九乡新闻网非婚生子2016新政策:矩阵旋转入门
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/01 08:24:03
首先，需要知道一个物体现有的宽度，高度和深度 —— 换句话讲，它是三个轴上每个轴分量的大小。当然可以建立一个 3×1 的矩阵：
w h d
我们知道 w, h, d 代表宽度（width），高度（height）和深度（depth）。下面需要缩放这个矩阵：
sx 0 0
0 sy 0
0 0 sz
首先，需要知道一个物体现有的宽度，高度和深度 —— 换句话讲，它是三个轴上每个轴分量的大小。当然可以建立一个 3×1 的矩阵：
w h d
我们知道 w, h, d 代表宽度（width），高度（height）和深度（depth）。下面需要缩放这个矩阵：
sx 0 0
0 sy 0
0 0 sz
这里 sx, sy, sz 是对应轴上的缩放比例。它们都将是分数或小数，1.0 为 100%，2.0 为 200%，0.5 为 50%，等等。稍后大家会看到为什么矩阵是用这种形式分布的。
要知道，矩阵乘法是为了让两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必需与另一个矩阵的行数相同。只要符合这个标准，第一个矩阵可以有任意多个行，第二个矩阵可以有任意多个列。本例中，由于第一个矩阵有三列（w, h, d），因此缩放矩阵就有三行。那么它们如何进行乘法运算呢？让我们来看一下这个模式：
sx 0 0 w h d * 0 sy 0 0 0 sz
矩阵的计算结果如下：
(w*sx + h*0 + d*0) (w*0 + h*sy + d*0) (w*0 + h*0 + d*sz)
我们将第一个矩阵的第一行（u, v, w）与第二个矩阵每行的第一个元素相乘。将它们加起来就得到了结果的第一行的第一个元素。在第二个矩阵的第二列（b, e, h）中使用相同的方法就得到了第二列的结果。
如果第一个矩阵的行数大于 1，就要在第二行中重复上述动作，就会得到第二行的结果：
u v w a b c x y z * d e f g h i 就得到了这个 3×2 的矩阵：
(u*a + v*d + w*g) (u*b + v*e + w*h) (u*c + v*f + w*i)
(x*a + y*d + z*g) (x*b + y*e + z*h) (x*c + y*f + z*i)
现在让我们看一些实际中用到的矩阵乘法 —— 坐标旋转。希望通过这个缩放的例子会让它看起来更加清晰。
使用矩阵进行坐标旋转
首先，要挖出我们的 3D 点矩阵：
x y z
它保存了该点所有的坐标。当然，还要有一个旋转矩阵。我们可以在三个轴的任意一轴上进行旋转。我们将分别创建每种旋转的矩阵。先从 x 轴旋转矩阵开始：
1 0 0
0 cos sin
0 -sin cos
这里有一些正余弦值，“sin 和 cos 是什么？”很明显，这就是我们要旋转的角度的正余弦值。如果让这个点旋转 45 度，则这两个值就是 45 的正弦和余弦值。（当然，在代码中要使用弧度制）现在，我们让该矩阵与一个 3D 点的矩阵相乘，看一下结果。
1 0 0 x y z * 0 cos sin 0 -sin cos 由此得到：
(x*1 + y*0 + z*0) (x*0 + y*cos - z*sin) (x*0 + y*sin + z*cos)
整理后结果如下：
(x) (y*cos - z*sin) (z*cos + y*sin)
这句话用 ActionScript 大略可以翻译成：
x = x;
y = Math.cos(angle) * y - Math.sin(angle) * z;
z = Math.cos(angle) * z + Math.sin(angle) * y;
回忆一下第十章，在讨论坐标旋转时，我们会看到这实际上就是 x 轴的坐标旋转。不要惊讶，矩阵数学只是观察和组织各种公式和方程的不同方法。至此，要创建一个 y 轴旋转的矩阵就非常容易了：
cos 0 sin
0 1 0
-sin 0 cos
最后，z 轴的旋转为：
cos sin 0
-sin cos 0
0 0 1
这是一个很好的尝试，用 x, y, z 的矩阵乘以每个旋转矩阵的单位，证明所得到的结果与第十章的坐标旋转公式完全相同。