赛尔号盖亚特训2:《数书九章》与农学

曾雄生
(中国科学院自然科学史研究所，北京，１０００１０）
摘 要 该文从农学史的角度，探讨宋秦九韶《数书九章》中天时、田域等章及其有关问题与农业的关系，指出它们在农学思想及土地利用上的意义和价值，并论及历法与农业的关系，文中还对第九章市物类“菽粟互易”一 题中题到的“油麻”一物进行了考证，指出油麻即芝麻。
关键词 《数书九章》、农学、天时、田域、油麻
中图法分类号 S09
《数书九章》是南宋秦九韶氏（1202－1261）于淳＃七年（1247）所完成的一部算学著作，书分九章，每章九问，凡八十一问。秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平，被誉为是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。数学史家们对于秦九韶的数学成就做了大量的研究[1] [2] [3]，对于《数书九章》与当时社会经济的关系也有所论及[3] [4] [5]，但从农学史的角度来研究书中的有关问题却鲜有为之。秦九韶认为，研究数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物。”但他同时又承认“所谓通神明，顺性命，固肤末于见”，即没有太深的体会，于是便从小处着手，搜求天文历法、生产生活、商业贸易，以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”[6]。其与农有关者，如第二章 天时类、第三章　田域类、第五章　赋役类、第七章　营造类、第九章　市物类等。兹择其要者，试述如下：
一，天时与农时－－兼论历法与农业的关系
《数书九章》的第二章为“天时类”。天时，本为古之“三才”之一。孟子在论述战争胜败之因素时，曰：“天时不如地利，地利不如人和”。打仗如此，从事农业生产也不例外，早在战国时期，天时、地利、人和的“三才”思想就已广泛运用于指导农业生产实践，《吕氏春秋·审时》说：“夫稼，为之者人也，生之者地也，养之者天也。”[7]明末清初的思想家兼农学家陆世仪说：“天时、地利、人和，不特用兵为然，凡事皆有之，即农田一事关系尤重。”[8]
天时用之于农业，首先表现为“农时”，孟子曰：“不违农时，谷不可胜食”[9]又曰：“百亩之田，勿夺其时，八口之家，可以无饥矣”[5]。《吕氏春秋·审时》篇还从作物生长、产量及品质等角度，具体地论证了掌握农时的重要性。其曰：“得时之稼兴，失时之稼约。茎相若，称之，得时者重，粟之多。量粟相若而舂之，得时者多米。量米相若而食之，得时者忍饥。是故得时之稼，其臭香，其味甘，其气章，百日食之，耳目聪明，心意睿智，四卫变强，凶气不入，身无疴殃。”[12] 农时如此重要自然引起了古代农学家们的重视。明代马一龙说：“力不失时，则食不困。知时不先，终岁仆仆。故知时为上，知土次之”[11]。早于秦九韶约一百年的南宋农学家陈#就在其所著《农书》（1149年）中专辟有“天时之宜篇”，讨论天时与农业生产的关系，指出：“在耕稼，盗天地之时利”，“农事必知天地时宜，则生之、蓄之、长之、育之、成之、熟之，无不遂矣。”；而在《数书九章》之后二十余年出版的《农桑辑要》（1273年）则有一篇“论九谷风土及种莳时月”，讨论天时与地利的问题；又其后六十余年，王祯在《农书》中将“授时篇”作为“农桑通诀”的第一篇。而清代乾隆七年（1742年）官修之大型农书，素性命名为《授时通考》，而“天时”即为其中“八门”之首。
农时的重要性也引起了古代数学家的重视，《数书九章》“天时类”之述正是从天时与农事的关系这一角度提出来的，秦九韶在“自序”中如是说：“七精回穹，人事之纪，追缀而求，宵星画晷，历久则疏，性智能革，不寻天道，模袭何益。三农务穑，厥施自天，以滋以生，雨膏雪零。司牧闵焉，尺寸验之，积以器移，忧喜皆非。述天时第二。（画线部分为笔者所加）”[6]从中不难看出，“天时”之述正是出于为农业服务的宗旨。“天时”同时出现在农书和数书中，正显示了当时科学家们对于农业的关心，所不同者，农学家注重理论概括，而数学家讲究精确计算。
