九乡新闻网金华市的自考培训学校:小学数学公式及概念、易错题 典型应用题
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/28 23:10:01
应用题解题归纳,谁整理的,太牛了!
一、植树问题
（一）非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
1. 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么：株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)2. 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么：株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数3. 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么：株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)（二）封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数二、置换问题另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。
列式：
（2000－1880）÷（20－10）
＝120÷10
＝12（张）→10分一张的张数
100－12＝88（张）→20分一张的张数
或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。三、盈亏问题（盈不足问题）题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是：当一次有余数，另一次不足时： 每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差当两次都有余数时： 总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差当两次都不足时： 总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差
例：学校把一些彩色铅笔分给美术组的同学，如果每人分给五支，则剩下45支，如果每人分给7支，则剩下3支。求美术组有多少同学？彩色铅笔共有几支？
（45 - 3）÷（7－5）＝21（人）
21×5＋45＝150（支）
四、年龄问题年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。常用的计算公式是：成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1） 几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄 几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄五、牛吃草问题（船漏水问题）若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当增加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？例：一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天？分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。
（15×10－25×5）÷（10－5）
＝（150－125）÷（10－5）
＝25÷5
＝5（头）→可供5头牛吃一天。
150－10×5
＝150－50
＝100（头）→草地上原有的草可供100头牛吃一天。
100÷（10－5）
＝100÷5
＝20（天） 答：若供10头牛吃，可以吃20天。
六、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间
小学数学趣题集
推荐（主办单位：北京市科学技术协会 中国科协青少年工作部）
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【一】鸡兔同笼：大约在1500年前，《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只？
※①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数是35－12＝23（只）。
【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。】
②用“假设法”：假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35－12＝23（只）。
③用“方程”来解：解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）×2=94，X=12，鸡有35－12＝23（只）。
【二】牛顿问题：英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，人们把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，几天能把牧场上的草吃尽？（并且牧场上的草是不断生长的）”
※一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1。
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
【练一练】有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？
【三】鬼谷算：我国汉代有位大将叫韩信，他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。” 这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）
【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张？
【四】电灯泡问题：“过道里依次挂着标号是1，2，3, ……100的电灯泡，开始它们都是灭的。当第一个人走过时，他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下；当第二个人走过时，他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下；当第三个人走过时，他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下；……如此进行下去，当第一百个人走过时，他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问：当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？”
※ 此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1，灯亮；第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此可以看出因数的个数是奇数时，灯亮；因数的个数是偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.
【五】巧求六位数：“六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？”
※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。
假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。
假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。
假设六位数为743219，则743219÷4321＝172…7，余数小于9，可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。
当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算均不合题意。综上分析，要求的六位数为743212。
【练一练】：四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？答案：（4895）
【六】时钟问题：①“钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度：360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，在钟面上要么是分针追赶时针，要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。
例1：钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？
※整3时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走360÷12×3=90°，每分钟分针比时针多走6－0．5＝5．5(度)，所用时间为90÷5．5≈16．36(分)。
例2：在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？
※在整5时，时针与分针相隔360÷12×5=150°，然后分针先是追上时针，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°，共150＋ 180=330°，分针每分钟旋转的速度：360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，(150＋ 180)÷(6— 0．5)＝ 60(分) 5时60分即6时正。
