九乡新闻网香港一田百货母婴地址:【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/29 18:08:02
巧想妙算文字题
1.想 数 码
例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知 1222×1222＞1221×1223
例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16－1＝15，
15－1＝14 或 16－2＝14。
若先求第一个数，则
思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100 ＝45＋63＝108。 “减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。 ［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。 要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有 12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100， 12－3－4＋5－6＋7＋89＝100， 同理得 12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100， 1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100， 1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100， 123－4－5－6－7＋8－9＝100， 123＋4－5＋67－89＝100， 123－45－67＋89＝100。 为了减少计算。应注意： (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？ 1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。 (2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。 例2 求59～199的奇数和。 由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。 例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。 知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。 所求为 10000－841＝9159。 或者 59＝30×2－1，302＝900， 10000－900＋59＝9159。 证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。 那么 M×N＝P×a×P×b。 而 Q＝P×a×b， 所以 M×N＝P×Q。 例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？ 这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。 所求是1和155，5和31。 例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。 由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。 小数的平方为4×40÷2.5＝64。 小数是8。 大数是8×2.5＝20。 算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。 10.巧用分解质因数 例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。 144＝24×32 ＝(22×3)×[(2×3)×2] ＝(4×3)×(6×2) 可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。 例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。 4896＝25×32×17 ＝24×17×(2×32) ＝16×17×18 1728＝26×33＝(22×3)3＝123 385＝5×7×11 例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？ 1992＝2×2×2×3×83 2＋3＋83＝88 例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。 1620＝22×34×5 ＝(32×22)×(32×5) 甲数是45，乙数是36。 例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。 八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。 每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为 例7 600有多少个约数？ 600＝6×100＝2×3×2×2×5×5 ＝23×3×52 只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为： 2、22、23； 3； 5、52； 2×3、22×3、23×3； 2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52； 3×5、3×52； 2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。 不含2×3×5的因数的数只有1。 这八种情况约数的个数为； 3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。 不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
9.想 份 数
17.想 法 则
用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
子比分母少16。求这个分数？
由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
18.想 公 式
证明方法：
以分母a，要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。
19.想 性 质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？
200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几？
此题特点：
(2)每组分子的排列：
假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系
分母：1、2、3、4、5、……
分数个数：1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2－1－6=13(个)位置上。
分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。
第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即
若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。
逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。
21.用 规 律
例1 第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解这类题的规律是：
先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到，可推广为
(1)当n=1、2时，等式显然成立。
(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。
=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小，分母是13的最简分数有多少个。
7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。
例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
看结果，想条件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
23.想和不变
无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。
某数为7－6＝1或12－11＝1。
24.想和与差
算理，原式相当于
求这个分数。
25.想差不变
分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。
某数为42－35＝7，或48－41＝7。
与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，
某数为11－6＝5或23－18＝5。
分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。
例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是
例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？
倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知
105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加减恒等式
个数。
