麻省理工科技评论:构建小学数学应用题的“通解”

问题提出：中国古代有“鸡兔同笼”算法和“盈不足术”，“盈不足术”在国外又称“双假借法”，它们都讲授一类问题的固定解法。目前，小学数学教学提倡发散思维、一题多解和算法多样化，但缺乏多题一解的“统一思想”。事实上，著名的科学家都是学术的集大成者，如爱因斯坦、高斯等，他们都善于做统一理论。本课题在全国率先提出将“统一思想”渗透在小学数学应用题教学之中，是一种创新，具有较高的学术价值和教学实践意义。

内容提要：小学数学教师善于“一题多解”和“就题论题”，不熟悉课程改革提倡的“建模思想”和“多题一解”。立足于提高师生的解题能力，借鉴中国古代的“盈不足术”和“鸡兔同笼”问题，运用函数思想，构建小学数学应用题的“通解”。

关键词：小学数学 应用题  通解

正文：尽管小学数学应用题的题型是多种多样的，但它们的数量关系一般都可以用一次函数f(x)=kx+b表示，而且是f(0)=b,f(n)=kn+b,f(n+1)=k(n+1)+b。因此［f(x)-f(0)］÷［f(n+1)+f(n)］=［kx+b-b］÷［k(n+1)+b-(kn+b)］=（kx）÷k=x

上式为我们构建小学数学应用题的“通解”提供了算理依据。

对于小学数学应用题一般都可以这样去解：先将要求数假设为0，与实际结果比较构造一个数量差；然后再探寻要求数每增加1，上述数量差的变化规律；最后看要求数需要增加到多少，才能使这个数量差缩减为0。

这种“设值比较构造差，渐次调整缩减差”的思维方法实现了小学数学应用题的“通解”。它的解题结构是“先始于零，再止于零”，体现了“形式”的和谐美；它的解题思想是“先打破平衡，再重建平衡”，蕴含着“发展”的辩证法。

方法运用：

例1 48筐梨和42筐苹果共重1428千克，已知每筐梨比每筐苹果少4千克。每筐梨和每筐苹果各重多少千克？

分析与解：假设每筐梨的重量为0，那么每筐苹果重4千克。而48筐梨和42筐苹果共重4×42=168（千克），比实际少1428-168=1260（千克）。

每筐梨的重量增加1千克，则每筐苹果的重量也增加1千克，那么48筐梨和42筐苹果共增加48+42=90（千克）。即上述数量差缩减90千克。

每筐梨的重量要增加到多少千克，才能使“1260千克”这个差缩减为0呢？1260÷90=14（千克）。即每筐梨重14千克，而每筐苹果则重14+4=18（千克）。

综合算式：（1428-4×42）÷（48+42）=14（千克）  （梨）

          14+4=18（千克）   （苹果）

例2 一个筑路队原计划20天修完一条路，实际每天比原计划多修45米，结果15天就完成了任务。原计划每天修多少米？

分析与解：假设原计划每天修的长度为0，那么实际每天修45米。而实际修的总长度比原计划修的总长度多45×15=675（米）。 （两者实际应相等）

原计划每天修的长度每增加1米，则实际每天修的长度也增加1米，那么原计划修的总长度增加20米，实际修的总长度增加15米，上述数量差缩减20-15=5（米）。

原计划每天修的长度要增加到多少米，才能使“675米”这个差缩减为0呢？675÷5=135（米），即原计划每天修135米。

综合算式：45×15÷（20-15）=135（米）

例3 鸡比兔多3只，兔脚比鸡脚朵6只。鸡与兔各有多少只？

分析与解：假设兔的只数为0，那么鸡有3只，而兔脚比鸡脚少2×3=6（只）。实际上，兔脚比鸡脚多26只，两者相差6+26=32（只）。

兔的只数每增加1只，则鸡的只数也增加1只，而兔脚增加4只，鸡脚增加2只，上述数量差缩减4-2=2（只）。

兔的只数要增加到多少只，才能使“32只”这个差缩减为0呢？32÷2=16（只），即兔有16只，而鸡则有16+3=19（只）。

综合算式：（2×3+26）÷（4-2）=16（只）（兔）

          16+3=19（只）

例4 两堆煤，甲堆重量是乙堆的3倍，如果甲堆运来22吨，乙堆运2吨，那么甲堆重量是乙堆的5倍。两堆煤原来各有多少吨？

分析与解：假设乙堆原来的重量为0，则甲堆原来的重量也是0，甲堆运来22吨，乙堆运来2吨后，甲堆重量不是乙堆的5倍，而是比乙堆的5倍多22-2×5=12（吨）。

乙堆原来的重量每增加1吨，则甲堆的重量增加3吨。而运来后，甲堆增加3吨，乙堆的5倍增加5吨，上述数量差缩减5-3=2（吨）。

乙堆原来的重量要增加到多少吨，才能使“12吨”这个差缩减为0呢？12÷2=6（吨），即乙堆原来有6吨，而甲堆原来则有6×3=18（吨）。

综合算式：（22-2×5）÷（5-3）=6（吨）  （乙堆）

          6×3=18（吨）  （甲堆）

例5 今年，爷爷90岁，孙子21岁，孙女19岁。多少年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍？

