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庞加莱猜想（全文）
(2005-12-19 21:52:05)
转载 分类： 朝花夕拾 文章出处:smth发信人: Dionysus (悲剧的诞生), 信区: Science
标 题: 庞加莱猜想-前言
发信站: BBS 水木清华站 (Wed Jul 16 23:09:33 2003), 转信
Poincar\'e 猜想
——谨以本文献给远在异世界的前斑竹 flyleaf
前言
Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!
(我们必须知道！我们必将知道！)
—— David Hilbert
两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其
中有一半篇幅是关于 Poincar\'e 猜想。版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己
所讲的内容发在版上。当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。主要是
因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下
笔。
两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先
足了。另外，由于 Clay 研究所的百万巨赏，近年来 Poincar\'e 猜想频频在媒体
上曝光；而且 Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这
一猜想的最后解决。所以大概会有很多人对 Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，
我也好借机一偿两年来的宿愿。
现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，
所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。但限于篇幅和文章的形
式，我也不可能对很多东西详细解释。一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在
本文的附录中解释。还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大
可不去理会它们的确切含义。我将尽量避免使用这一类的专业术语。
作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而
不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。
凡此种种，还请读者诸君海涵。
问题的由来
Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois
dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ se
r\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas
simplement connexe?
—— Henri Poincar\'e
在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维
空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称
为n维球面(sphere)。) 与它们不同的一种曲面是轮胎或者游泳圈，我们管这种曲面
叫环面(torus)，记作T^2.
从环面出发可以构造更多的曲面：取两个环面，在每个上面挖一个洞，然后把
两个洞的边缘粘在一起，就得到一种新的曲面，称为双环面，记作2T^2. 从两个环
面得到双环面的这种过程称为作两个环面的连通和(connected sum)。类似地，还可
以作双环面与环面的连通和，得到的曲面自然就记作3T^2...
早期拓扑学研究的主要对象就是这些形形色色的曲面。19世纪的数学家基本上
已经完成了曲面的分类，一个著名的结果是 August M\"obius 在70岁时得到的：
可定向闭曲面只有上面所说的那些，即 S^2, T^2, 2T^2, 3T^2...
拿一个汽车轮胎，我们可以用一个绳圈把它套住，而且套得很牢，怎么晃都晃
不掉，只要绳子不断、轮胎不裂。如果是皮球就不同了，你没法用绳圈把一个皮球
套牢。即使你将皮球捏瘪甚至捏凹，也只能勉强用绳圈套上，稍微晃一晃就掉了。
这种“用绳圈套不住”的性质是球面所独有的，数学上称为“单连通性”。
较严格地用数学语言说，球面上的任何一条闭合道路都能在球面上连续地收敛
为一点。而T^2, 2T^2等曲面就不是单连通的，因为上面存在着一些闭合道路，不能
在该曲面上连续地收缩为一点。根据 M\"obius 所证明的闭曲面分类定理，单连通
的闭曲面必然同胚于球面。
数学家们在获得一个结论后，总是会寻找更加一般的结论。以前 Ecole Poly-
technique 的一位物理教授面试 ukim 的时候，出了一道题，大意是在xz平面, zy
平面, yz平面各放一面镜子，一束光照进来，然后如何如何。ukim 当然不会做，然
后那教授给他讲了一个很好的看法。为了挽回面子，ukim 瞬间证明了这个问题可以
推广到n维……
一百年前 ukim 的校友 Poincar\'e 同样是遵循着这种低维->高维的推广思路，
写下了前面那一段引言。今天我们把这个问题称为 Poincar\'e 猜想：
单连通的三维闭流形必然同胚于三维球面 S^3. 也就是说，如果有一个三维闭流
形M，M 中任何一条闭合道路都能在 M 内连续收缩为一点，那么 M 就同胚于 S^3.
需要指出，Poincar\'e 提出这一问题时，并不是作为一个“猜想”(见[Th2])。
因为他自己只是问“单连通的三维闭流形是否同胚于S^3”，并没有给出一个倾向性
的答案。而且他以其深刻的洞察力，看出这一问题的解决还有待时日："Mais cette
question nous entra\^{\i}nerait trop loin."