若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得
这九个分数是
28.计算比较
例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？
……
可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11
凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。
不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。
只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。
29.由验算想
例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303＝( )，
商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。
所以商是12。
30.想 倍 比
31.扩 缩 法
例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。
若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又
若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5
最佳想法：
两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求
32.分别假设
例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。
设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，
正方形边长 2÷25％＝8(米)，
面积 8×8＝64(平方米)。
33.变数为式
……
34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。
26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
36.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。
例2 184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
37.变 式 法
38.推理调整
例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8：一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么，这个自然数是多少？
由奇数×奇数＝奇数，知这个自然数是两个奇数的乘积。
如果其中一个是11，乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此，两奇数都至少是13。
所求数只能是13×15＝195。
39.想 顺 推
例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，能组成多少个九位数？
由“1”，组成1个数；
由“1、2”，可组成12、21，2个数；
由“1、2、3”，可组成123、132、231、213、312、321，6个数。
可见：
由两个一位数组成的两位数的个数＝2×1：由三个一位数组成的三位数的个数＝3×2。依此类推
40.想 倒 推
倒推是常用的数学思维方法，思考途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。有些题用此法解，能化难为易。
例1 一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36得50，求这个数。
从最后的差50倒推。减前是50＋36＝86，缩小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是：
［(50＋36)× 2－100］÷3＝24。
例2 某种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长100万个。问增长到25万个时，需要几小时？
由“细菌每小时增长1倍”，知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个)，再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1＋1=2(小时)，所以增长到25万个需
10-2=8(小时)
41.推想与推断
例如，武汉市武昌区数学竞赛题：3/17的分子和分母同时加上什么数，
因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是
加上的数是35－17＝18或21－3＝18。
42.巧 归 结
例如，选择“＋、-、 ×、 ÷、( )”中的符号，把七个5连成算式，得数为 0、1、2、3、…10。
5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。
此题解法很多，这里只介绍一种。
由5÷5＝1，
5÷5＋5÷5＝2，
5＝5，
知问题可变为，怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。
1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何数都得0，易得到
0＝(5－5＋5－5＋5－5)×5
1＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)
2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－1
3＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－2
4＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－2
5＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)
6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－1
7＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋2
8＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋1
9＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－1
10＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1
若5的个数是8，则
0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－5
1＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－5
10＝5×2×1
＝5×(1＋1)×1
＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷5
9＝5×2－1
＝5×(1＋1)－1
＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷5
5＝5×(2－1)
＝5×2－5×1
＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5
由5÷5＝1
5－(5＋5＋5)÷5＝2
5=5
知其余各式的讨论，和5的个数为7时相同。即
8=5＋2＋1
=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷5
7＝5×1＋2
＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷5
6＝5＋2－1
＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷5
4＝5＋1－2
＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
3＝5×1－2
＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
2＝5－2－1
＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5
显然，若5的个数是9，只要在5的个数是7的各式后面加上(5－5)。如
10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)若5的个数是7＋2n(n为自然数)，只要在5的个数是7的各式，后面加上n个(5－5)。
若5的个数是10，只要在5的个数是8的各式，后面加上一个(5－5)。
43.巧 归 类
例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。
根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6，先编除法算式更为适宜。
(1)12÷3＝4 (2)12÷2＝6
12÷4＝3 12÷6＝2
(3)10÷2＝5 (4)8÷2＝4 (5)6÷2＝3
10÷5＝2 8÷4＝2 6÷3＝2
确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。
若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
12÷3＝4 10÷2＝5
12÷4=3 10÷5=2
4×3=12 5×2=10
3×4=12 2×5=10
剩的六个数，可组成
6＋7=13 8＋1=9
7＋6=13 1＋8=9
13－6＝7 9－1＝8
13－7＝6 9-8=1
整理：
