第一章 运动和力

一、追及、相遇模型

模型讲解：

1．  火车甲正以速度v₁向前行驶，司机突然发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度v₂同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动。为了使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为 、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d。

即： ，

故不相撞的条件为

2．  甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v₁，加速度大小为a₁。乙物体在后，初速度为v₂，加速度大小为a₂且知v₁2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？

解析：若是 ，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为

若是 ，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据 ，求得

[1]

在t时间内

甲的位移

乙的位移

代入表达式

求得

3．  如图1.01所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为 和 。空气中声音传播的速率为 ，设 ，空气相对于地面没有流动。

图1.01

（1）       若声源相继发出两个声信号。时间间隔为 ，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔 。

（2）       请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。

解析：作声源S、观察者A、声信号P（P₁为首发声信号，P₂为再发声信号）的位移—时间图象如图2所示图线的斜率即为它们的速度 则有：

图2

[2]

两式相减可得：

解得

（2）设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期为

由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为

4．  在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s²的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

答案：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有

其中 ，解得

若 ，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。

若 ，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。

若 ，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。

二、先加速后减速模型

模型概述：

物体先加速后减速的问题是运动学中典型的综合问题，也是近几年的高考热点，同学在求解这类问题时一定要注意前一过程的末速度是下一过程的初速度，如能画出速度图象就更明确过程了。

模型讲解：

1．  一小圆盘静止在桌面上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图1.02所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 ，盘与桌面间的动摩擦因数为 。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最近未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）

图1.02         

解析：根据题意可作出物块的速度图象如图2所示。设圆盘的质量为m，桌边长为L，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为 ，有

图2

桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以 表示加速度的大小，有

设盘刚离开桌布时的速度为 ，移动的距离为 ，离开桌布后在桌面上再运动距离 后便停下，由匀变速直线运动的规律可得：

           ①                            ②

盘没有从桌面上掉下的条件是：          ③

设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有：

，而 ，求得：

，及

联立解得

2．  一个质量为m=0.2kg的物体静止在水平面上，用一水平恒力F作用在物体上10s，然后撤去水平力F，再经20s物体静止，该物体的速度图象如图3所示，则下面说法中正确的是（    ）

A. 物体通过的总位移为150m

B. 物体的最大动能为20J

C. 物体前10s内和后10s内加速度大小之比为2：1

D. 物体所受水平恒力和摩擦力大小之比为3：1

答案：ACD

图3

三、斜面模型

1． 

（1）ab中通入的最大电流强度为多少？

（2）ab中通入的最小电流强度为多少？

  图1.03       

导体棒ab在重力、静摩擦力、弹力、安培力四力作用下平衡，由图2中所示电流方向，可知导体棒所受安培力水平向右。当导体棒所受安培力较大时，导体棒所受静摩擦力沿导轨向下，当导体棒所受安培力较小时，导体棒所受静摩擦力沿导轨向上。

（1）ab中通入最大电流强度时受力分析如图2，此时最大静摩擦力 沿斜面向下，建立直角坐标系，由ab平衡可知，x方向：

y方向： 由以上各式联立解得：

（2）通入最小电流时，ab受力分析如图3所示，此时静摩擦力 ，方向沿斜面向上，建立直角坐标系，由平衡有：

x方向：

y方向：

联立两式解得：

由

2．  物体置于光滑的斜面上，当斜面固定时，物体沿斜面下滑的加速度为 ，斜面对物体的弹力为 。斜面不固定，且地面也光滑时，物体下滑的加速度为 ，斜面对物体的弹力为 ，则下列关系正确的是：

A.     B.

C.     D.

当斜面可动时，对物体来说是相对斜面这个加速参考系在作加速运动，而且物体和参考系的运动方向不在同一条直线上，利用常规的方法难于判断，但是利用矢量三角形法则能轻松获解。

如图4所示，由于重力的大小和方向是确定不变的，斜面弹力的方向也是惟一的，由共点力合成的三角形法则，斜面固定时，加速度方向沿斜面向下，作出的矢量图如实线所示，当斜面也运动时，物体并不沿平行于斜面方向运动，相对于地面的实际运动方向如虚线所示。所以正确选项为B。

