，直线（１）与半圆（２）无交点，方程组无实解；
②当ｍ＝０时，直线（１）与半圆相切（有一个交点），方程组有一组解；
③当０＜ｍ≤２/５时， 直线（１）与半圆有两个交点，方程组有二组解；
④当２/５＜ｍ≤２时， 直线（１）与半圆（２）有一个交点，方程组有一组解。
这种解法的特点，是根据几何意义把数与式的问题化为形（点、直线、线段、曲线）的问题，通过分析所得的形的各种位置关系（相交、相离、重合），从而把问题解决。它较之仅从数与式方面去考虑好，因为它把不可见的抽象的数与式转化为具体的、直观可见的几何图形。
以上这种从数化形解决问题的思维，仅是数形沟通思维的一个方面。对于解决“形”的问题，有时还应考虑将它化为数与式的问题去研究，如：
例３、如图，试用二次函数Ｙ＝ａＸ２ ＋ｂＸ＋ｃ（ａ≠０）的ａ、ｂ、ｃ表示Ａ点的坐标。
这个问题较为简便的解法可以这样考虑。
解：从图可知ａ＜０，ｂ2 －４ａｃ＞０，Ａ点的坐标由方程
ａＸ２ ＋ｂＸ＋ｃ＝０的较小根决定，而方程的两根分别为：
这种解法思路特点，是通过把“形”的问题转为数与式〔函数、方程（组）、不等式（组）〕的问题，分析所得的数或式间的关系，从而把问题解决，它较之仅从“形”方面去考虑好。因为它把不便于运算的问题，转化为可以进行运算的数或式的问题。对于更为复杂的问题，往往需要采取形数互相转换、渗透与结合的思维方法，方能得到理想的解答。
总之，如果我们在教学中，能有计划、有目的地引导学生进行沟通已学的数学知识与方法的思维训练，将会使我们导学生学得更好，更有兴味、更为主动。
（《广东教育》１９８５年１０期Ｐ２１－２２）