天时类，凡九问。所述问题大致可以分为两个方面，一是天文历法，一是测雨验雪，即有关降水量的测量问题。此二者与农有何干系？先从雨雪说起。雨雪，作为天时的重要组成部分之一，它与农业的关系是最容易理解的。首先，作物生长需要适量雨水的灌溉。雨量的多少制约着农业生产。雨多导致水灾，而少雨又酿成干旱，而水旱又是农业的两大主要灾害，以致于陆世仪说：“水旱，天时也”[8]，可见雨水是“天时”中最为重要的内容。据此，古人往往根据雨水的大小来预测年成的好坏，即所谓“占雨”，如“凡甲申风雨，五谷大贵，小雨小贵，大雨大贵；若沟渎皆满者，急聚五谷。”[12]其次，雨量的大小是确定播种期的重要依据，《…胜之书》：“三月榆荚时雨，高地强土可种禾”[13]。《齐民要术·种谷》：“凡种谷，雨后为佳。遇小雨，宜接湿种；遇大雨，待秽生”[14]。《宋史·食货志》载：“帝每以水旱为忧，宝元初，诏诸州旬上雨雪，著为令。”何以确定雨水之大小？古代地方政府往往在其治所设有“天池盆”，而民间也常常以圆罂接雨，目的都是以测雨水，这便引出了对降雨量的计算，“天池测雨”和“圆罂测雨”二问即因此而出。雪作为雨水的一部分，在古人看来还有另一种意义，即“验雪占年”，今日所谓的“瑞雪兆丰年”就是从这里引出来的，但下多厚的雪才够得上是瑞雪，这也就引出了一个计算问题，于是便有了“峻积验雪”和“竹器验雪”二问。测雨和验雪都是要求求出地面的积水和积雪厚度。兹以“天池测雨”为例：
问今州郡都有天池盆，以测雨水。但知以盆中之水为得雨之数，不知器形不同，则 受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得寸之数，假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸。欲求平地雨降几何？答曰：平地雨降三寸。[6]
已故著名数学史专家钱宝琮先生对于本题中提到的“天池盆”作了高度的评价，指出：“天池盆是世界文化史上最早出现的雨量器”。[15]
再说天文历法。天文历法是天时类所涉及的主要问题。这其中有五问，五问之中除“缀术推星”之外，其余四问皆以计算冬至时刻有关。众所周知，冬至是二十四节气之一，是一个回归年的起算点，冬至的时刻确定得准确度，关系到全年节气预报的准确度，或许正因为如此，冬至时刻被秦九韶称之为“气骨”。“推气治历”一题即要求算出嘉泰甲子年（1204年）冬至发生的时刻。
问太史测验无道．庆元四年戊午岁冬至三十九日九十二刻四十五分，绍定三年庚寅岁冬至三十二日九十四刻一十二分．欲求中间嘉泰甲子岁气骨、岁余、斗分各得几何？[6]
冬至时刻不仅是出于推算节气的需要，也是安排农事的主要依据。许多古代许多农事活动安排都是从冬至或夏至日开始计算的，兹举例如下：
时间
农事
出处
日至（按指冬至）六十日而阳冻释，七十日而阴冻释
阴冻释而艺稷，百日不艺稷，故春事二十五日之内耳。
管子·臣乘马
冬至后五旬七日
于是始耕
吕氏春秋·任地
夏至后九十日
此时耕田，一而当五，名曰膏泽
…胜之书·耕田
夏至后八十、九十日
持长索，概禾中，去霜露
…胜之书·种谷
夏至前二十日
有雨，强土可种黍
…胜之书·种黍
夏至后二十日
尚可种大豆
…胜之书·大豆
夏至后二十日
沤＃
…胜之书·种麻
夏至后七十日
可种宿麦
…胜之书·大小麦
冬至后一百一十日
可种稻
…胜之书·种稻
夏至先后各二日
可种黍
四民月令·五月
夏至先后各五日
可种牡麻
四民月令·五月
夏至后二十日前
可别稻及蓝
四民月令·五月
夏至前十日
种麻为上时
齐民要术·种麻
夏至日
种麻为中时
齐民要术·种麻
夏至后十日
种麻为下时
齐民要术·种麻
二至日还是古代进行农业预测的重要标准。《…胜之书》：“欲知岁所宜，以布囊盛粟等诸物种，平量之，埋阴地－－冬至日窖埋。冬至后五十日，发取量之，息最多者，岁所宜也。”[16]《淮南子》：“从冬至日数至来年正月朔日，五十日者，民食足；不满五十日者，日减一斗；有余日，日益一斗。”[17]
古人除了直接以二至日作为安排农事，进行农业预测的主要依据以外，而且还大量地利用以二至日为标准所定二十四节气等来安排农事。古人认为，生物的生长化育是受阴阳二气支配的，陈＃在《农书·天时之宜篇》说：“四时八节之行，气候有盈缩＃赢之度。五运六气所生，阴阳消长有太过不及之差。其道甚微，其效甚著。盖万物因时受气，因气发生；其或气至而时未至，或时至而气未至，则造化发生之理因之也。若仲冬而李梅实，季秋而昆虫不蛰藏，类可见矣。天反时为灾，地反物为妖。灾妖之生，不虚其应者，气类召之也。阴阳一有衍忒，则四序乱而不能生成万物。寒暑一失代谢，即节候差而不能运转一气。”[18]也就是说，阴阳二气是万物的主宰。那么，阴阳二气又是如何消长的呢？马一龙《农说》说：“阴阳列于四时，早晚见于节候，岁气系于日星。”而“四时有八节：立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至也。冬至以后，阳渐长。立春，阳之出也。春分，阳气之中也。立夏得阳三之二，至夏至而极矣。夏至以后，阴渐长。立秋，阴之出也。秋分，阴气之中也。立冬得阴三分之二，至冬至而极矣……冬至一阳生，主生主长；夏至一阴生，主杀主成。故曰生者阳也，成者阴也。”[11]可见，冬夏二至又是阴阳二气的分水岭，二至基础上产生的四时八节二十四气也就成为安排农事的主要依据。时至今日，农谚中还有“懵懵懂懂，清明下种”，“小暑捋，大暑割”，“立秋栽禾，不够喂鸡婆”等说法。