3．  带负电的小物体在倾角为 的绝缘斜面上，整个斜面处于范围足够大、方向水平向右的匀强电场中，如图1.04所示。物体A的质量为m，电量为-q，与斜面间的动摩擦因素为 ，它在电场中受到的电场力的大小等于重力的一半。物体A在斜面上由静止开始下滑，经时间t后突然在斜面区域加上范围足够大的匀强磁场，磁场方向与电场强度方向垂直，磁感应强度大小为B，此后物体A沿斜面继续下滑距离L后离开斜面。

（1）物体A在斜面上的运动情况？说明理由。

（2）物体A在斜面上运动过程中有多少能量转化为内能？（结果用字母表示）

图1.04  

（1）物体A在斜面上受重力、电场力、支持力和滑动摩擦力的作用，<1>小物体A在恒力作用下，先在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动；<2>加上匀强磁场后，还受方向垂直斜面向上的洛伦兹力作用，方可使A离开斜面，故磁感应强度方向应垂直纸面向里。随着速度的增加，洛伦兹力增大，斜面的支持力减小，滑动摩擦力减小，物体继续做加速度增大的加速运动，直到斜面的支持力变为零，此后小物体A将离开地面。

（2）加磁场之前，物体A做匀加速运动，据牛顿运动定律有：

解出

A沿斜面运动的距离为：

加上磁场后，受到洛伦兹力

随速度增大，支持力 减小，直到 时，物体A将离开斜面，有：

物体A在斜面上运动的全过程中，重力和电场力做正功，滑动摩擦力做负功，洛伦兹力不做功，根据动能定理有：

物体A克服摩擦力做功，机械能转化为内能：

4．  如图1.05所示，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯子的直径为R。当小车作匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为h，则小车的加速度方向指向如何？加速度的大小为多少？

图1.05    

我们由图可以看出物体运动情况，根据杯中水的形状，可以构建这样的一个模型，一个物块放在光滑的斜面上（倾角为 ），重力和斜面的支持力的合力提供物块沿水平方向上的加速度，其加速度为： 。

我们取杯中水面上的一滴水为研究对象，水滴受力情况如同斜面上的物块。由题意可得，取杯中水面上的一滴水为研究对象，它相对静止在“斜面”上，可以得出其加速度为 ，而 ，得 ，方向水平向右。

5．  如图1.06所示，质量为M的木板放在倾角为 的光滑斜面上，质量为m的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑。

（1）要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？

（2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？

图1.06   

答案：（1）要保持木板相对斜面静止，木板要受到沿斜面向上的摩擦力与木板的下滑力平衡，即 ，根据作用力与反作用力人受到木板对他沿斜面向下的摩擦力，所以人受到的合力为：

方向沿斜面向下。

（2）要保持人相对于斜面的位置不变，对人有 ，F为人受到的摩擦力且沿斜面向上，根据作用力与反作用力等值反向的特点判断木板受到沿斜面向下的摩擦力，大小为

所以木板受到的合力为：

方向沿斜面向下。

四、挂件模型

1． 

A.                 B.

C.                 D.

图1.07 

解析：以“结点”O为研究对象，沿水平、竖直方向建立坐标系，在水平方向有 竖直方向有 联立求解得BD正确。

2．  物体A质量为 ，用两根轻绳B、C连接到竖直墙上，在物体A上加一恒力F，若图1.08中力F、轻绳AB与水平线夹角均为 ，要使两绳都能绷直，求恒力F的大小。

图1.08     

解析：要使两绳都能绷直，必须 ，再利用正交分解法作数学讨论。作出A的受力分析图3，由正交分解法的平衡条件：

图3

        ①

        ②

解得                            ③

                  ④

两绳都绷直，必须

由以上解得F有最大值 ，解得F有最小值 ，所以F的取值为 。

3．  如图1.09所示，AB、AC为不可伸长的轻绳，小球质量为m=0.4kg。当小车静止时，AC水平，AB与竖直方向夹角为θ=37°，试求小车分别以下列加速度向右匀加速运动时，两绳上的张力F_AC、F_AB分别为多少。取g=10m/s²。

