九乡新闻网黑龙江政法委组织结构:曲率的概念及计算公式
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/28 23:33:43
1 概念
来源 ： 为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率
，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中
表示曲线段AB上切线变化的角度，
为AB弧长。
例：对于圆，
。所以：圆周的曲率为
，是常数。
而直线上
，所以
，即直线“不弯曲”。
对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令
，即定义
，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：
。
2 计算公式的推导：
由于，所以要推导
与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）
因为
，所以
。
令
，同时用
代替
得
所以
或
具体表示；
1、
时，
2、
时，
3、
时，
（令
）
再推导，因为
，所以
，两边对x求导，得
，推出
。
下面将与ds代入公式中：
，即为曲率的计算公式。
3 曲率半径：
一般称
为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
应用举例：求
上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）
解：由于：
所以：
，