推气只是从理论上来计算出冬至到来的时刻，但真正确定冬至到来的时刻还必须借助对于日影长度的测量。但同一时刻的日影长度在不同的纬度是不同的。长期以来，由于中国的政治中心主要在北方，定四时所依据的日影长度，多以中原为标准，并为传统农学所遵循，元代孟祺在“论九谷风土及种莳时月”一文中如是说：“若夫时之早晚，按《齐民要术》有上、中、下三时，大率以洛阳土中为准。此亦举一隅之义尔。以周公土圭之法推之，洛南千里，其地多暑；洛北千里，其地多寒。暑既多矣，种艺之时，不得不加早；寒既多矣，种艺之时，不得不加迟”[19]。但秦九韶生活的时代，情况已发生变化，这就是宋廷南迁。南迁之后，定义每年二十四节气的重要参数日影长度，必须重新测定，而不能照搬原来在中原地区测定的日影长度，只有这样才能确定准确的符合南宋统治区域内二至，乃至二十四节气的来临时间，为农业生产服务。于是有“揆日究微”一题：
问历代测景，惟唐大衍历最密．本朝崇天历，阳城冬至景一丈二尺七寸一分五十秒，夏至景一尺四寸七分七十九秒，系与大衍历同．今开禧历，临安府冬至景一丈八寸二分二十五秒，夏至景九寸一分，欲求临安府夏至后，差几日与阳城夏至日等，较以大衍历晷景所差尺寸，各几何几何？[6]
这道题要求算出，临安府（今杭州市）在夏至后多少日的日影长度与阳城（今河南登封告成镇）夏至日的日影长度相等。何以要作如此的计算呢？先看计算得出的结果，经过计算得出，阳城夏至影长与临安大暑后五日寅时影长相等。假使仍然按照阳城夏至影长作为临安府夏至时刻的标准，则临安的夏至日要晚到一个多月，这显然会引起错乱，而不利于以夏至来临为主要参照点的农事安排。
二至时刻是安排农事的主要依据，而测量的日影则是确定二至时刻的主要方法。除此之外，古人还通过测量日影来预测年成的好坏，因此，每逢立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至等四时八节都有所谓“占影”。如“立春杂占”，“常以入节日日中时，立一丈表竿度影：得一尺，大疫，大旱，大暑，大饥；二尺，赤地千里；三尺，大旱；四尺，小旱；五尺，下田熟；六尺，高下熟；七尺，善；八尺，涝；九尺及一丈，大水。若其日不见日，为上。次立八尺表日中时，影得一丈三尺七分半，宜大豆。凡春夏影短为旱，长为病，为水；秋冬短为旱，长为水、霜、雷。如度即吉。他节准此。其日阴者，前后一日同占”[12]。同样的方法也用于“占月影”[12]。今天看来，日影、月影之长度与农业收成之间并无必然之联系，但从中不难看出，在传统文化中农业与天文历法之间的关系。
前面所说日影、二十四节气等，指的都是太阳历，太阳历虽然与农业的关系非常密切，但农业生产中最常用的还是太阴历，传统的历法中，年、月、日的计算是以太阴历为准，而二十四节气、七十二候等与以阴历计算的年、月、日之间并没有对应的关系，也就是说，每个节气到来的日子在阴历中是不固定的。因此，在很长的时期里，一般人们，特别是农民对于阳历似乎并没有很好的把握，而所谓农历尽管是阴阳合历，但更多的时候指的是阴历，即以朔望定月。从农书来看，以二至日作为安排农事的依据，主要出现在先秦到两汉的一些农书中，后世的农书，除《齐民要术》偶尔使用外，以后更不多见，特别是唐宋以后，随着经济重心的南移，以中原日影长度为标准所制定的二十四节气，并不适合于南方的实际情况，因此，唐宋以后的农书，提到二至乃至二十四节气的时候更少。真正用于指导农业生产最多的并不是二十四节气，而是以朔望定月的阴历，中国古代之月令体农书正是适应这种需要而出现并发展的。秦九韶生活的宋元时期正是如此，当时人们还往往雷同以农历正月为始春，四月为始夏[18][20]。由于阴历年与回归年之间的长度不同，因而有时会出现“或气（阳历）至而时（阴历）未至，或时至而气未至”的现象，即所谓“气候有盈缩＃赢之度，阴阳消长有太过不及之差”，这就必然给农事安排带来一定困难。
为了解决这一矛盾，制定出符合农业生产实际的历法出来。早在秦九韶之前140余年，大科学家沈括就提出了以二十四节气定历的主张，“用十二气为一年，更不用十二月，直以立春之日为孟春之一日，惊蛰为仲春之一日，大尽三十日，岁岁齐尽，永无润除。”[21]基于同样的思想，元代王祯发明了“授时指掌活法之图”，“以交立春节为正月，交立夏节为四月，交立秋节为七月，交立冬节为十月。”[22]沈括和王祯的一个基本思想，就是要以阳历，取代阴历，而阳历较之于阴历要难于掌握，而且还要涉及到许多问题，就连王祯自己也认为这个以阳历为基础所绘制的“授时图”并非功德圆满，“若夫远近寒暖之渐殊，正闰常变之或异，又当推测晷度，斟酌先后，庶几人与天合，物乘气至，则生养之节，不至差谬。”[22]