（1） ；（2） 。

图1.09         

解析：设绳AC水平且拉力刚好为零时，临界加速度为

根据牛顿第二定律

联立两式并代入数据得

当 ，此时AC绳伸直且有拉力。

根据牛顿第二定律 ； ，联立两式并代入数据得

当 ，此时AC绳不能伸直， 。

AB绳与竖直方向夹角 ，据牛顿第二定律 ， 。联立两式并代入数据得 。

4．  两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图1所示，如果不考虑小球的大小，两球均处于静止状态，则力F的大小为（    ）

图1.10   

答案：C

5．  如图1.11甲所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静止状态。现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：

（1）轻绳张力F_T的大小取值范围；

（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象。

图1.11                

答案：（1）当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小

当水平拉力F=2G时，绳子张力最大：

因此轻绳的张力范围是：

（2）设在某位置球处于平衡状态，由平衡条件得

所以 即 ，得图象如图7。

图7

6．  如图1.12所示，斜面与水平面间的夹角 ，物体A和B的质量分别为 、 。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：

（1）如A和B对斜面的动摩擦因数分别为 ， 时，两物体的加速度各为多大？绳的张力为多少？

（2）如果把A和B位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？

（3）如果斜面为光滑时，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？

图1.12     

解析：（1）设绳子的张力为 ，物体A和B沿斜面下滑的加速度分别为 和 ，根据牛顿第二定律：

对A有

对B有

设 ，即假设绳子没有张力，联立求解得 ，因 ，故

说明物体B运动比物体A的运动快，绳松弛，所以 的假设成立。故有 因而实际不符，则A静止。

（2）如B与A互换则 ，即B物运动得比A物快，所以A、B之间有拉力且共速，用整体法 代入数据求出 ，用隔离法对B： 代入数据求出

（3）如斜面光滑摩擦不计，则A和B沿斜面的加速度均为 两物间无作用力。

7．  如图1.13所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为 、在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（    ）

B. 小车静止时， ，方向垂直杆向上

C. 小车向右以加速度a运动时，一定有

D. 小车向左以加速度a运动时， ，方向 斜向左上方，与竖直方向的夹角为                图1.13

解析：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球的重力mg。

小车向右以加速度a运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为 ，如图4所示，根据牛顿第二定律有： ， ，两式相除得： 。

图4

只有当球的加速度 且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有 。小车向左以加速度a运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg和杆对球的作用力F的合力大小为ma，方向水平向左。根据力的合成知 ，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为：

8． 

图1.14 

答案： ， ，

，讨论：

①若 则弹簧伸长

②若 则弹簧伸长

③若 则弹簧压缩

五、弹簧模型（动力学）

1．  如图1.15所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上。②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用。③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动。④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l₁、l₂、l₃、l₄依次表示四个弹簧的伸长量，则有（    ）

①                                 ②        

③                                 ④       

图1.15                  

A.                      B.             C.              D.

解析：当弹簧处于静止（或匀速运动）时，弹簧两端受力大小相等，产生的弹力也相等，用其中任意一端产生的弹力代入胡克定律即可求形变。当弹簧处于加速运动状态时，以弹簧为研究对象，由于其质量为零，无论加速度a为多少，仍然可以得到弹簧两端受力大小相等。由于弹簧弹力 与施加在弹簧上的外力F是作用力与反作用的关系，因此，弹簧的弹力也处处相等，与静止情况没有区别。在题目所述四种情况中，由于弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用，且弹簧质量都为零，根据作用力与反作用力关系，弹簧产生的弹力大小皆为F，又由四个弹簧完全相同，根据胡克定律，它们的伸长量皆相等，所以正确选项为D。

2．  用如图1.16所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可无摩擦的滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的示数均为10N（取 ）

（1）若传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N，求此时汽车的加速度大小和方向。

（2）当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数为零。

图1.16              

解析：（1） ，

a₁的方向向右或向前。

（2）根据题意可知，当左侧弹簧弹力 时，右侧弹簧的弹力

代入数据得 ，方向向左或向后

3．  如图1.17所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端系一个钢球P，球处于静止状态。现对球施加一个方向向右的外力F，吏球缓慢偏移。若外力F方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角 且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出弹簧伸长量x与 的函数关系图象中，最接近的是（    ）

图1.17   

答案：D