蓝光手游大师怎么卸载:第二章第3节
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/29 00:16:38
第三节 随机向量
§3 随机向量
一、离散型随机向量
二、分布函数
三、连续型随机向量
很多随机现象中,对一个随机试验需要同时考察几个随机变量,例如发射一枚炮弹,需要同时研究弹着点的几个坐标;研究市场供给模型时,需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素.
定义1 若随机变量,,…,定义在同一概率空间 (, F,)上,就称
=(,,…,) (1)
为n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable).
对维随机向量,其每一个分量是一个一维随机变量,可以单独研究它. 然而除此以外,各分量之间还有相互联系,在许多问题中,这是更重要的.
我们着重研究二维情形,其中大部分结果可以推广到任意维情形.
一、离散型随机向量
如果随机向量只能取有限组或可列组值,就称它为离散型随机向量. 对于它,只要列出所有各组可能值及取这些值的概率,就可表示其概率分布.
例1 口袋中有2白球3黑球, 连取两次,每次任取一球. 设为第一次得白球数,为第二次得白球数. 对(1)有放回与(2)无放回两种情况,分别求(,)的联合分布.
解 (1)与可能取的值都是0与1,各种情况搭配及相应概率如下:
{=0,=0}表示第一次取黑球且第二次也取黑球,因为有放回,两次取球是相互独立的,其概率都是,故
(=0,=0)=(=0)(=0) =×.
同理(=0,=1)=×,(=1,=0) =×,(=1,=1) =×.
(2) ξ与η可能取的值与(1)相同,但因为无放回,两次结果是不独立的, 利用第一章乘积事件概率公式,得
(=0,=0)=(=0)(=0|=0)=×.
同理(=0,=1)=×,(=1,=0)=×, (=1,=1) =×.
写成表格的形式为
(1) (2)
ξ η
0 1
0
1
× ×
× ×
ξ η
0 1
0
1
× ×
× ×
表1
一般,离散型的二维联合分布列为
, =1,2,… (2)
或写成表格的形式如下表.
ξ η
… …
… …
… …
… …
表2
而维离散型随机向量的联合分布是
, =1,2,… (3)
这些联合分布有与一维离散型分布类似的性质. 例如对于(2)式,必须满足
, =1,2,…; =1 . (4)
有了联合分布,则有关的事件的概率都可用联合分布算出. 例如在二维随机向量中,对任意的二维波雷尔集,
=. (5)
在二维离散型随机向量中,各作为一维随机变量也有它们各自的分布,现在来写出这些一维分布. 对于,它只能取,,…,,…这些值,事件{=}是互不相容事件组{(=,=),=1,2,…}的和事件,故
. =1,2,…,
这里表示对第二个足标求和. 同理
=1,2,…,
表示对第一个足标求和. 上两式分别表示与的分布列,它们恰好为上表按行相加与按列相加的结果,把它们分别写在表1中两表的右边和下边,称为边际分布(marginal distribution).
例2 求例1的边际分布.
解 (1)中,(=0)=×+×=, 类似得其它各概率,如下面两表.
0 1
0
1
× ×
× ×
0 1
0
1
× ×
× ×
表3
(1)与(2)的联合分布不同,但边际分布相同,说明如果边际分布给定,联合分布却不能惟一确定,还要考虑分量间的相互关系.
二、分布函数
类似于一维随机变量,对一般的多维随机变量,无法用分布列来表示其概率分布,但可以用分布函数. 对于任意个实数,…,, 因为{}F, 故对于R中的维区间有
F . (6)
进一步还可以证明,对R上任一波雷尔集,的概率都可以通过(6)的概率表示,因此可以用(6)的概率代表的概率分布.
定义2 对任意(,…,,)∈R, 称元函数
(,…,,)= (7)
为随机向量=(,,…,)的(联合)分布函数.
对二维随机向量,分布函数(其中∈R)表示点落在右边图中阴影部分的概率. 有了它,对矩形区域:可以直接按照概率的运算公式计算概率:
(8)
二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质:
1) 对每个变量单调不减;
2) 对每个变量左连续;
3) 对任意,=0, 0,
=1. (9)
除此以外,由于(8)式表示的概率必需≥0,故还有性质
4) 对于任意实数有
≥0 . (10)
我们再来探讨各自的分布函数 (称为边际分布函数)与联合分布函数之间的关系.的分布函数为
, . (11)
同理,的分布函数为
, . (12)
因此,有了二维分布函数,也就决定了边际分布函数. 读者不难把上述所说的一切推广到维分布函数.
三、连续型随机向量
定义3 若存在元可积的非负函数,使元分布函数可表示为
, (13)
就称它是连续型分布,称为 (联合)密度函数. 显然,密度函数满足如下条件:
(1)≥0;
(2)=1. (14)
对连续型随机向量,分布函数对每一变量都是连续的,且在密度函数的连续点,有偏导数:
=. (15)
由于可积,故它是几乎处处连续的;因此除了一个测度为零的点集以外,连续型随机向量的分布函数与密度函数一一对应,我们可以用联合密度函数来表示联合概率分布. 事实上,对任一维波雷尔集,有
=. (16)
(证明略).