参考文献：
[Mil] J. Milnor, "The Poincar\'e Conjecture", http://www.claymath.org/Millen
nium_Prize_Problems/Poincare_Conjecture/_objects/Official_Problem_Description
.pdf, (2000).
[Th2] Thurston, W. P. "Three-dimentional manifolds, Kleinian groups and
hyperbolic geometry", Bull. Amer. Math. Soc. 6(1982), 357-381.
维数的玩笑
Dimension implies direction, implies measurement, implies the more and
the less.
—— Edwin A. Abbott, "Flatland"
1900年，Poincar\'e 最初用他所创立的代数拓扑研究三维流形时，提出的问题
是：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否同胚于 S^3？
四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，于是便将问题改成：
“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(即基本群平凡，或者说这个流
形单连通，) 那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是我们所说的“Poincar\'e
Conjecture”。
容易证明，如果一个三维闭流形单连通，那么它同伦等价于S^3，当然也与S^3
有相同的同调群。我们今天把与球面有相同的同调群的流形称为同调球(homology
sphere)，而同伦等价于球面的流形则称为同伦球(homotopy sphere)。Poincar\'e
猜想也可以叙述为：三维同伦球一定同胚于球面。
（Poincar\'e 在1904年构造了一个三维同调球，其基本群是一个120阶群，从
而对他在1900年提出的那个问题给了否定回答。有趣的是，尽管后人能构造出许多
同调球，但只有 Poincar\'e 的那个具有有限的基本群。事实上，如果 Poincar\'e
猜想正确的话，Poincar\'e 的同调球就是唯一一个基本群有限但不同胚于S^3的同
调球。）
我们在前一节说过，数学家总是喜欢对问题进行推广。后来的数学家推广了
Poincar\'e 的命题，提出所谓的广义 Poincar\'e 猜想：n维同伦球一定同胚于n维
球面 S^n. 这个问题等价于：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那
么它同胚于 S^n.
1961年，Stephen Smale 在[Sm]文中证明了广义 Poincar\'e 猜想在n≥5时成
立，并因此获得了1966年的 Fields 奖。Smale 是一位经历丰富、特立独行的数学
家。六十年代在 Berkeley 他就是反越战运动的领袖，并因此上了FBI的黑名单。
1966年他到莫斯科领取 Fields 奖时，又因为公开抨击苏联的国内国际政策而被KGB
找去谈话。1998年北大百年校庆期间，我有幸见到这位传奇人物。当时感觉他虽然
面容如古井不波，眼眸中却隐藏不住顽皮好动的神色。最近出版了一本他的传记[Bat]，
读者可以从中领略到他的风采。
这里有一点乍看来比较奇怪：通常我们认为高维比低维更复杂更困难，但广义
Poincar\'e 猜想首先获得证明的却是n≥5的情形。拓扑里这种事很常见，很多问题
都是低维比高维更困难，可谓是维数开的一个玩笑。我们可以简要解释如下：维数
高意味着有更多的“余地”进行一些操作。比如说，我们经常要考虑流形里的曲面。
曲面是2维的对象，在3维或4维流形中，它的“剩余”维数是1或2，太狭小；在5维
以上流形中，“剩余”维数大于它自身的维数，有充足的余地进行操作。
1982年，UCSD的 Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而
证明了4维的广义 Poincar\'e 猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。至此，后
人提出的“广义” Poincar\'e 猜想都已经获得证明，而 Poincar\'e 原先提出的
三维情形还没解决。Freedman 的工作已经超出了笔者的理解范围，有兴趣的读者可
参见[FQ]和[Kir]。
Freedman 热爱攀岩，善于长跑。有一年北京大学的王诗宬同他在海边跑一万米，
跑完后 Freedman 意犹未尽，立刻作了几十个俯卧撑。Freedman 的妻子是美国国家
长跑队的队员，跑得比他还快。如今他已经跳槽到微软研究院，研究远未有结果的
“量子场计算机”。
参考文献：
[Bat] S. Batterson, "Stephen Smale : the mathematician who broke the
dimension barrier", American Mathematical Society (2000). 中译本：“突破维
数障碍 斯梅尔传”，邝仲平译，上海科技教育出版社 (2002).