例3：钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度？
※整12时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。到12时30分钟，分针走180°到达6时的位置上，而时针在30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数：(6—0．5)×30=55×3=165(度)
例4：钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分？
※从6时整作为起点，此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时，就是所求的时刻。
(180—90)÷(6—0．5) ＝90 ÷5．5 ≈16.36(分钟)(180＋ 90)÷(6— 0．5) ＝270÷5.5 ≈49．09(分钟）
[此题还可采用分率方法来解决]
【七】最优化问题：既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题涉及统筹、线性规划——排序不等式等内容。
例1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？
【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。
例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？
【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法：（1）3尺两根和4尺一根，最省； （2）3尺三根，余一尺；（3）4尺两根，余2尺。为了省材料，尽量使用方法（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。
例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长是多少厘米？
【分析】三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，且它们的和也是偶数，又它们的个位数字的和是7的倍数，只能是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，周长最长为86+88+90=264厘米。
例4: 把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
【分析】先从较小数形开始实验，发现其规律：
把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……
这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。
例5: A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？
【分析】设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。
如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。
例6、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
【想】因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。
[说明] （1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。
例7、有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？
[分析] 为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应安排1个11人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。
[练习]
1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括0）
2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为多少？
3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？
4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？
[习题参考答案及思路分析]
1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是 ,91×2，它们的最大公约数为91。
2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为 ×4×4=8。
3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分钟）。
4、由于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开10小时注满水池的，余下 只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。
5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。
6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。
【八】利润与折扣：工厂和商店有时减价出售商品，通常称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价×期望利润率。
例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？
※定价是进价的1+35%=135%，打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121.5%，每台DVD的实际盈利：208+50=258（元），每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元）
例2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，甲店的进货价是多少元？
※设乙店的成本价为1，乙店的定价是（1+15%），甲店的定价（1-10%）×（1+20%），甲店比乙店的出厂价便宜 11.2元的对应分率是（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%=160（元）160×（1-10%）=144（元）
例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？
※要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按x%的利润定价的。38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%，X%=25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%
[练习]：
1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？
2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？
3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？
4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润率，零售价应是每千克多少元？
5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？
6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12％,乙种贷款年利率为14％。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？
7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？
8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？
9、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？
10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？
【九】找次品问题：例1 有4堆外表一样的球，每堆4个。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
※依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2、有27个外表一样的球，其中有一个次品，重量比正品轻，用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
※第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
21、一杯牛奶250g，小明喝了这杯奶的1/5，然后加满水，又喝了这杯奶的1/4，再加满水，又喝了半杯，小明共喝了多少g纯奶？
※（1）第一次喝了 250×1/5=50g，余奶 250-50=200g，加满水后，含奶率为200÷250×100%=80%，第二次喝纯奶250×1/4×80%=50g，这时杯中有纯奶250-50-50=150g，再加满水后含奶率为150÷250×100%=60%，又喝了半杯，喝纯奶250×1/2×60%=75g，共喝了50+50+75=175g。
