黄帝内经全文繁体:有理数计算以及知识点
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/28 07:52:59
第一部分有理数知识点梳理
一、有理数的意义
1、 正数和负数
知识点1 负数的引入
正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
知识点2 正数和负数的概念
(1) 像3、1.5、、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。
(2) 像-3、-1.5、、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。负数比0小。
(3) 零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。
注意:(1)为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5、也可以写作+3、+1.5、+。
(2)对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。
知识点3 有理数的有关概念
(1) 有理数:整数和分数统称为有理数。
注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
(3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。
(2) 整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
(3) 分数包括正分数和负分数,例如:、、0.6、-、-、-0.6等等。
知识点4 有理数的分类
(1) 按整数、分数的关系分类:
(2) 按正数、负数与0的关系分类:
注 通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a0表明a是非负数;a0表明a是非正数。
2、 数轴
数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。
知识点1 数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
数轴的定义包含三层含义:一,数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;二,数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;三,原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。
知识点2 数轴的画法
(1)画一条直线(一般画成水平的直线)。
(2)在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。
(3)确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。
(4)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……
注 (1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;
(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;
知识点3 数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
知识点4 利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
3、相反数
知识点1 相反数的概念
(1)相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如下图,4与-4互为相反数,与-互为相反数。
(2)相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
知识点2 相反数的表示方法
一般地,数a的相反数是-a。这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者0。
知识点3 多重符号的化简
(1)在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2)在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。
4、绝对值
知识点1 绝对值的概念
(1)绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“”
(2)绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即
知识点2 两个负数大小的比较
因为两个负数在数轴上的位置关系是:绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边,所以,两个负数,绝对值大的反而小。
比较两个负数大小的方法是:一、先分别求出这两个负数的绝对值;二、比较这两个绝对值的大小;三、根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
知识点3 有理数大小的比较法则
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
二、有理数的运算
1、有理数的加法
知识点1 有理数的加法
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
相加的两个有理数有以下几种情况:(1)两数都是正数;(2)两数都是负数;(3)两数异号,即一个是正数,一个是负数;(4)一个是正数,一个是0;(5)一个是负数,一个是0;(6)两个都是0。
知识点2 有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
知识点3 有理数加法的运算定律
(1)加法交换律:。
(2)加法结合律:。
2、有理数的减法
知识点1 有理数减法的意义
有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。减法是加法的逆运算。
知识点2 有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即
3、有理数的加减混合运算
知识点1 有理数加减法统一成加法的意义
对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。
知识点2 有理数加减混合运算的方法
一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。
4、有理数的乘法
知识点1 有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。
知识点2 有理数乘法法则的推广
(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。
(2)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0。
知识点3 有理数乘法的运算定律
(1)乘法交换律:。
(2)乘法结合律:。
(3)分配律:。
5、有理数的除法
知识点1 倒数的概念
乘积是1的两个数互为倒数。
由于 ,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是。若a、b互为倒数,则ab=1。
知识点2 有理数除法法则
一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。
二、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
6、有理数的乘方
知识点1 有理数乘方的意义
求n个相同因数的积的运算,叫乘方。记作“”。乘方的结果叫做幂。在中,叫做底数,n叫做指数, 读作的n次方,。
知识点2 乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
知识点3 科学计数法
把一个大于10的数记成“”的形式,其中a是整数数位中只有一位的数,这种记数法叫做科学记数法。如42 000 000=4.2×。
7、有理数的混合运算
知识点1 有理数混合运算的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
第二部分 有理数计算练习题
计算的关键:审题,判断运算顺序,然后再根据法则进行计算。一定要注意符号问题。
(-12)+13 -3-(-2) (-3.5)-2 8-(9-10)
3-[(-2)-10] (+3.41)-(-0.59)
(-0.6)+1.7+(+0.6 )+(-1.7 )+(-9 ) -3-4+19-11+2
8+(-)-5-(-0.25)
0-29.8-17.5+16.5-2.2+7.5
(-7)+(-2)+(+4)-(-4)
(-2)-(-4.7)+(-0.5)+-(+3.2)
-+(+) 90-(-3)
-0.5-(-3)+2.75-(+7)
(-16)+(+20)-(+10)-(-11);
-24+3.2-16-3.5+0.3;
0-1+2-3+4-5;
–4.2+5.7-8.4+10.2; –30-11-(-10)+(-12)+18;
(-7)-(-10)+(-8)-(+2);
; ;
(-1.2)+[1-(-0.3)] (-12)-(+8)+(-6)-(-5) (+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).