[FQ] M. H. Freedman, and F. Quinn, "Topology of 4-manifolds", Princeton
University Press (1990).
[Kir] R. C. Kirby, "The topology of 4-manifolds", Lecture Notes in
Mathematics 1374, Springer-Verlag (1989).
[Sm] S. Smale, "Generalized Poincar\'e's Conjecture in dimensions greater
than four", Ann. Math. 74(1961), 391-406.
维数的玩笑
Dimension implies direction, implies measurement, implies the more and
the less.
—— Edwin A. Abbott, "Flatland"
1900年，Poincar\'e 最初用他所创立的代数拓扑研究三维流形时，提出的问题
是：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否同胚于 S^3？
四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，于是便将问题改成：
“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(即基本群平凡，或者说这个流
形单连通，) 那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是我们所说的“Poincar\'e
Conjecture”。
容易证明，如果一个三维闭流形单连通，那么它同伦等价于S^3，当然也与S^3
有相同的同调群。我们今天把与球面有相同的同调群的流形称为同调球(homology
sphere)，而同伦等价于球面的流形则称为同伦球(homotopy sphere)。Poincar\'e
猜想也可以叙述为：三维同伦球一定同胚于球面。
（Poincar\'e 在1904年构造了一个三维同调球，其基本群是一个120阶群，从
而对他在1900年提出的那个问题给了否定回答。有趣的是，尽管后人能构造出许多
同调球，但只有 Poincar\'e 的那个具有有限的基本群。事实上，如果 Poincar\'e
猜想正确的话，Poincar\'e 的同调球就是唯一一个基本群有限但不同胚于S^3的同
调球。）
我们在前一节说过，数学家总是喜欢对问题进行推广。后来的数学家推广了
Poincar\'e 的命题，提出所谓的广义 Poincar\'e 猜想：n维同伦球一定同胚于n维
球面 S^n. 这个问题等价于：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那
么它同胚于 S^n.
1961年，Stephen Smale 在[Sm]文中证明了广义 Poincar\'e 猜想在n≥5时成
立，并因此获得了1966年的 Fields 奖。Smale 是一位经历丰富、特立独行的数学
家。六十年代在 Berkeley 他就是反越战运动的领袖，并因此上了FBI的黑名单。
1966年他到莫斯科领取 Fields 奖时，又因为公开抨击苏联的国内国际政策而被KGB
找去谈话。1998年北大百年校庆期间，我有幸见到这位传奇人物。当时感觉他虽然
面容如古井不波，眼眸中却隐藏不住顽皮好动的神色。最近出版了一本他的传记[Bat]，
读者可以从中领略到他的风采。
这里有一点乍看来比较奇怪：通常我们认为高维比低维更复杂更困难，但广义
Poincar\'e 猜想首先获得证明的却是n≥5的情形。拓扑里这种事很常见，很多问题
都是低维比高维更困难，可谓是维数开的一个玩笑。我们可以简要解释如下：维数
高意味着有更多的“余地”进行一些操作。比如说，我们经常要考虑流形里的曲面。
曲面是2维的对象，在3维或4维流形中，它的“剩余”维数是1或2，太狭小；在5维
以上流形中，“剩余”维数大于它自身的维数，有充足的余地进行操作。
1982年，UCSD的 Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而
证明了4维的广义 Poincar\'e 猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。至此，后
人提出的“广义” Poincar\'e 猜想都已经获得证明，而 Poincar\'e 原先提出的
三维情形还没解决。Freedman 的工作已经超出了笔者的理解范围，有兴趣的读者可
参见[FQ]和[Kir]。
Freedman 热爱攀岩，善于长跑。有一年北京大学的王诗宬同他在海边跑一万米，
跑完后 Freedman 意犹未尽，立刻作了几十个俯卧撑。Freedman 的妻子是美国国家
长跑队的队员，跑得比他还快。如今他已经跳槽到微软研究院，研究远未有结果的
“量子场计算机”。
参考文献：
[Bat] S. Batterson, "Stephen Smale : the mathematician who broke the
dimension barrier", American Mathematical Society (2000). 中译本：“突破维
数障碍 斯梅尔传”，邝仲平译，上海科技教育出版社 (2002).