（2）第一次喝了1/5，余 1-1/5=4/5,第二次喝了这杯奶的1/4，即喝了4/5的1/4，4/5×1/4=1/5，两次喝后余奶为1--1/5-1/5=3/5，第三次喝了半杯，即喝了3/5的1/2，3/5×1/2=3/10,三次共喝 1/5+1/5+3/10=7/10,即喝了250g的7/10， 250×7/10=175g。
22、一批零件，甲独做要17/2天，比乙独做多用1/2天。两人合作4天后，还剩210个零件由甲完成，甲共做多少个？
※乙独做需17/2-1/2=8天，两人合作4天完成了（2/17+1/8)×4=31/34.还余1-31/34=3/34.这批零件共有210÷3/34=2380个，甲4天做了2380×2/17×4=1120个，甲共做1120+210=1330个。
23、一条公路上，每隔20km有一仓库，共有五个。1号存货20吨，2号存货30吨，5号存货40吨，3号4号空着，现将货物存放一处，如果每吨货物运1km运费是0.25元，那么最少要多少运费？集中几号仓库？1□—2□—3□—4□—□5
※①存入3号。1号每吨货物需运费 0.25×40=10元，20吨货物需10×20=200元；2号每吨货物需运费0.25×20=5元，30吨货物需5×30=150元；5号每吨货物需运费 0.25×40=10元，40吨货物需10×40=400元，共200+150+400=750元。
②存入4号。1号每吨货物需运费 0.25×60=15元，20吨货物需15×20=300元；2号每吨货物需运费 0.25×40=10元，30吨货物需 10×30=300元；5号每吨货物需运费 0.25×20=5元，40吨货物需5×40=200元，共300+300+200=800元，750<800,故存入3号仓库。
24、三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的2/3，兔子的速度是松鼠的2倍，1分钟兔子比狐狸多跑28m，那么1分钟松鼠比狐狸少跑多少m？
※由“狐狸的速度是兔子的2/3”知，兔是单位“1”，1分钟兔子比狐狸多1-2/3=1/3，兔的速度是28÷1/3=84m；由“兔子的速度是松鼠的2倍”知松鼠的速度是84÷2=42m；狐狸的速度是84×2/3=56m，1分钟松鼠比狐狸少跑56-42=14m.
25、甲乙两队从两端同时铺一条水管，铺完时，甲乙两队完成任务的比是5：6.已知甲队每天铺150m，乙队独铺需要20天，问这条水管有多长？
※①想：两队工作量的比是5：6，则工效的比也是5：6，甲效5份是150m，每份是150÷5=30m，乙效是6份，共30×6=180m，20天铺180×20=3600m.
总任务为5+6=11份，乙占6/11，共需6/11÷1/20=120/11天，即甲也需要120/11天，150×120/11÷5/11=3600m。
26、一人骑车从甲地去乙地，需5.5小时，途中3.6km因大雨冲刷，速度只有原来的3/4，因而比原来多用12分钟，甲乙两地相距多少km？
※①从“速度只有原来的3/4”知，行驶3.6km的速度和原来的速度比是3：4，则路程比是4：3，3.6km的路程是3份，每份是3.6÷3=1.2km，原来是4份，共1.2×4=4.8km，原来比实际多行4.8-3.6=1.2km，多12分钟（1/5时），速度为1.2÷1/5=6km，甲乙两地相距6×5.5=33km。
②由“比原来多用12分钟”列方程。解设原来的速度为Vkm,则总路程为5.5Vkm。（5.5V-3.6）÷V+3.6÷(3/4V）=5.5+1/5,V=6,甲乙两地相距6×5.5=33km。
27、每次取出一堆桃子的一半再放回一个，4次后还剩下4个，原有桃子多少个？
※①采用逆推法。由“还剩下4个”知，取了4次后，放回一个是4个，即一半是4-1=3个，第4次没取时是3×2=6个，去掉第三次放的一个，余6-1=5个，第3次没取时是5×2=10个；去掉第二次放的一个，余 10-1=9个，第2次没取时是9×2=18个，去掉第一次放的一个，余 18-1=17个，原有桃子17×2=34个。
②根据“4次后还剩下4个”列方程。解设原有桃子X个，取第一次后余1/2X+1个，取第二次后余（1/2X+1）×1/2+1个，取第三次后余[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1个，取第四次后余{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1个，列式是{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1=4，X=34
28、甲乙两人骑车比赛，两人同时出发，当甲骑车到全程的7/8时，乙骑到全程的6/7，这时两人相距140m，如果继续按原来的速度前进，当甲到达终点时，两人之间的最大距离是多少m？
※总路程为140÷（7/8-6/7)=7840m。 ①利用比来解。甲到达终点，即甲行了“1”，解设乙行了Xm，列式为：7/8:6/7=1:X，X=48/49,乙距离终点还有1-48/49=1/49,两人之间的最大距离是7840×1/49=160m.②甲行7840×7/8=6860m,乙行6860-140=6720m，由于所用时间相同，可把它们所行的路看作速度，甲到终点需时 7840÷6860=8/7,乙行 6720×8/7=7680m，两人之间的最大距离是7840-7680=160m。
29、在公路两旁植树，每隔3m一棵，到头还余6棵；每隔2.5m一棵，到头还缺54棵，这条公路有多长？
※想：①共余6棵树，则公路每边余6÷2=3棵；缺了54棵，则公路每边缺54÷2=27棵。②公路起点也要栽一棵，所以计算树的棵数时要加上1。③利用公路长不变列方程。解设公路长为Xm，X/3+1+3=X/2.5+1-27，X=450m。
30、有两缸金鱼，从甲取出1尾放入乙缸，则两缸金鱼数相同；若从乙缸取一尾放入甲缸，这时乙缸金鱼数是甲缸的1/2，甲乙原有金鱼多少尾？
※从“甲取出1尾放入乙缸，则两缸金鱼数相同”知，甲缸比乙缸多2尾金鱼。利用“这时乙缸金鱼数是甲缸的1/2”列方程。解设乙缸有X尾金鱼，则甲缸有X+2尾金鱼。X-1=(X+2+1)×1/2,X=5，甲是5+2=7尾。
31、有两缸金鱼，第一缸与第二缸的条数比是3：2。如果从第一缸取10尾放入第二缸，这时第二缸的金鱼正好是第一缸的7/8，两缸共有金鱼多少尾？
※【此题金鱼的总数不变，可以形象地理解为自己左口袋的钱装到了右口袋】 原来总份数为3+2=5份，第一缸占3/5；现在总份数为7+8=15份，第一缸占8/15；第一缸只所以由3/5减少到8/15，是因为少了10尾金鱼。两缸共有金鱼10÷（3/5-8/15)=150尾。
32、小华和小强共有24块糖，当小华吃去20%，小强吃了2块后，剩下的糖小强与小华的比是3：2，原来两人各有多少块糖？
※利用“3：2”列比例来解。解设小华有X块糖，则小强有24-X块。（24-X-2）：（1-20%）X=3：2， X=11, 小强有24-11=13块。【本题主要学会利用比来列比例解应用题】
33、A、B都是不为0的自然数，1/A-1/B=1/182,A:B=7:13,求A+B=( )
※由“A:B=7:13”知，A=7/13B,代入“1/A-1/B=1/182”，1÷7/13B-1/B=1/182，B=156. B是13份，每份 156÷13=12，A=12×7=84，A+B=156+84=240.
34、一个长方体，前面和上面的面积之和是209㎡，它的长、宽、高都是质数，求长方体的表面积和体积？
※前面面积是长×高，即ah；上面面积是长×宽，即ab.ah+ab=209,a(h+b)=209,把209分解质因数209=11×19；a=19时，h+b=11，不能分成质数和，故不符合条件，所以a=11,h+b=19,19=2+17,则b=17或2，h=2或17，表面积为（11×17+11×2+17×2）×2=486㎡，体积是11×17×2=374立方米。
35、生产一批零件，甲每小时可做18个，乙单独做要12小时完成。现在由甲乙二人合做，完成任务时，甲乙生产零件的数量之比是3:5，甲共生产零件多少个？
※由“甲乙生产零件的数量之比是3:5”知，这批零件共3+5=8份，乙做了5/8，需时间5/8÷1/12=7.5小时，即甲也需要7.5小时，甲共生产零件18×7.5=135个。
36、下面一段话是一种片剂药包装中的部分说明：
贵港市冠峰制药有限公司
批准文号： 国药准字 Z45022034号
感冒清片 每片重0.22克，口服，一次3-4片，一日三次
生产日期：2007年1月1日 有效期：至2008年12月31日
请你根据说明书回答下面的问题：（1）这种药的名称是（ ）。（2）一天最多服多少克？最少服多少克？（3）这种药片的保质期有（ ）年。
※此题接近生活，读懂理解题意是关键。药的名称是（感冒清片），一天最多服（0.22×4×3=2.64）克，最少服（0.22×3×3=1.98）克，这种药片的保质期有（2008年12月31日-2007年1月1日=1年11个月30天）年
37、某商店购进一批凉鞋，每双售出价比购进价多15%。如果全部卖出，则可获利120元；如果只卖80双，则差64元才够成本。凉鞋的进价每双多少元？
※总进价为120÷15%=800元，80双买800-64=736元，凉鞋的进价每双是736÷80=9.2元。
38、一种商品的成本是180元，改进工艺后成本下降了30%，价格也下降了10%，结果每件商品比原来多赚26元，这种商品原价多少元？
※现在的成本是 180×（1-30%）=126元，假设原价是X元，则现价为 X×（1-10%）=0.9X元，列方程是 X-180+26=0.9X-126，X=180.
39、一种商品按进价的140%定价，然后再实行九折酬宾，再送50元的车费，最后获利145元，那么这件商品的进价是多少元？
※①“实行九折酬宾”就是按定价的90%销售，即140%×90%=126%；不送50元车费，就可获利145+50=195元，售价为“1”，进价是195÷（126%-1）=750元。
②利用“最后获利145元”列方程。解设进价为X元，则定价是140%X，售价为140%X×90%=126%X元，列方程为 126%X-50-X=145，X=750.