《数书九章》 “天时类”的目的之一就是尽量协调阴历与阳历之间的矛盾，为指导农业生产服务。还是以书中的“推气治历”为例，题中除了要求出气骨以外，还要求出岁余。所谓“岁余”，指的是回归年长度与阴历年360日的差数。原题术文先推算出岁余为5．24293030日，又因嘉泰甲子年上距庆元四年计6年，所以冬至时刻应向后移5．24293030×6＝31．45758180（日）。嘉泰四年甲子冬至时刻发生在甲子后39．9245＋31．45758180＝71．38208180（日）。术文说：“满纪法六十，去之”，这就是说71．38208180－60＝11．38208180（日）为所求甲子年气骨之数[6]。由此可见，如果以农历计算，每年冬至生产的时刻是不同的，年与年之间要相差5天多，一般认为早晚二天对于农业并无大碍，据此有人提出所谓“古代历法的绝大部分内容与农业无关”的观点[23]。但持这种观点的人忽略了一个基本事实，这就是“历久则疏”，如果失于计算，差之毫厘，则可谬以千里，以岁余为例，一年的岁余为5.24293030日，6年为31.45758180日，这在农业生产上是不容许的。据上引《四民月令》的记载，黍和牡麻的播种期分别是“夏至先后各二日”和“夏至先后各五日”，五天的误差已接近极限。再以《齐民要术》所记载的农作物播种期为例，书中所记载的农作物播种期多有“上时”、“中时”和“下时”之分，如：
作物
上时
中时
下时
差数(天)
谷
二月上旬
三月上旬
四月上旬
30
黍
三月上旬
四月上旬
五月上旬
30
大豆
二月中旬
三月上旬
四月上旬
30
小豆
夏至后十日
初伏断手
中伏断手
10
麻
夏至前十日
至日
夏至后十日
10
麻子
三月
四月
五月初
30
大小麦
八月中戊前
下戊前
八月末九月初
10
水稻
三月
四月上旬
四月中旬
30
旱稻
二月半
三月
四月初及半
30
胡麻
二、三月
四月上旬
五月上旬
30
瓜
二月上旬
三月上旬
四月上旬
30
从上述举例中可以看出，上、中、下时之间有时相差1个月，有时相差只有10多天，有的作物的最佳播种期只有几天，如果错过，必将影响产量，如黍的最佳播种期是在夏至前后几天之内，因此农谚中有这样的说法，“前十鸱张，后十羌襄，欲得黍，近我傍。”[24]“我傍”，谓近夏至也，如果失算，则很可能错过作物的最佳播种时期。由于最佳播种期往往只有几天，所以每当这个时候，也就是农民最为忙碌的时候，贾思勰在书中“种麻”篇也提到了此时劳动力紧张状况，“谚曰：‘五月及泽，父子不相借。’言及泽急，说非辞也。夏至后者，非唯浅短，皮亦轻薄。此亦趋时不可失也。父子之间，尚不相假借，而况他人者也？”[25]由此可见，迟早一两天，对于一个种田度日的农民来说，并非是“完全无所谓”的，更何况“历久则疏”所产生的更大的误差呢？这就要求对“节气”，农民称之为“日子”，做出精益求精的推求。是以《数书九章》中有“天时类”，而“天时类”又是着眼于为农业服务，这在九韶“自序”中已有交待。
事实上，秦九韶并不是孤例，中国古代许多思想家对于历法与农业的关系都曾有过许多相同的论述。首先他们认为，历法是伴随着农业生产的出现，适应农业生产的需要而出现的，如杨泉在《物理论》中说：“神农始治农功，正节气，审寒 温，为早晚之期，故立历日”[26]。其次他们都认为历法是为农业生产服务的，曹魏时期魏国尚书郎杨伟在明帝景初元年（237年）上历法表中指出：“臣览载籍，断考历数，时以纪农，月以纪事，其所由来，遐而尚矣……由此观之，审农时而重人事，历代然之也。 ”[27]
其实，历法为农业服务是顺理成章的。国以民为本，民以食为天。农业在古代中国被当 做是衣食之源，立国之本。所以历代帝王莫不以农桑为本务，以劝课农桑为己任，而观象授时则是其最重要的措施，对此，元代人杨桓在为郭守敬四丈高表的建成所作的铭文中有很好的阐述，其曰：“圣人修政，惟农是本。农之所见，时则为准。过与不及，民安究之？动措由中，圣人授之。时在于天，术何以得？制器求之，乃见天则。”[28]可见历法为农业生产服务并不是偶然的，由此也可证明，为农业服务是古代历法最重要的功能之一。
二，田域与农田