分析与解：假设向前退的年数为0，但今年爷爷的年龄不是孙子孙女年龄和的3倍，而是比孙子孙女年龄和的3倍少（21+19）×3-90=30（岁）。

每向前退1年，爷爷的年龄减少1岁，孙子孙女的年龄和减少2岁，那么爷爷的年龄与孙子孙女年龄和的3倍之差减少2×3-1=5（岁），即上述数量差将缩减5岁。

向前退多少年，才能使“30岁”这个差缩减为0呢？30÷5=6（年），即6年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍。

综合算式：【（21+19）×3-90】÷（2×3-1）=6（年）

例6 学校买来篮球和足球共21个，篮球借出1/3，足球借出1个后，剩下的两种球个数相等。两种球各有多少个？

分析与解：假设篮球的个数为0，那么足球有21个，借出后，足球比篮球多剩下21-1=20（个）。

篮球的个数每增加1个，足球的个数则减少1个，借出后，篮球多剩下1-1/3=2/3（个），而足球少剩下1个，上述数量差将缩减2/3+1=5/3（个）。

篮球的个数要增加到多少个，才能使“20个”这个差缩减为0呢？20÷(5/3)=12（个），即篮球有12个，而足球则有21-12=9（个）。

综合算式：（21-1）÷（1-1/3+1）=12（个 ）（篮球）

          21-12=9（个） （足球）

例7 商店以每支10.9元的价格购进一批钢笔，售价为每支14元，当卖出这批钢笔的4/5时，不仅收回了全部成本，而且已获利150元。这批钢笔一共有多少支？
分析与解：假设这批钢笔的支数为0，那么卖出4/5时，收回全部成本，比实际少获利150元。

这批钢笔的支数每增加1支，则可以多获利14×(4/5)-10.9=0.3（元）。

这批钢笔的支数要增加到多少支，才能使“150元”这个差缩减为0呢？150÷0.3=500（支），即这批钢笔一共有500支。

综合算式：150÷［14×(4/5)-10.9］=500（支）

例8 建南小学六年级共有学生84人，其中男生人数的5/8和女生人数的3/4共有58人。六年级男、女生各有多少人？

分析与解：假设男生的人数为0，那么女生有84人，而男生人数的5/8和女生人数的3/4共有84×(3/4)=63（人），比实际多63-58=5（人）。

男生人数每增加1人，女生人数则减少1人。而男生人数的5/8和女生人数的3/4就减少3/4-5/8=1/8（人）。即上述数量差将缩减1/8人。

男生人数要增加到多少人，才能使“5人”这个差缩减为0呢？5÷1/8=40（人）。即男生有40人，而女生则有84-40=44（人）。

综合算式：［84×(3/4)-58］÷（3/4-5/8）=40（人）（男生）

          84-40=44（人）

值得说明的是，以上例题皆有其它解题思路，虽然上述方法也并非是每道题的最简解法，但却是它们的“通解”。

还有许多应用题可以这样来解，在此不再一一举例。请读者运用“发展”的观点和函数思想，掌握“通解”的方法，去解答更多更难的小学数学应用题吧！

练习题：

1、一张桌子比一把椅子贵22元，而12张桌子比18把椅子贵204元。一把椅子多少元？

2、一批零件，原计划每天加工100个，实际每天加工120个，结果提前5天完成任务。原计划多少天完成？

3、鸡兔共有100只，而鸡脚比兔脚多80只。兔有多少只？

4、师生二人，今年老师是学生年龄的5倍，6年后，老师的年龄是学生的3倍。今年学生多少岁？

5、今年，爸爸44岁，儿子12岁。多少年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

6、一艘轮船往返于两码头之间，去时顺流每小时行42千米，返时逆流每小时行30千米，往返一共用18小时。两码头相距多少千米？

7、两堆煤，甲堆重量是乙堆的4/5，甲堆用去4吨，乙堆用去6吨，剩下的重量，甲堆是乙堆的5/6。乙堆剩下多少吨？

8、姐妹俩共养羊100只，而姐姐养的7/10比妹妹养的7/8多7只。妹妹养羊多少只？

参考答案；

1、（22×12-204）÷（18-12）=10（元）

2、120×5÷（120-100）=30（天）

3、（2×100-80）÷（2+4）=20（只）

4、（6×3-6）÷（5-3）=6（岁）

5、（44-12×3）÷（3-1）=4（年）

6、18÷（1/42+1/30）=315（千米）

7、［6×(4/5)-4］÷（5/6-4/5）=24（吨）

8、［100×(7/10)-7］÷（7/10+7/8）=40（只）

    创新点：立足于提高师生的解题能力，运用课程改革提倡的“建模思想”，提出与“一题多解”完全不同的探究思路——“多题一解”，努力构建小学数学应用题的“通解”模式。

实践效果及推广价值：经过培训学习，渗透建模思想和函数思想，能很快地提高小学师生解决问题的能力，进一步体会解题策略的多样化。此研究成果，为开展数学探究性学习提供一个重要的内容和方法。

参考文献：数学课程标准

课题研究开始时间：2002年

早期研究成果：

1、例谈盈不足术（1998年《小学教学研究》第7期）

2、双假借构造盈亏解应用题（1998年《中小学数学》第7-8期）

3、用函数思想探求小学数学应用题“解”的规律（2002年《中小学数学》小学版第6期）

后期研究成果：

1、编制数字题解的口诀（2006年《中小学数学》小学版第1-2期）

2、破解奇数阶幻方（2007年《中小学数学》小学版第1-2期）

3、后延减前伸 差数除以N——例谈整数裂项（2007年《中小学数学》小学版第4期）

4、类比“两物假设置换”构建“三物假设置换”（ 2009年《中小学数学》小学版第6期）