40、甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80％，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
※甲行完全程需时间4÷80%=5小时，乙5小时行全程的一半又13km，每小时行1/2÷5=1/10又13÷5=2.6km，已知甲车比乙车每小时多行3千米，已知甲车比乙车每小时多行1/5-1/10=1/10又3+2.6=5.6km，两城相距5.6÷1/10=56km。
41、某班有学生51人，准备推选1名同学在教师节那天给老师献花。选举的方法是让51名同学按编号1、2、3、……、51排成一个圆圈，从1号位开始，隔过1号，去掉2号、3号，隔过4号，去掉5号、6号……如此循环下去，总是每隔过1个人，就去掉2个人，最后剩下的那名同学当选。那么当选的同学开始时是排在几号位置上的？
※根据推选的方法可知，第一轮筛选后留下了17人。这17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49号位置上的同学。接下去继续筛选，留下了6人，这6个人是排在第1、10、19、28、37、46号位置上的同学。不过留下46号后去掉49号，接下来正好去掉1号，再继续下去，留下的是第10、37号位上的同学，在去掉46号之后，接下去是去掉10号，最后剩下的是37号，即开始时排在37号位置上的那个同学当选。
42、有一列数1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、……那么第398个数是多少？
※仔细观察这列分数的特点，不难发现，它们的分母是1、2、3、4.……分母是1的分数有1个；分母是2的分数有3个；分母是3的分数有5个；……分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1……从小到大再到小，依次排列。从而得出，从第400个分数是分母为20的分数中最后一个，即1/20,那么第398个就是从第400个分数再倒数第二个分数，即3/20。
43、如果两个数的和是80，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
※把4875=3×5×5×5×13分解质因数，由此得出这两个数是：5与75或15与65。这两个数的差是 70或50。
小学数学知识结构图
掌 握 项 目数学思想和方法 画线段辅助理解问题。1.找出已知条件并列表整理问题。2.图形结合的思想。1.数表结合解决问题。2.倒推思想解决问题。
应用知识 1.方位辨别；2.统计知识：分类统计。3.概率知识：“可能性”1.物体的正面、侧面和上面。2.统计知识：画“正”字表示次数。3.轴对称图形（对称轴）1.间隔问题。2.平移和旋转（顺时针和逆时针）3.统计知识：各种统计图。1.找规律：根据已知的推测未知的。2.确定位置：行和列。概率知识
应用题题目中的条件和问题，列出加法、减法一步算式，并注明单位名称。1.加法、减法、乘法和除法一步计算的应用题。2.各种量的应用题。1.平均数问题。2.混合运算应用题。3.各种量的应用题。1.量的计算问题。2.混合运算应用题。1.解答三步计算的应用题。2.相遇问题1.工程问题。2.百分数的实际应用。3.比例。
几何初步知识1.长方形、正方形、三角形和圆的直观认识；2.长方体、正方体、圆柱和球的直观认识。
1.直线和线段的初步认识。2.多边形。3.角的认识。长方形和正方形的特征。长方形和正方形的周长和面积计算。1.角的测量。2.平行和相交。3.三角形的性质。4.平行四边形和梯形的认识。5.垂线。1.圆的认识，圆的周长和面积计算。2.多边形面积的计算。长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积和体积计算。
量与计算1.钟面的认识。2.人民币的认识和简单计算。1.时间单位的认识。2.长度单位的认识和简单计算。3.重量单位的认识。
1.面积单位的认识和换算。2.24时计时法；时间段的计算。3.年、月、日。4.千米和吨。统计单位—升和毫升。体积单位
数与计算20和100以内数的认识、加减法（口算、列竖式）1.万以内数的读法和写法。2.两位数加、减两位数，用加法验算减法。3.表内乘法和表内除法。4.混合运算。1.四则混合运算。2.分数的认识和分母相同的分数加减计算。3.小数的认识和加减计算。1.积和商的性质。2.运算定律。3.倍数和因数。4.素数和和数。5.奇数和偶数。6.整数和自然数。1.认识负数。2.小数的四则运算。3.公倍数、公因数。4.分数的性质及计算。5.初步代数知识—方程。1.百分数。2.比和比例。3.分数的四则运算。
年级 一年级二年级三年级四年级五年级六年级
小学数学 典型应用题
1、平均数问题：平均数是等分除法的发展。
2、归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？
3、归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
4、和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
5、和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
6、差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
7、行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？
8、流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
9、还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
10、植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
11、盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
12、年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
13、鸡兔问题：又称鸡兔同笼问题
例 鸡兔同笼共 50 个头，170 条腿。问鸡兔各有多少只？
小学数学高效学习三十六计诀
河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军
课前先预习，课上听仔细。
讨论敢发言，思考有条理。
作业要认真，错例常汇集。
课后勤复习，单元善整理。
先知教同学，生活可联系。
心中有目标，计划要具体。
概念练辨析，判断有依据。
选择找技巧，计算看数据。
应用要灵活，学会找规律。
数形可结合，旋转又平移。
时间要统筹，数据会统计。
繁难肯钻研，常用需熟记。
认真审清题，综合加分析。
全面来检查，归纳再演绎。
考后要总结，疑点不放弃。
倍分可类比，学用新武器。
以静来制动，以退为进取。
算术法奇妙，方程显神奇。
由因可导果，执果索因缘。
归纳为演绎，关系画线段。
包含再排除，叙述巧变换。
整体简思考，分类列举全。
削补变相等，扩缩才代换。
假设成一统，倒推逆还原。
取样化倍比，类比需试探。
比较建对应，特值讲条件。
分组按比例，捆绑方置换。
转化单位1，诸量抓不变。
规律善对比，盈亏重构建。
正阻搞迂回，猜想应检验。
差额移均补，倒数揭隐含。
数形相结合，推理列表见。
以静来制动，合并繁化简。
一题出多解，多题从零算。
字母作辅助，多元想消减。
算术解奇妙，方程能降难。
资深数学老师出题库：小学数学必考经典题型30个，想考差都难！
数学这“老大难”，难住不少的同学们。好多人都觉得数学千变万化的题目看花了眼，但是身为曾经也是数学出题人的我很负责任的告诉大家，数学出题万变不离其宗，其实看透了，数学也不过如此，这是一位资深数学老师的出题宝典，小学数学30个必考题型，掌握了他，你就掌握了老师的出题思路，你的数学成绩还能不高？赶紧收藏了吧！
注意！小学数学这26个知识点最易出错！让孩子看看
一、植树问题（一）非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
1. 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么：株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)2. 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么：株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数3. 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么：株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)（二）封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数二、置换问题另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。
列式：
（2000－1880）÷（20－10）
＝120÷10
＝12（张）→10分一张的张数
100－12＝88（张）→20分一张的张数