(-5.3)+(+0.2)+(-0.7)+(+9.8) (-)+(-5.8)+(+)+(-2)
(-0.32)+(+9)-(-10.32)-(+0.4) -3+-6;
30
(-3)2-(-3)3-22+(-2)2 (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4.
-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8); 2×(-3)3-4×(-3)+15.
3+50÷22×()-1
(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (-22)÷14×(-4)
22+(2-5)×3×[1-(-5)2]
3.28-4.76+1-; 2.75-2-3+1; 42÷(-1)-1÷(-0.125);
(-48) ÷82-(-25) ÷(-6)2; -+()×(-2.4).
-23÷1×(-1)2÷(1)2 -14-(2-0.5)××[()2-()3];
-1×[1-3×(-)2]-( )2×(-2)3÷(-)3 (0.12+0.32) ÷[-22+(-3)2-3×];
-6.24×32+31.2×(-2)3+(-0.51) ×624.
-32- {1+[]×(-2)4}÷(-);
(-6)-(+6)-(-7) 0-(+8)+(-27)-(+5)
(-)+(+0.25)+(-)-(+) (+3)+(+4)-(+1)+(-3)
10-[(-8)+(-3)-(-5)] -1-(6-9)-(1-13)
[1.8-(-1.2+2.1)-0.2]-(-1.5) -︱--(-)︱-︱(-)+(-)︱
-30-(+8)-(+6)-(-17) ︱-15︱-(-2)-(-5)
-0.6+1.8-5.4+4.2 - -+-
-0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9) - ︱-0.25︱+-(-0.125)+ ︱-0.75︱
(3-6-7)-(-12-6+5-7) (-2.5)+(+)+(-)+(+1)
6-9-9-[4-8-(7-8)-5] ︱(-)+(-)︱(-)+︱
3+22×(-) -72十2×(-3)2+(-6)÷(-)2
(-3)2×[ ] 8十(-3)2×(-2) 100÷(-2)2-(-2)÷(-)
-34÷2×(-)2 9-10+21; (+)-(-)-(+);
-(-)- ; ×
17- 8÷(-2)+ 4×(-5) -2÷(-5)×(-)
(-)-; -×(-3)+(+18)÷(+3)-(-2);
-1 -()×(+78); ÷.
-6÷(-3×2) 17-8÷(-2)+4×(-3)
32-50÷(-2)2×(+0.1)-1
–13-[1-(1-0.5×43)] (-8÷23)-(-8÷2)3
–55+7+99-87
(-5) ×(-2)2 -32×(-3)2
-32÷2÷2 20-5÷(-15)
(-12) ×5+(-1) ×52 - 12×5+(-1×5)2
(-2)2-(-52) ×(-1)5-87÷(-3) ×(-1)4 –14-(1-0.5) ××[2-(-3)2]
(-1)8- (1+2-3)×(-24)
12+7-5-30+2
4-5×(-)3 -3-[-5+(1-0.2×)÷(-2)]
-14-×[ 2-(-3)2 ] -8-3×(-1)3-(-1)4
(-0.1)3- {0.85-[12+4×(3-10)]}÷5
(+3.41)-(-0.59)
(-0.6)+1.7+(+0.6 )+(-1.7 )+(-9 ) -3-4+19-11+2
-0.5-(-3)+2.75-(+7)
(1-1-+)×(-24) 3+50÷2×()-1
8+(―)―5―(―0.25) ―82+72÷36
7×1÷(-9+19) 25×+(―25)×+25×(-)
(-79)÷2+×(-29) (-1)3-(1-)÷3×[3―(―3)2]
(– 1) - (+6)-2.25+
-3÷(-1)×(-4)
(+12)+(-14)-(-56)+(-27)
(-12)÷4×(-6)÷2
2
(+12)-(-18)+(-7)-(+15) (-3)×(-9)-8×(-5)
-63 ÷7+45÷(-9)
100
4×(-3)2+6; (-)×(-8+-);
(-3)3 ×0.5-(-1.6)2 ÷(-2); -32×(-3)2-(-3)3÷3;
(- 1+)×(-42); -×[-32×(-)2-2];
-22÷(-2)×(-)2; 16÷(-2)3-(-)×(-4);
–3-4+19-11+2; -3×(-2)3-(-1)1001÷0.5.
(-12.8)-(+13.2)+(-7.3)-2.5
100