“田域类”为《数书九章》中之第三章，是章凡九问，涉及到不同形状的土地面积计算问题。计算土地面积向来是中国古代算学所要解决的主要问题之一。“九章”中的第一章就是“方田”，刘徽注曰“方田，以御田畴疆界”。书中讨论了圭、邪、箕、圆、宛、弧、环等形状的土地面积的计算。到了秦九韶生活的南宋时期，随着经济重心的南移，南方人口大量增加，人多地少的矛盾日益突出，大量人口失去土地而成为流民，而流民的增加也就意味着社会不安定因素的增加，因此，如何扩大耕地，安置流民也就成为当时社会一件大事，“与山争地，与水争田”也就是在这种社会背景下发生的，各种各样的土地利用形式相继出现，如圩田、围田、沙田、湖田、荡田、柜田、梯田等。这些新垦的土地，或依山，或傍水，大小形状各不相同，有的两头尖，所谓“两尖田”，有的似蕉叶，所谓“蕉叶田”，有若梯之状的，所谓“梯田”，还有圆形的，所谓“环田”，如何计算这些新垦田地的面积，进而计亩收租，也就成为当时算学家们所面临的课题。在《数书九章》中就有所谓“尖田求积”、“蕉田求积”、“均分梯田”、“环田三积”等等。
秦九韶有近三分之一的时间生活在湖州（今浙江吴兴），并且《数书九章》也是在湖州完成的。而湖州一带正是两宋“围水造田”的中心，所以“与水争田”在《数书九章》中得到充分的反映。因为围水造田，其形状大小会随着潮水的进退涨落而不断改变，这就要求计算面积的方法也必须作出相应的改变。其中最典型的当属沙田和围田。
１，沙田
何谓“沙田”，据《王祯农书》记载：“沙田，南方江淮间沙淤之田也，或滨大江，或峙中洲，四周芦苇骈密，以护堤岸；其地常润泽，可保丰熟。普为塍埂，可种稻秫，间为聚落，可艺桑麻。或中贯潮沟，旱则频溉；或傍绕大港，涝则泄水；所以无水旱之忧，故胜他田也。”[29]沙田是在原来沙洲的基础上开发出来的，“田域类”中有“计地容民”一题，反映的就是这种情况：
问沙洲一段，形如棹刀，广一千九百二十步，纵三千六百步，大斜二千五百步，小斜 一千八百二十步，以安集流民，每户给一十五亩，欲知地积，容民几何？[6]
沙洲经流民开发便成沙田，沙田的一大特点就是极易受水的冲击，而不稳定，对此，王祯如是说，沙田“旧所谓‘坍江之田’，废复不常，故亩无常数，税无定额，正谓此也。”[29]他还引述了发生在宋代的一段故事来说明沙田的特点。宋乾道年间（1165－1173），梁俊彦请税沙田，以助军饷。既施行矣，时相叶＃奏曰：‘沙田者，乃江滨出没之地，水激于东，则沙涨于西，水激于西，则沙复涨于东，百姓随沙涨之东西而田焉， 是未可以为常也。且比年兵兴，两淮之田租并复，至今未征，况沙田乎？’[29]”宋元时期，围绕着是否应对沙田征税一直是许多朝廷命官议论的焦点，而问题的关键就在于如何计算沙田的面积？在“田域类”中，秦氏提到了三角形沙田面积的计算方法，这就是所谓“三斜求积”：
问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？[6]
但是，“三斜求积”只是解决了三角形沙田的面积计算问题，而沙田的不稳定性，有时又会出现这样一种情况，“三斜田，被水冲去一隅，而成四不等直田之状”，如何计算这种土地的面积呢？“田域类”中有“漂田推积”一题：
问三斜田，被水冲去一隅，而成四不等直田之状．元中斜一十六步，如多长．水直五步，如少阔．残小斜一十三步，如弦。残大斜二十步，如元中斜之弦。横量径一十二步，如残田之广．又如元中斜之句，亦是水直之股。欲求元积、水积、元大斜元小斜、二水斜各几何？[6]
“田域类”中凡九问，三问涉及到沙田，由此也可见，南宋时期，沙田在当时土地开发利用中的地位。
２，围田
两宋时期，江南地区土地利用发展最快的当属围田。围田又称圩田。早在春秋末期，长江下游太湖地区的人们就已开始筑圩围田。这种围田到唐五代时期，则已发展成“塘浦圩田”。据范仲淹说：“江南旧有圩田，每一圩方数十里，如大城，中有河渠，外有门闸。旱则开闸引江水之利，潦则闭闸拒江水之害。旱涝不及，为农美利。”[34]两宋时期，则得到了更大的发展，大规模的圩田在长江下游及太湖流域地区如星罗棋布。如果说，沙田是在原来沙洲上开发出来的话，那么，围田则大多是在原有草荡中围垦而来的，“田域类”中有“斜荡求积”一题，提到一种“草荡”面积的计算问题：
问有荡一所，正北阔一十七里，自南尖穿径中长二十四里，东南斜二十里，东北斜一十五里，西斜二十六里，欲知亩积几何？[6]
草荡，本是江河湖海之滨长有水草的地方，一般说来地势比较低下，易受水患，据清嘉庆《北湖小志》记载：“湖滨之田宜稻，居民多力农，其田自上下以至上上，相去二三丈，为等六七。最下者，为湖荡草场，种菱、种茭草，或长茏古三棱，至旱岁亦栽稻。”[31] 为了提高草荡的利用率，筑圩围水也就势在必行。《陈#农书》说：“其下地易以淹浸，必视其水势冲突趋向之处，高大圩岸环绕之。”[32]但是围田仅仅是“高大圩岸”还是不够的，还需要有河渠、门闸等水利设施。这些水利设施是如何安置的呢？“田域类”中“围田先计”一题给我们提供了详细的资料：