或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。三、盈亏问题（盈不足问题）题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是：当一次有余数，另一次不足时： 每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差当两次都有余数时： 总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差当两次都不足时： 总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差
例：学校把一些彩色铅笔分给美术组的同学，如果每人分给五支，则剩下45支，如果每人分给7支，则剩下3支。求美术组有多少同学？彩色铅笔共有几支？
（45 - 3）÷（7－5）＝21（人）
21×5＋45＝150（支）
四、年龄问题年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。常用的计算公式是：成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1） 几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄 几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄五、牛吃草问题（船漏水问题）若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当增加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？例：一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天？分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。
（15×10－25×5）÷（10－5）
＝（150－125）÷（10－5）
＝25÷5
＝5（头）→可供5头牛吃一天。
150－10×5
＝150－50
＝100（头）→草地上原有的草可供100头牛吃一天。
100÷（10－5）
＝100÷5
＝20（天） 答：若供10头牛吃，可以吃20天。
六、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间
小学数学趣题集
推荐（主办单位：北京市科学技术协会 中国科协青少年工作部）
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【一】鸡兔同笼：大约在1500年前，《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只？
※①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数是35－12＝23（只）。
【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。】
②用“假设法”：假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35－12＝23（只）。
③用“方程”来解：解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）×2=94，X=12，鸡有35－12＝23（只）。
【二】牛顿问题：英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，人们把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，几天能把牧场上的草吃尽？（并且牧场上的草是不断生长的）”
※一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1。
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
【练一练】有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？
【三】鬼谷算：我国汉代有位大将叫韩信，他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。” 这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）
【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张？
【四】电灯泡问题：“过道里依次挂着标号是1，2，3, ……100的电灯泡，开始它们都是灭的。当第一个人走过时，他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下；当第二个人走过时，他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下；当第三个人走过时，他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下；……如此进行下去，当第一百个人走过时，他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问：当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？”
※ 此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1，灯亮；第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此可以看出因数的个数是奇数时，灯亮；因数的个数是偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.
【五】巧求六位数：“六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？”
※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。
假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。
假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。
假设六位数为743219，则743219÷4321＝172…7，余数小于9，可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。
当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算均不合题意。综上分析，要求的六位数为743212。
【练一练】：四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？答案：（4895）
【六】时钟问题：①“钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度：360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，在钟面上要么是分针追赶时针，要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。
例1：钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？
※整3时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走360÷12×3=90°，每分钟分针比时针多走6－0．5＝5．5(度)，所用时间为90÷5．5≈16．36(分)。
例2：在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？
※在整5时，时针与分针相隔360÷12×5=150°，然后分针先是追上时针，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°，共150＋ 180=330°，分针每分钟旋转的速度：360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，(150＋ 180)÷(6— 0．5)＝ 60(分) 5时60分即6时正。
例3：钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度？
※整12时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。到12时30分钟，分针走180°到达6时的位置上，而时针在30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数：(6—0．5)×30=55×3=165(度)
例4：钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分？
※从6时整作为起点，此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时，就是所求的时刻。
(180—90)÷(6—0．5) ＝90 ÷5．5 ≈16.36(分钟)(180＋ 90)÷(6— 0．5) ＝270÷5.5 ≈49．09(分钟）
[此题还可采用分率方法来解决]