组合：
(1)组可组合算式
(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
44.想 联 系
求这二数。
由整数除法、分数、比的内在联系想：
被除数÷除数＝商(整数)……余数；
45.想 关 系
例1 一个减法式子中，被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2＝38
例2 被减数是7，被减数、减数与差的和是多少？
7×2＝14
例3 被除数、除数和商的积是196。求被除数。
196＝2×2×7×7
＝14×14
被除数是14。
例1与此例的算理
设A－B＝C，那么A＝B＋C。
若A＋B＋C＝n，则A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。
设A÷B＝C，那么A＝B×C。
如果A×B×C＝n，则有A×A＝n。
A可用分解质因数法求。
46.想 对 调
例如，第八册P94思考题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，写出三个大小相等的分数，每个数字只许用一次。参考书中给出：
这三种和下面的四种答案的分子和分母对调，为14种。
还能求出12种
47.逻辑思考
例如，一个硬币重10克，每10个硬币为一摞，一共有10摞。从表面上看，这10摞硬币都一样，其实里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克，你能只称一次，就把这摞假币找出来吗？
从第一摞里取一个硬币，从第二摞里取两个，……从第十摞中取十个。55个放在一起称，如果都是真的，应重10×55＝550(克)。
假如称的结果是538克，那就少了12克，每个假币比真币少2克，因而有12÷2＝6(个)，说明6个硬币的第六摞是假的。
若称的结果是542克，少了8克，说明第四摞是假的。
48.由特征想
例如，哪些自然数的和能被2、4、5、7整除？
任何个偶数的和，能被2整除；
偶数个奇数的和，能被2整除；
任意四个连续自然数，如果首尾两数的和能被5整除，那么这四个数的和也能被5整除；
任意四个连续偶数的和，能被4整除；
任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和，能被5整除；
任意七个连续自然数的和，能被7整除；
…………
49.以零求整
把题分成有联系而又相对独立的小问题，进而解决所求问题。
例如，第五册P20思考题：用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次，且必须用一次)，其中两个数的和等于第三个数。
这是三位数加三位数等于四位数，百位上两数相加和为10，其它两位数相加不进位的题。
分成小问题：一位数分别相加，其中一组的和为10，再分别找出两个数相加得第三个数。
这样分别开来，易找出
3＋7＝10，
2＋6＝8，
4＋5＝9，
合起来为324＋765＝1089。
或者4＋6＝10，
2＋7＝9，
3＋5＝8，
423＋675＝1098。
再分别交换个位、十位上的数字，又可得到多组答案。
50.探 索 法
就是多方寻求答案，解决疑难。
51.观 察 法
数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。
例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。
(1)1＋1×8
(2)2＋12×8
(3)3＋123×8
(4)4＋1234×8
仔细观察算式间的联系，
第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加 89，889，8889，……
由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知
式(4)为 987＋8889＝9876。
例2 观察
不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个
是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。
如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3 由11＋1.1＝11×1.1，
知其积等于其和。
特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。
例4 观察分析
…………
会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。
此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？
用反证法证明：
若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。
则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。
若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。
同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。
52.猜测与证明
美国数学家G·玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”
例1 3×4＝12
它的积是由1和2依顺序排列的数。
由33×34＝1122
333×334＝111222
n个 n个 n个 n个
为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。
证明：
令S＝11…1，
则S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
9S＝10S－S＝10n－1，
由此得
故33…3×33…4＝11…122…2，
进而可得33…3×33…5
＝33…3×(33…34＋1)
＝11…122…2＋33…3
＝11…155…5。
例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？
智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。
如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。
这样的数组有：
1、2、3 1、2、6 1、2、9
1、3、5 1、3、8 1、4、7
1、5、6 1、5、9 1、6、8
1、8、9 2、3、4 2、3、7
2、4、6 2、4、9 2、5、8
2、6、7 2、7、9 3、4、5
3、8、4 3、5、7 3、6、9
4、5、9 4、6、8 5、6、7
5、7、9 6、7、8 7、8、9
符合题意的全部四位数是，
6×27＝162(个)
例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。
设10个连续自然数为：
n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
则(n＋8)－n＝8，
(n＋9)－(n＋2)＝7。
这里 a＝n＋8，
b＝n，
c＝n＋9，
d＝n＋2，
或 a＝n＋9，
b＝n＋2，
c＝n＋8，
d＝n。
或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
(n＋7)－n＝7。
这里a＝n＋9，
b＝n＋1，
c=n＋7，d=n，
或 a=n＋7， b=n，
c=n＋9，d=n＋1。
例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。
证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……
当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以
＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以
＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以
＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。
＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。
这里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，
原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似运算
例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字，把它与9相乘，得到一个积，把这个积再乘上12345679，答案所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。
比如说，选择5，5×9＝45。
两边都除以5，
12345679×9=11 11 11 11 1。
对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，
12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a
＝aaaaaaaaa 。
例2 任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。
从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。
1＋6＋8＝15。
两位数的和除以一位数的和，
设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，
10a＋b 10a＋c 10b＋a
10b＋c 10c＋a 10c＋b
其和为 22a＋22b＋22c
＝22(a＋b＋c)
遇到类似的运算，可不假思索地写出22。