问有草荡一所，广三里，纵一百十八里，夏日水深二尺五寸，与溪面等平。溪阔一十三丈，流长一百三十五里入湖。冬日水深一尺，欲趁此时，围裹成田，于荡中顺纵开大港一条，磬折通溪。顺广开小港二十四条，其深同，其小港阔，比大港六分之一，大港深，比大港面三分之一，大小港底，各不及面一尺，取土为埂，高一丈，上广六尺，下广一丈二尺，荡纵当溪，其岸高广倍其埂数，上下流各立斗门一所，面令田内目容水八寸，遏余水复溪入湖。里法三百六十步，步法五尺，欲知田积、埂土积、大小港底面深阔、冬夏积水、田港容水、遏水、溪面泛高，各几何”？（附图）[6]
圩田的规模一般都很大，范仲淹说“每一圩方数十里”，这一点也不夸张，据史料记载，乾道九年（1173），诏户部侍郎叶衡核实宁国府、太平州圩岸。五月，衡言：“宁国府惠民、化成旧圩四十余里，新增筑九里余；太平州黄池镇福定圩周回四十余里，延福等五十四圩周回一百五十余里，包围诸圩在内，芜湖县圩岸大小不等，周回总约二百九十余里，通当涂圩岸共约四百八十余里。”[33]还有如“宣州化民、惠成二圩，相连长八十里；芜湖县万春、陶新、和政三官圩，共长一百四十五里；当涂县广济圩，长九十三里，私圩长五十里。”[30]修筑这样大规模的圩堤，必须投入大量的人力和物力，这显然是个体小农所不能完成的，而必须依靠政府出面组织修筑。沈括详细地记载了地方政府出面组织修筑万春圩的情况，“方是时，岁饥，百姓流冗，县官方议发粟，因重其庸以募穷民，旬日得丁万四千人，分隶宣城、宁国、南陵、当涂、芜湖、繁昌、广德、建平八县。主簿宣子骏、舜元泽、瑾杰载分部作治仪，披总五县之丁，授其方略。转运司移其治于芜湖，比日一自临观。于是发原决薮，焚其甾翳，五日而野开。表堤行水，称材赋工，凡四十日而毕。其为博六丈，崇丈有二尺，八十四里以长。夹堤之脊，列植以桑，为桑若干万。圩中为田千二百七十顷，取天地、日月、山川、草木杂字千二百七十名其顷。方顷而沟之，四沟浍之为一区，一家之浍，可以舫舟矣。隅落部伍，直曲相望，皆应法度。圩中为通途，二十二里以长，北与堤会，其袤可以两车。列植以柳，为水门五。又四十日而成。凡发县官粟三万斛，钱四万，岁出租二十而三，总为粟三万六千斛。菰、蒲、桑、＃之利，为钱五十余万。”[35]由此可见，修筑大规模的圩田工程，往往要涉及到若干县的人力和物力的安排，因此如何分摊工程数量也就成了一个问题，这个问题在《数书九章》中也同样有所反映，“大衍类”的“推计土功”和“赋役类”的“筑埂均功”二题即是：
推计土功
问筑堤起四县夫，分给里步皆同齐，阔二丈，里法三百六十步，步法五尺八寸．人夫以物力差定，甲县物力一十三万八千六百贯，乙县物力一十四万六千三百贯，丙县物力一十九二千五百贯，丁县物力一十八四千八百贯．每力七百七十贯，科一名，春程人功平方六十尺．先到县先给，今甲乙二县俱毕，丙县余五十一丈，丁县余一十八丈，不及一日，全功．欲知堤长及四县夫所筑各几何．[6]
筑埂均功
问四县共兴筑圩埂，长三十六里半，甲县出二千七百八十人，乙县出一千九百九十人，丙县出一千六百三十人，丁县出一千三百二十人，其甲县先差到一千五百四十四夫，丙县先差到九百六十五夫，欲知各合赋役埂长计几何？[6]
政府组织修筑圩田一方面是为了安置流民，另一方面却是为了向流民收取地租，因此，圩田修成之日，也就政府向流民收租之时，无论是《九章》中的“方田”，还是《数书九章》中的“田域”，计算土地面积的目的都是为了按亩收税。于是就有了“赋役类”中的“围田租亩”一题：
问有兴复围田已成，共计三千二十一顷五十一亩一十五步．分三等，其上等每亩起租六斗，中等四斗五升，下等四斗．中田多上田弱半，不及下田太半，欲知三色田亩及各租几何？[6]
三，油麻与芝麻
卷十七“菽粟互易”题讲到菽、小麦、油麻和粳米。李迪先生在“《数书九章》与南宋社会经济”一文中题到“油麻是一种什么作物没有说明，也不见于他书记载。”[5]没有说明确是事实，因为《数书九章》是一部数书，他所重的是计算方法，而且从作者所能想象的读者对象来说，油麻似乎用不到说明。而不见于他书记载，却并非如此。古籍中有关油麻的记载很多，这些文献告诉我们，油麻者，芝麻也。说详如下。