【七】最优化问题：既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题涉及统筹、线性规划——排序不等式等内容。
例1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？
【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。
例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？
【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法：（1）3尺两根和4尺一根，最省； （2）3尺三根，余一尺；（3）4尺两根，余2尺。为了省材料，尽量使用方法（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。
例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长是多少厘米？
【分析】三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，且它们的和也是偶数，又它们的个位数字的和是7的倍数，只能是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，周长最长为86+88+90=264厘米。
例4: 把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
【分析】先从较小数形开始实验，发现其规律：
把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……
这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。
例5: A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？
【分析】设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。
如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。
例6、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
【想】因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。
[说明] （1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。
例7、有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？
[分析] 为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应安排1个11人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。
[练习]
1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括0）
2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为多少？
3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？
4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？
[习题参考答案及思路分析]
1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是 ,91×2，它们的最大公约数为91。
2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为 ×4×4=8。
3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分钟）。
4、由于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开10小时注满水池的，余下 只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。
5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。
6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。
【八】利润与折扣：工厂和商店有时减价出售商品，通常称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价×期望利润率。
例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？
※定价是进价的1+35%=135%，打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121.5%，每台DVD的实际盈利：208+50=258（元），每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元）
例2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，甲店的进货价是多少元？
※设乙店的成本价为1，乙店的定价是（1+15%），甲店的定价（1-10%）×（1+20%），甲店比乙店的出厂价便宜 11.2元的对应分率是（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%=160（元）160×（1-10%）=144（元）
例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？
※要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按x%的利润定价的。38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%，X%=25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%
[练习]：
1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？
2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？
3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？
4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润率，零售价应是每千克多少元？
5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？
6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12％,乙种贷款年利率为14％。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？
7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？
8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？
9、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？
10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？
【九】找次品问题：例1 有4堆外表一样的球，每堆4个。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
※依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2、有27个外表一样的球，其中有一个次品，重量比正品轻，用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
※第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
21、一杯牛奶250g，小明喝了这杯奶的1/5，然后加满水，又喝了这杯奶的1/4，再加满水，又喝了半杯，小明共喝了多少g纯奶？
※（1）第一次喝了 250×1/5=50g，余奶 250-50=200g，加满水后，含奶率为200÷250×100%=80%，第二次喝纯奶250×1/4×80%=50g，这时杯中有纯奶250-50-50=150g，再加满水后含奶率为150÷250×100%=60%，又喝了半杯，喝纯奶250×1/2×60%=75g，共喝了50+50+75=175g。
（2）第一次喝了1/5，余 1-1/5=4/5,第二次喝了这杯奶的1/4，即喝了4/5的1/4，4/5×1/4=1/5，两次喝后余奶为1--1/5-1/5=3/5，第三次喝了半杯，即喝了3/5的1/2，3/5×1/2=3/10,三次共喝 1/5+1/5+3/10=7/10,即喝了250g的7/10， 250×7/10=175g。
22、一批零件，甲独做要17/2天，比乙独做多用1/2天。两人合作4天后，还剩210个零件由甲完成，甲共做多少个？