[FQ] M. H. Freedman, and F. Quinn, "Topology of 4-manifolds", Princeton
University Press (1990).
[Kir] R. C. Kirby, "The topology of 4-manifolds", Lecture Notes in
Mathematics 1374, Springer-Verlag (1989).
[Sm] S. Smale, "Generalized Poincar\'e's Conjecture in dimensions greater
than four", Ann. Math. 74(1961), 391-406.
与风车搏斗的人们
为了寻求真理，我们是注定会经历挫折和失败的。
—— Denis Diderot
拓扑学的一个基本问题是流形的拓扑分类。从代数拓扑角度看，同伦球是比较
简单的一类流形。Poincar\'e 猜想所问的就是，在这种几乎是最简单的情形，代数
信息能在多大程度上确定拓扑信息？这是一个拓扑学家无法回避的问题。不难想象，
像这样著名且重要的问题会有很多人有兴趣研究，也会有很多人认为自己已经解决。
但这些人都是真正严肃的研究者，因为民间数学家恐怕连这个问题都看不懂。
1934年，J. H. C. Whitehead (并非那位与 Bertrand Russell 齐名的哲学家
A. N. Whitehead) 在一篇文章中“证明”了这样一个结论：“任何一个开的三维流
形，如果同伦等价于三维欧氏空间 R^3，那么就一定同胚于 R^3”。S^3 挖去一个点
就是 R^3，所以这个命题能够推出 Poincar\'e 猜想。不幸 (或者说万幸？) 的是，
稍后 Whitehead 本人发现了其中的错误，并且举出了一个反例。(J. H. C. Whitehead
是同伦论的奠基人之一，后来在墨西哥太阳金字塔失足跌死。)
Poincar\'e 猜想有很多等价的描述，Princeton 的希腊数学家 C. D. Papaky-
riakopoulos 曾经把它化成一个纯粹的群论问题。Papa...是几何、拓扑领域最
高奖Veblen奖的首届获奖者。他研究生涯后期的主要精力就放在 Poincar\'e 猜想上。
后来他病入膏肓，便找来三位著名的拓扑学家到病床前，拿出一份手稿，说自己证明
了 Poincar\'e 猜想。其实那三人已经发现了证明中的一个明显错误，但都没有捅破，
只是安慰 Papa...说他们会仔细看一看这个证明。随后不久 Papakyriakopoulos 便
辞世了。
早先给出 Poincar\'e 猜想错误证明的人很多，Whitehead 和 Papakyriakopoulos
算是其中名气最大的。当然，即使是这些错误证明，也有其价值，至少给后人树了
一块“此路不通”的牌子；而且很多证明是有其正面意义的。70年代以前关于 Poin-
car\'e 猜想的研究进展在[Hem]一书中有所总结。
近来来关于 Poincar\'e 猜想证明，比较出名的是 Po\'enaru 的工作。Po\'enaru
是三维拓扑领域中相当有影响的数学家，按王诗宬的说法是一个“神人”。从上世
纪九十年代以来，他陆续写了一系列文章，提出了一个证明 Poincar\'e 猜想的纲
领(见[Ga])。经过中间一些反复，最终他宣布已经完成了整个证明。问题是，他写
的证明加起来超过了一千页……陈省身对此的评论是：“一千页的证明还不如不证
明。”
其实一千页并不算长，——在某些人眼里。1980年左右，群论专家们宣布完成
了有限单群的分类。整个证明由几十年间发表在各种杂志上的上百篇论文组成，总
长度超过15,000页，其中最长的一篇论文有1,200页。接下来就有几个人致力于整理
出系统的证明，已出版的第一卷有800页。他们的最终目标是一个3,000页左右的证
明，这样才具有一定的可读性。
