西安到柞水多少公里:鬼谷神算

    哈哈，她可問對人了，這是道“鬼谷算題”，載於我國古代重要的數學著作《孫子算經》中，用現代語言可以這樣表述：一個正整數，被3除時余2，被5除時余3，被7除時余2，如果這數不超過105，求這個數。其中，也記載了這道題目的解法，歌訣如下：“三人同行七十稀，五數梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。”意思是：把除以3所得的餘數乘以70，把除以5所得的餘數乘以21，把除以7所得的餘數乘以15，將所得的三個數相加之和再減去105的倍數，所得即所求。算式的表現是：(2×70+3×21+2×15)－(105×2)=23。這個解題的歌訣被南宋大數學家秦九韶稱為“大衍求一術”，後來傳到西方，被稱為“孫子定理”“中國剩餘定理”，是中國古代數學的一項輝煌成果。

    我立馬按動手機鍵盤，鍵入“23”回覆。

    再來短信：“原來你也知道，射雕看得挺認真的嘛。”

    哦，阿離是在看《射雕英雄傳》，裡面的確有一段關於這“鬼谷算題”的，擇錄如下：

    ……黄蓉气极，正欲反唇相讥，一转念间，扶着郭靖站起身来，用竹杖在地下细沙上写了三道算题： 第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”；第二道是“立方招兵支银给米题”；第三道是道“鬼谷算题”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”…… 黄蓉道：“你别杀我，我教了你罢。”从佛像前取过油灯，放在地下，取出一枚金针，在地下方砖上划出字迹，登时将第一道“七曜九执天竺笔算”计了出来，只把瑛姑看得神驰目眩，暗暗赞叹。黄蓉接着又解明了第二道“立方招兵支银给米题”，这道题目更是深奥。瑛姑待她写出最后一项答数，不由得叹道：“这中间果然机妙无穷。”顿了顿，说道：“这第三道题呢，说易是十分容易，说难却又难到了极处。‘今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？’我知道这是二十三，不过那是硬凑出来的，要列一个每数皆可通用的算式，却是想破了脑袋也想不出。” 黄蓉笑道：“这容易得紧。以三三数之，余数乘以七十；五五数之，余数乘以二十一；七七数之，余数乘十五。三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则须减去一百零五或其倍数。”瑛姑在心中盘算了一遍，果然丝毫不错，低声记诵道：“三三数之，余数乘以七十；五五数之……”黄蓉道：“也不用这般硬记，我念一首诗给你听，那就容易记了：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，余百零五便得知。”……”

    其實，這個“鬼谷算題”還有一名稱“韓信點兵”：

    秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

    這是一模一樣的題目，黃蓉答：“23”，韓信答：“1073”，這是因為韓信的取值範圍是1000人左右，黃蓉的“23”則是正整數中不大於105的數，意思是如果不設置取值的範圍，這個答案從正整數中最小的“23”開始，可以依次是：23、128、233、338、443……1073……無限，公式是“23+105n倍”。

    想來，這三三數，五五數，七七數，因為一道解題的歌訣，把繁複的計算變得明白、快捷，并可以運用在不同的方面設題，（因為除了“韓信點兵”，還有“隔墻算”、“剪管術”……的名稱）的確非常有趣。

    可是如果離開了“三、五、七”組合，而是“四、六、八”組合或“二、五、九、十一”組合呢？，又有幾人能洞悉此間奧妙？

我隨手敲出幾題發與阿離：

    1. 一個數除以4余1，除以5余3，除以7余2，找出符合條件的最小數。

    2. 韓信善兵。一次，隊伍排成3列縱隊末行2人；4列縱隊末行1人；7列縱隊末行3人；11列縱隊末行6人；韓信的士兵約10000人，算一算韓信到底有士兵多少人？

    3. 有一數，除以3余2，除以4余3，問這個數除以12余幾？

    晚上，終於等到阿離的短信：“絞盡腦汁，未解，你知道？”

    回答：“當然！”

    問：“真的？”

    回答：“當真。”

    又問：“怎解？”

    回答：“你也知道，費神！不是一兩句可解，不過，如有美酒佳肴，便可迎刃而解。”

    阿離馬上回覆：“當然，當然，就明天吧，恭候光臨。”

    哈哈，原來又是急性子，我抱著枕頭，笑瞇瞇地坐在床上，老公問：“什麽事兒，這么高興？”我笑笑說：“那個阿離，平常挺吝嗇的，看我明天怎么好好敲她一頓。”

(未完，解題方法在后篇《鬼谷神算後記》）