※乙独做需17/2-1/2=8天，两人合作4天完成了（2/17+1/8)×4=31/34.还余1-31/34=3/34.这批零件共有210÷3/34=2380个，甲4天做了2380×2/17×4=1120个，甲共做1120+210=1330个。
23、一条公路上，每隔20km有一仓库，共有五个。1号存货20吨，2号存货30吨，5号存货40吨，3号4号空着，现将货物存放一处，如果每吨货物运1km运费是0.25元，那么最少要多少运费？集中几号仓库？1□—2□—3□—4□—□5
※①存入3号。1号每吨货物需运费 0.25×40=10元，20吨货物需10×20=200元；2号每吨货物需运费0.25×20=5元，30吨货物需5×30=150元；5号每吨货物需运费 0.25×40=10元，40吨货物需10×40=400元，共200+150+400=750元。
②存入4号。1号每吨货物需运费 0.25×60=15元，20吨货物需15×20=300元；2号每吨货物需运费 0.25×40=10元，30吨货物需 10×30=300元；5号每吨货物需运费 0.25×20=5元，40吨货物需5×40=200元，共300+300+200=800元，750<800,故存入3号仓库。
24、三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的2/3，兔子的速度是松鼠的2倍，1分钟兔子比狐狸多跑28m，那么1分钟松鼠比狐狸少跑多少m？
※由“狐狸的速度是兔子的2/3”知，兔是单位“1”，1分钟兔子比狐狸多1-2/3=1/3，兔的速度是28÷1/3=84m；由“兔子的速度是松鼠的2倍”知松鼠的速度是84÷2=42m；狐狸的速度是84×2/3=56m，1分钟松鼠比狐狸少跑56-42=14m.
25、甲乙两队从两端同时铺一条水管，铺完时，甲乙两队完成任务的比是5：6.已知甲队每天铺150m，乙队独铺需要20天，问这条水管有多长？
※①想：两队工作量的比是5：6，则工效的比也是5：6，甲效5份是150m，每份是150÷5=30m，乙效是6份，共30×6=180m，20天铺180×20=3600m.
总任务为5+6=11份，乙占6/11，共需6/11÷1/20=120/11天，即甲也需要120/11天，150×120/11÷5/11=3600m。
26、一人骑车从甲地去乙地，需5.5小时，途中3.6km因大雨冲刷，速度只有原来的3/4，因而比原来多用12分钟，甲乙两地相距多少km？
※①从“速度只有原来的3/4”知，行驶3.6km的速度和原来的速度比是3：4，则路程比是4：3，3.6km的路程是3份，每份是3.6÷3=1.2km，原来是4份，共1.2×4=4.8km，原来比实际多行4.8-3.6=1.2km，多12分钟（1/5时），速度为1.2÷1/5=6km，甲乙两地相距6×5.5=33km。
②由“比原来多用12分钟”列方程。解设原来的速度为Vkm,则总路程为5.5Vkm。（5.5V-3.6）÷V+3.6÷(3/4V）=5.5+1/5,V=6,甲乙两地相距6×5.5=33km。
27、每次取出一堆桃子的一半再放回一个，4次后还剩下4个，原有桃子多少个？
※①采用逆推法。由“还剩下4个”知，取了4次后，放回一个是4个，即一半是4-1=3个，第4次没取时是3×2=6个，去掉第三次放的一个，余6-1=5个，第3次没取时是5×2=10个；去掉第二次放的一个，余 10-1=9个，第2次没取时是9×2=18个，去掉第一次放的一个，余 18-1=17个，原有桃子17×2=34个。
②根据“4次后还剩下4个”列方程。解设原有桃子X个，取第一次后余1/2X+1个，取第二次后余（1/2X+1）×1/2+1个，取第三次后余[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1个，取第四次后余{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1个，列式是{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1=4，X=34
28、甲乙两人骑车比赛，两人同时出发，当甲骑车到全程的7/8时，乙骑到全程的6/7，这时两人相距140m，如果继续按原来的速度前进，当甲到达终点时，两人之间的最大距离是多少m？
※总路程为140÷（7/8-6/7)=7840m。 ①利用比来解。甲到达终点，即甲行了“1”，解设乙行了Xm，列式为：7/8:6/7=1:X，X=48/49,乙距离终点还有1-48/49=1/49,两人之间的最大距离是7840×1/49=160m.②甲行7840×7/8=6860m,乙行6860-140=6720m，由于所用时间相同，可把它们所行的路看作速度，甲到终点需时 7840÷6860=8/7,乙行 6720×8/7=7680m，两人之间的最大距离是7840-7680=160m。
29、在公路两旁植树，每隔3m一棵，到头还余6棵；每隔2.5m一棵，到头还缺54棵，这条公路有多长？
※想：①共余6棵树，则公路每边余6÷2=3棵；缺了54棵，则公路每边缺54÷2=27棵。②公路起点也要栽一棵，所以计算树的棵数时要加上1。③利用公路长不变列方程。解设公路长为Xm，X/3+1+3=X/2.5+1-27，X=450m。
30、有两缸金鱼，从甲取出1尾放入乙缸，则两缸金鱼数相同；若从乙缸取一尾放入甲缸，这时乙缸金鱼数是甲缸的1/2，甲乙原有金鱼多少尾？
※从“甲取出1尾放入乙缸，则两缸金鱼数相同”知，甲缸比乙缸多2尾金鱼。利用“这时乙缸金鱼数是甲缸的1/2”列方程。解设乙缸有X尾金鱼，则甲缸有X+2尾金鱼。X-1=(X+2+1)×1/2,X=5，甲是5+2=7尾。
31、有两缸金鱼，第一缸与第二缸的条数比是3：2。如果从第一缸取10尾放入第二缸，这时第二缸的金鱼正好是第一缸的7/8，两缸共有金鱼多少尾？
※【此题金鱼的总数不变，可以形象地理解为自己左口袋的钱装到了右口袋】 原来总份数为3+2=5份，第一缸占3/5；现在总份数为7+8=15份，第一缸占8/15；第一缸只所以由3/5减少到8/15，是因为少了10尾金鱼。两缸共有金鱼10÷（3/5-8/15)=150尾。
32、小华和小强共有24块糖，当小华吃去20%，小强吃了2块后，剩下的糖小强与小华的比是3：2，原来两人各有多少块糖？
※利用“3：2”列比例来解。解设小华有X块糖，则小强有24-X块。（24-X-2）：（1-20%）X=3：2， X=11, 小强有24-11=13块。【本题主要学会利用比来列比例解应用题】
33、A、B都是不为0的自然数，1/A-1/B=1/182,A:B=7:13,求A+B=( )
※由“A:B=7:13”知，A=7/13B,代入“1/A-1/B=1/182”，1÷7/13B-1/B=1/182，B=156. B是13份，每份 156÷13=12，A=12×7=84，A+B=156+84=240.
34、一个长方体，前面和上面的面积之和是209㎡，它的长、宽、高都是质数，求长方体的表面积和体积？
※前面面积是长×高，即ah；上面面积是长×宽，即ab.ah+ab=209,a(h+b)=209,把209分解质因数209=11×19；a=19时，h+b=11，不能分成质数和，故不符合条件，所以a=11,h+b=19,19=2+17,则b=17或2，h=2或17，表面积为（11×17+11×2+17×2）×2=486㎡，体积是11×17×2=374立方米。
35、生产一批零件，甲每小时可做18个，乙单独做要12小时完成。现在由甲乙二人合做，完成任务时，甲乙生产零件的数量之比是3:5，甲共生产零件多少个？
※由“甲乙生产零件的数量之比是3:5”知，这批零件共3+5=8份，乙做了5/8，需时间5/8÷1/12=7.5小时，即甲也需要7.5小时，甲共生产零件18×7.5=135个。
36、下面一段话是一种片剂药包装中的部分说明：
贵港市冠峰制药有限公司
批准文号： 国药准字 Z45022034号
感冒清片 每片重0.22克，口服，一次3-4片，一日三次
生产日期：2007年1月1日 有效期：至2008年12月31日
请你根据说明书回答下面的问题：（1）这种药的名称是（ ）。（2）一天最多服多少克？最少服多少克？（3）这种药片的保质期有（ ）年。
※此题接近生活，读懂理解题意是关键。药的名称是（感冒清片），一天最多服（0.22×4×3=2.64）克，最少服（0.22×3×3=1.98）克，这种药片的保质期有（2008年12月31日-2007年1月1日=1年11个月30天）年
37、某商店购进一批凉鞋，每双售出价比购进价多15%。如果全部卖出，则可获利120元；如果只卖80双，则差64元才够成本。凉鞋的进价每双多少元？
※总进价为120÷15%=800元，80双买800-64=736元，凉鞋的进价每双是736÷80=9.2元。
38、一种商品的成本是180元，改进工艺后成本下降了30%，价格也下降了10%，结果每件商品比原来多赚26元，这种商品原价多少元？
※现在的成本是 180×（1-30%）=126元，假设原价是X元，则现价为 X×（1-10%）=0.9X元，列方程是 X-180+26=0.9X-126，X=180.
39、一种商品按进价的140%定价，然后再实行九折酬宾，再送50元的车费，最后获利145元，那么这件商品的进价是多少元？
※①“实行九折酬宾”就是按定价的90%销售，即140%×90%=126%；不送50元车费，就可获利145+50=195元，售价为“1”，进价是195÷（126%-1）=750元。
②利用“最后获利145元”列方程。解设进价为X元，则定价是140%X，售价为140%X×90%=126%X元，列方程为 126%X-50-X=145，X=750.