审阅证明基本上是一件为她人作嫁衣裳的苦差使。数学家有自己的事情要做，
很难花费宝贵时间去阅读一个成百上千页的证明。所以这样的证明不容易获得同行
公认。一个著名的例子是 Bieberbach 猜想。1984年，Purdue 大学的 Louis de
Branges 宣布他解决了这一单叶函数论里的核心问题，并把手稿寄给十几位专家审
阅。De Branges 是一位复分析学家，但并不属于单叶函数论的圈子；他已经五十
多岁了，而且名声不太好，——他曾宣称自己证明了Riemann假设；他用的方法是
几十年前的人就使用过的老方法，在圈内人眼中这种方法根本不会成功……总之，
各种因素都对 de Branges 很不利，使得没有一位美国数学家愿意审阅他那篇385
页的论文。
好在西方不亮东方亮，世界上还有一种勤劳、勇敢、智慧、热情的生物，我们
称之为苏联人。三位苏联同行把 de Branges 请到列宁格勒，开了一个学期的讨论
班讲他的工作。最终苏联人审查通过了 de Branges 的论文，并把证明简化到只有
15页，发表在 Acta Mathematica 上。后来在 Purdue 召开了一个关于 Bieberbach
猜想的国际会议，de Branges 在会上发言，一句学术的事情也没讲，尽是大骂他的
上司不重视他，不给他加薪，以及抱怨美国同行们有偏见，不理睬他的证明。
但现在 Po\'enaru 的运气显然没有 de Branges 那么好，因为苏联已经不存在
了……曾经有人试图阅读他的证明，结果找到了一个错误。(一千页的证明里，若是
没有错误，那才是怪事。) 后来 Po\'enaru 说他已经改正了错误，但再也没有人愿
意去看了。
去年在西安举行了一个几何拓扑的国际会议，Kirby 曾提议叫 Po\'enaru 作一
次全会报告。但组委会认为，一个小时内讲一个一千页的证明，不会对听众有多大
帮助，所以没有邀请他。也许 Po\'enaru 的想法真的行得通，但我们大概永远不会
知道真相。
2000年，千年之交，Clay 研究所组织数学界的一些领袖人物，提出数学中的七
个重要问题，每个问题都悬赏百万美元征求解答，Poincar\'e 猜想便是其中之一。
百万巨赏使 Poincar\'e 猜想获得了数学圈以外的名声，尤其是新闻界的关注。从
此，关于 Poincar\'e 猜想的一点点风吹草动都会引起大批媒体的兴趣。
很快就有动静了。2002年初，英国 Southampton 大学的 Martin J. Dunwoody
宣布自己解决了 Poincar\'e 猜想，证明放在网上，只有5页。这一新闻迅速占据了
世界各地报刊的重要位置，甚至上了Nature,Science这样的正经科技期刊。Dunwoody
算是三维拓扑圈子里的人，六十多岁了。5页的证明中，如果有错误，他自己应该能
发现，所以人们觉得他可能会有些道理。但无论是他本人，还是他文章中所引用、
致谢的人，都不是什么“神人”。就凭这些人能证明 Poincar\'e 猜想？实在让人难
以置信。
错误很快就被人找出来，然后 Dunwoody 修改自己的证明；接下来又找出新的
错误，又修改……数易其稿后，论文增加了一个图，页数增加到6页，标题也由"A
Proof of the Poincar\'e Conjecture" 变成 "A Proof of the Poincar\'e
Conjecture?"。但最终，Dunwoody 不得不承认，证明里漏掉了关键的一步。
注：本节标题取自 yyf 的系列文章。
参考文献：
[Ga] D. Gabai, "Valentin Po\'enaru's program for the Poincar\'e conjecture",
Geometry, topology & physics, 139-166, International Press (1995).
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).