长春金融高等专科学校:圆锥曲线及其几种退化情形
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/05/05 11:21:53
圆锥曲线的定义
几何观点
用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线 通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。具体而言: 1) 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线)。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。代数观点
在笛卡尔平面上,二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线,根据判别式的不同,也包含了椭圆,双曲线,抛物线以及各种退化情形。焦点-准线观点 给定一点P,一直线L以及一非负实常数e,则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线,根据e的范围不同,曲线也各不相同,具体如下:
1) e=0,轨迹退化为一点(就是点P)。 2) 0<><1,轨迹为椭圆。 class="spctrl" div=""> 3) e=1(即到P与到L距离相同),轨迹为抛物线。 4) 1<><∞,轨迹为双曲线。(注意,虽然只有一个点和一条线,但可以得到双曲线两个分支) class="spctrl" div=""> 5) e=∞,轨迹退化为一直线(就是L)。<∞,轨迹为双曲线。(注意,虽然只有一个点和一条线,但可以得到双曲线两个分支)><1,轨迹为椭圆。>1,轨迹为椭圆。>∞,轨迹为双曲线。(注意,虽然只有一个点和一条线,但可以得到双曲线两个分支)>∞,轨迹为双曲线。(注意,虽然只有一个点和一条线,但可以得到双曲线两个分支)>1,轨迹为椭圆。>
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