芝麻是中国古老的栽培物种。本世纪六十年代以前，普遍认为芝麻为公元二世纪前汉代张骞从大宛引进的。不过这种说法到本世纪六十年代以后，开始受到了考古资料的挑战，据考古发掘报告，早在公元前２７５０年，芝麻就和苎麻、花生、蚕豆等出现于长江流域，出土芝麻的遗址有浙江吴兴钱山漾遗址和浙江杭州水田畈遗址[36] [37]。但学术界对于芝麻、花生等的出土年代尚有争论，有人据实物观察，发现“甜瓜子、芝麻、蚕豆均未炭化，皮色犹新，很难相信其为古老的遗存。”[38]无论如何，汉代从西域传入芝麻是可以肯定的，而且它也可能是后来中国栽培芝麻的主要品种，这从芝麻在很长的时期内一直称为“胡麻”是相吻合的，胡麻是因其来自胡地而得名。
胡麻在很长的一段时间里是作为粮食作物来食用的，或作羹、或作饮、或作饭，称为“胡麻羹”、“胡麻饮”或“胡麻饭”，宋寇宗＃《本草衍义》引古诗说：“松下饭胡麻”[39]。由于胡麻广泛用于食用，被列为“八谷”之一，“八谷名：黍稷稻粱禾麻菽麦。黍与稷相似。稻即粳谷也。粱是秫米。禾是粟。麻是胡麻。菽是大豆。”[40]史游《急就篇》“稻黍秫稷粟麻粳，麻谓大麻及胡麻也”，《神农本草经》引陶弘景注：“八谷之中，惟此为良”。到六世纪时，胡麻还仍然是作为谷物来栽培的，故贾思勰在《齐民要术》将其列在“旱稻”之后，书中写道，“按今世有白胡麻、八棱胡麻。白者油多，人可以为饭，惟治脱之烦也。”[41]
胡麻子粒的一个特点就是油多，所以从三世纪开始已用胡麻籽为原料榨取生油，用作照明燃料，所谓“灌以麻油……燃炬烧之”[42]。六世纪时，胡麻油已用于合香泽（润发油）、治牛虱等[43]。以后复将生油煎炼成熟油，以供食用，自此之后，芝麻也已由原来的粮食作物，而发展成为主要的油料作物，到了明代芝麻和大豆一样，“已全入蔬饵膏馔之中”[44]，直接用作食用已不多见。
随着芝麻用途的改变，芝麻的名称也发生了变化。最早通称为“胡麻”，又名狗虱、胜茄、巨胜、鸿岁、方茎等。唐代，已有芝麻一名，如《四时纂要·正月》：“又缕悬苇炭，芝麻稽排，插门户上，却疫疠，禁一切之鬼。[12]”并始有油麻之称，《四时纂要·二月·种胡麻》：“油麻每科相去一尺为法。若能区种，每亩收百石。”[45]宋代油麻一词的使用更趋普遍，并有白油麻和乌油麻之分，宋寇宗＃《本草衍义》云：“白油麻与胡麻一等，但以其色言之，比胡麻差淡，亦不全白，今从止谓之脂麻。[39]”由是可见，宋代在使用油麻的同时，复又出现了“脂麻”的说法，《本草衍义》提到“脂麻”之处很多，如，“胡麻，诸家之说参差不一，止是今脂麻，更无他义。[39]”“胡麻与白油麻，今之所谓脂麻者是矣。”[39]李先生说“油麻不见于他书记载”显然是错误的。兹再罗列《数书九章》成书前后一些文献关于油麻的记载于下，以供同好者参考：
《梦溪笔谈·药议》：“胡麻直是今油麻，更无他说。予已于灵苑方论之。其角有六棱者，有八棱者。中国之麻，今谓之大麻是也。有实为苴麻，无实为＃，又曰牡麻。张骞始自大宛得油麻之种，亦谓之麻，故以胡麻别之，谓汉麻为大麻也。”[45]
《陈＃农书·六种之宜篇》：“油麻，有早晚二等。三月种早麻，才甲拆，即耘锄，令苗稀疏。一月凡三耘锄，则茂盛。七、八月可收也。”又“五月中旬后种晚油麻，治如前法，九月成熟矣。不可太熟。晚则不实，畏雾露蒙幂之也。早麻白而缠荚者佳，谓之缠荚麻。晚麻名叶里熟者佳，谓之乌麻，油最美也。其类不一，唯此二者，人多种之。”[46]
《种艺必用》：“种诸豆与油麻、大麻等，若不及时去草，必为草所蠹耗，虽结实亦不多。谚云：‘麻耘地，豆耘花。’麻需初生时耘，豆虽开花尚可耘。油麻、大豆地，只锄两遍。”“田间人云：‘种油麻人须穿他着裤，则易茂盛。”“种竹，以油麻梗缚成小把，向南埋地中，则根不穿过。”[47]
故油麻非不见于他书记载，乃他书记载而不见也。不过据笔者现已掌握的材料来看，“芝麻”之名出现虽然很早，但并不通用，与后世所说的芝麻并没有有必然的联系。“油麻”的说法虽早于“脂麻”，但农书中除唐宋代使用“油麻”这个概念以外，其它朝代似不多见，元代“脂麻”的说法逐渐流行，因此，农书中在提到“胡麻”时，不得不明确指出“胡麻即今之脂麻也”[48]。早期“芝麻”这一名称的出现可能是胡麻药用的产物，今日所称之“芝麻”是从脂麻而来，或者说是脂麻的俗写，是胡麻油用的结果。要而言之，《数书九章》中的“油麻”，即早先的胡麻，后来的脂麻，今日的芝麻也。
参考文献
1 李俨·中算史论丛，第1集，北京：科学出版社，1954
2 李俨、杜石然·中国古代数学简史，北京：中华书局，1963
3 钱宝琮·秦九韶《数书九章》研究，见钱宝琮等·《宋元数学史论文集》，北京科学出版社，1966
4 U. Libbrecht: Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, MIT, 1973
5 李迪·《数书九章》与南宋社会经济，见：吴文俊．秦九韶与数书九章，北京师范大学出版社，