40、甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80％，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
※甲行完全程需时间4÷80%=5小时，乙5小时行全程的一半又13km，每小时行1/2÷5=1/10又13÷5=2.6km，已知甲车比乙车每小时多行3千米，已知甲车比乙车每小时多行1/5-1/10=1/10又3+2.6=5.6km，两城相距5.6÷1/10=56km。
41、某班有学生51人，准备推选1名同学在教师节那天给老师献花。选举的方法是让51名同学按编号1、2、3、……、51排成一个圆圈，从1号位开始，隔过1号，去掉2号、3号，隔过4号，去掉5号、6号……如此循环下去，总是每隔过1个人，就去掉2个人，最后剩下的那名同学当选。那么当选的同学开始时是排在几号位置上的？
※根据推选的方法可知，第一轮筛选后留下了17人。这17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49号位置上的同学。接下去继续筛选，留下了6人，这6个人是排在第1、10、19、28、37、46号位置上的同学。不过留下46号后去掉49号，接下来正好去掉1号，再继续下去，留下的是第10、37号位上的同学，在去掉46号之后，接下去是去掉10号，最后剩下的是37号，即开始时排在37号位置上的那个同学当选。
42、有一列数1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、……那么第398个数是多少？
※仔细观察这列分数的特点，不难发现，它们的分母是1、2、3、4.……分母是1的分数有1个；分母是2的分数有3个；分母是3的分数有5个；……分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1……从小到大再到小，依次排列。从而得出，从第400个分数是分母为20的分数中最后一个，即1/20,那么第398个就是从第400个分数再倒数第二个分数，即3/20。
43、如果两个数的和是80，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
※把4875=3×5×5×5×13分解质因数，由此得出这两个数是：5与75或15与65。这两个数的差是 70或50。
小学数学知识结构图
掌 握 项 目数学思想和方法 画线段辅助理解问题。1.找出已知条件并列表整理问题。2.图形结合的思想。1.数表结合解决问题。2.倒推思想解决问题。
应用知识 1.方位辨别；2.统计知识：分类统计。3.概率知识：“可能性”1.物体的正面、侧面和上面。2.统计知识：画“正”字表示次数。3.轴对称图形（对称轴）1.间隔问题。2.平移和旋转（顺时针和逆时针）3.统计知识：各种统计图。1.找规律：根据已知的推测未知的。2.确定位置：行和列。概率知识
应用题题目中的条件和问题，列出加法、减法一步算式，并注明单位名称。1.加法、减法、乘法和除法一步计算的应用题。2.各种量的应用题。1.平均数问题。2.混合运算应用题。3.各种量的应用题。1.量的计算问题。2.混合运算应用题。1.解答三步计算的应用题。2.相遇问题1.工程问题。2.百分数的实际应用。3.比例。
几何初步知识1.长方形、正方形、三角形和圆的直观认识；2.长方体、正方体、圆柱和球的直观认识。
1.直线和线段的初步认识。2.多边形。3.角的认识。长方形和正方形的特征。长方形和正方形的周长和面积计算。1.角的测量。2.平行和相交。3.三角形的性质。4.平行四边形和梯形的认识。5.垂线。1.圆的认识，圆的周长和面积计算。2.多边形面积的计算。长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积和体积计算。
量与计算1.钟面的认识。2.人民币的认识和简单计算。1.时间单位的认识。2.长度单位的认识和简单计算。3.重量单位的认识。
1.面积单位的认识和换算。2.24时计时法；时间段的计算。3.年、月、日。4.千米和吨。统计单位—升和毫升。体积单位
数与计算20和100以内数的认识、加减法（口算、列竖式）1.万以内数的读法和写法。2.两位数加、减两位数，用加法验算减法。3.表内乘法和表内除法。4.混合运算。1.四则混合运算。2.分数的认识和分母相同的分数加减计算。3.小数的认识和加减计算。1.积和商的性质。2.运算定律。3.倍数和因数。4.素数和和数。5.奇数和偶数。6.整数和自然数。1.认识负数。2.小数的四则运算。3.公倍数、公因数。4.分数的性质及计算。5.初步代数知识—方程。1.百分数。2.比和比例。3.分数的四则运算。
年级 一年级二年级三年级四年级五年级六年级
小学数学 典型应用题
1、平均数问题：平均数是等分除法的发展。
2、归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？
3、归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
4、和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
5、和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
6、差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
7、行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？
8、流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
9、还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
10、植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
11、盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
12、年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
13、鸡兔问题：又称鸡兔同笼问题
例 鸡兔同笼共 50 个头，170 条腿。问鸡兔各有多少只？
小学数学高效学习三十六计诀
河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军
课前先预习，课上听仔细。
讨论敢发言，思考有条理。
作业要认真，错例常汇集。
课后勤复习，单元善整理。
先知教同学，生活可联系。
心中有目标，计划要具体。
概念练辨析，判断有依据。
选择找技巧，计算看数据。
应用要灵活，学会找规律。
数形可结合，旋转又平移。
时间要统筹，数据会统计。
繁难肯钻研，常用需熟记。
认真审清题，综合加分析。
全面来检查，归纳再演绎。
考后要总结，疑点不放弃。
倍分可类比，学用新武器。
以静来制动，以退为进取。
算术法奇妙，方程显神奇。
由因可导果，执果索因缘。
归纳为演绎，关系画线段。
包含再排除，叙述巧变换。
整体简思考，分类列举全。
削补变相等，扩缩才代换。
假设成一统，倒推逆还原。
取样化倍比，类比需试探。
比较建对应，特值讲条件。
分组按比例，捆绑方置换。
转化单位1，诸量抓不变。
规律善对比，盈亏重构建。
正阻搞迂回，猜想应检验。
差额移均补，倒数揭隐含。
数形相结合，推理列表见。
以静来制动，合并繁化简。
一题出多解，多题从零算。
字母作辅助，多元想消减。
算术解奇妙，方程能降难。
资深数学老师出题库：小学数学必考经典题型30个，想考差都难！
数学这“老大难”，难住不少的同学们。好多人都觉得数学千变万化的题目看花了眼，但是身为曾经也是数学出题人的我很负责任的告诉大家，数学出题万变不离其宗，其实看透了，数学也不过如此，这是一位资深数学老师的出题宝典，小学数学30个必考题型，掌握了他，你就掌握了老师的出题思路，你的数学成绩还能不高？赶紧收藏了吧！
注意！小学数学这26个知识点最易出错！让孩子看看