1987,465
6 [宋]秦九韶. 数书九章·序，王守义新释本，合肥：安徽科学技术出版社，1992，
7 [战国]吕不韦．吕氏春秋·审时
8 [清]陆世仪.．思辨录辑要·修齐类,卷十一
9 [战国]孟子.．孟子·梁惠王上
10 [战国]孟子.．孟子·尽心上
11 [明]马一龙.．农说，宝颜堂秘籍本
12 [唐]韩鄂．四时纂要·正月，缪启愉校释本，北京：农业出版社，1981
13 [汉]?…胜之．.?…胜之书·种谷篇,卷上,[清]马国翰.玉函山房辑佚书本
14 [北魏]贾思勰。齐民要术·种谷，缪启愉校释本，北京：农业出版社，1982
15 钱宝琮．.秦九韶〈数书九章〉研究.，见：钱宝琮等.宋元数学史论 文集，北京：科学出版社，1966，
100
16 [汉]?…胜之．…胜之书·收种篇, 卷上, [清]马国翰.玉函山房辑佚书本
17 [汉]刘安. 淮南子·天文训
18 [宋]陈#.．农书·天时之宜篇，卷上
19 [元] 孟祺. 论九谷风土时月及苎麻木绵，元刊农桑辑要，卷二
20 [元]王祯．.农书·农桑通诀·授时篇第一，王毓瑚校本，北京：农业出版社，1981
21 [宋]沈括. 补笔谈·补第十卷·后七件，卷上，文渊阁四库全书本
22 [元]王祯. 农书·农桑通诀·授时篇第一
23 江晓原：中国古代历法与星占术，大自然探索，7,25,1988，(3),153--160
24 [后魏]贾思勰．齐民要术·黍稷第四, 卷二
25 [后魏]贾思勰．齐民要术·种麻第八, 卷二
26 [宋]王应麟．玉海·律历·历法·神农历，卷九，文渊阁四库全书本
27 晋书·律历志下
28 [元]苏天爵．元文类，卷17
29 [元]王祯．.农书·农器图谱集之一
30 [宋]范仲淹．.范文正公集·奏议，上，答手诏条陈十事
31 [清]北湖小志,卷一,嘉庆十三年（1808）
32 [宋]陈#农书·地势之宜篇
33 [宋]马端临．文献通考·卷六·田赋六
34 [宋]李心传. 建炎以来朝野杂记·圩田,甲集, 卷十六, 适园丛书本
35 [宋]沈括. 长兴集·万春圩图记,卷二十一.四部丛刊本
36 吴兴钱山漾遗址第一、二次发掘报告，考古学报1960,(2)84--85
37 杭州水田畈遗址发掘报告，考古学报1960,(2),94
38 略论三十年来我国的新石器时代考古，考古，1979,(5),400
39 [宋]寇宗＃《本草衍义·胡麻》卷之二十，清宣统二年武昌医馆重刊元本
40 [元]张福.．种艺必用·补遗
41 [后魏]贾思勰.．齐民要术·胡麻第十三,卷二
42 晋书·王氵睿传，卷四二
43 [后魏]贾思勰. 齐民要术·种红蓝花、桅子第五十二，卷五；又养牛、马、驴、骡第五十六, 卷六
44 [明]宋应星. 天工开物·乃粒, 卷一
45 [宋]沈括. 梦溪笔谈·药议，卷26，文渊阁四库全书本
46 [宋]陈#. 农书·六种之宜篇，卷上，
47 [元]吴怿撰，张福补遗，胡道静校注. 种艺必用，农业出版社，1962，15，18，54
48 [元]王祯. 农书·百谷谱集之二
Mathematical Treatise in Nine Sections and Agriculture
Zeng Xiongsheng
(Institute of History of Natural Sciences of CAS,Beijing,100010)
Abstract From the angle of agricultural history, this paper discusses some sections, such as Tian Shi (天时,Natural time),Tian Yu(田域,field zone) and some problems in the book of Mathematical Treatise in Nine Sections(数书九章) by Qin Jiushao(秦九韶), their meanings and values in agricultural thoughts and land utilities, studies the word You Ma (油麻) in the book, and points out that You Ma is Zhi Ma (芝麻,sesame).
Key Words Mathematical Treatise in Nine Sections, agriculture, Tian Shi(天时),Tian Yu(田域), You Ma (油麻,sesame)