设(,…,)是连续型随机变量,它的边际分布又有什么特性呢?仍以二维为例. 设的密度函数为分布函数为,则的边际分布函数
=
=.
令
=, (17)
则
=. (18)
根据连续型随机变量的定义,由(18)式可见,是连续型随机变量,它的密度函数就是(17)式. 同理是连续型随机变量,其密度函数为
=. (19)
与称为(或)的边际密度.
例3 设二维随机向量的密度函数为
=
1) 确定常数A;2)求分布函数;3)求边际密度;4)计算概率;5) 计算概率.
解 1) 由联合密度的性质(14),应有
1==,
故 ;
2) 由(13)式,分布函数=,我们来分块计算它.
当≤0或≤0时,= 0, 故= 0;
当>0且>0时,
=++
=.
3) 上面已经求得,故可先从(11)(12)式求得边际分布函数,再用§2的(2)式计算边际密度.ξ的边际分布函数为
=
故
=
同理
=
我们也可以利用(17)式与(19)式直接从求得边际密度.
4)=(1,2)=.
5) 由(16)式,
==
==1-3.
下面介绍两个常见的连续型随机向量.
1.维均匀分布 其密度函数为
= (20)
其中G是R中的一个波雷尔集合. 立即可以算得A =1/,其中为G的测度(当G分别为二、三维区域时,分别为G的面积、体积).
在平面区域G内随机投点所得点的坐标是服从二维均匀分布的实例.
例4在圆形区域上服从均匀分布,求边际密度.
解 联合密度为=
因为 ||>1时,= 0, 此时=0; ||≤1时,
===;
即
=
同理
=
这里,虽然的联合分布是均匀分布,但边际分布却不是均匀分布.
2.维正态分布
设为阶正定对称阵,||为其行列式,为其逆,又设x=, a =, 则称
=exp{-} (21)
为维正态密度函数.
=1时, 记, a=,(21)式变为=exp, 就是§2的一维正态密度.
=2时, 记, (其中>0,||<1), x =, a =,则, (21)式变成
, (22)
简记作~. 在上式的指数上对配方,可把写成
, (23)
它的第一部分是的密度,第二部分当固定时为某个正态密度, 它对的积分应等于1,因此的边际密度为
。
这说明~, 同理~.
上述结论是说,二元正态分布的边际分布仍是正态分布,并且与无关. 但反过来不正确,即若的边际分布都是正态分布,其联合分布却未必是二元正态分布.
例5 的联合密度为
=,
,
求边际分布.
解
,
同理=. 因此,都服从标准正态分布,但联合分布不是正态的.
§3 随机向量
一、离散型随机向量
二、分布函数
三、连续型随机向量
很多随机现象中,对一个随机试验需要同时考察几个随机变量,例如发射一枚炮弹,需要同时研究弹着点的几个坐标;研究市场供给模型时,需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素.
定义1 若随机变量,,…,定义在同一概率空间 (, F,)上,就称
=(,,…,) (1)
为n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable).
对维随机向量,其每一个分量是一个一维随机变量,可以单独研究它. 然而除此以外,各分量之间还有相互联系,在许多问题中,这是更重要的.
我们着重研究二维情形,其中大部分结果可以推广到任意维情形.
一、离散型随机向量
如果随机向量只能取有限组或可列组值,就称它为离散型随机向量. 对于它,只要列出所有各组可能值及取这些值的概率,就可表示其概率分布.
例1 口袋中有2白球3黑球, 连取两次,每次任取一球. 设为第一次得白球数,为第二次得白球数. 对(1)有放回与(2)无放回两种情况,分别求(,)的联合分布.
解 (1)与可能取的值都是0与1,各种情况搭配及相应概率如下:
{=0,=0}表示第一次取黑球且第二次也取黑球,因为有放回,两次取球是相互独立的,其概率都是,故
(=0,=0)=(=0)(=0) =×.
同理(=0,=1)=×,(=1,=0) =×,(=1,=1) =×.
(2) ξ与η可能取的值与(1)相同,但因为无放回,两次结果是不独立的, 利用第一章乘积事件概率公式,得
(=0,=0)=(=0)(=0|=0)=×.
同理(=0,=1)=×,(=1,=0)=×, (=1,=1) =×.
写成表格的形式为
(1) (2)
ξ η
0 1
0
1
× ×
× ×
ξ η
0 1
0
1
× ×
× ×
表1
一般,离散型的二维联合分布列为
, =1,2,… (2)
或写成表格的形式如下表.
ξ η
… …
… …
… …
… …
表2
而维离散型随机向量的联合分布是
, =1,2,… (3)
这些联合分布有与一维离散型分布类似的性质. 例如对于(2)式,必须满足
, =1,2,…; =1 . (4)
有了联合分布,则有关的事件的概率都可用联合分布算出. 例如在二维随机向量中,对任意的二维波雷尔集,
=. (5)
在二维离散型随机向量中,各作为一维随机变量也有它们各自的分布,现在来写出这些一维分布. 对于,它只能取,,…,,…这些值,事件{=}是互不相容事件组{(=,=),=1,2,…}的和事件,故
. =1,2,…,
这里表示对第二个足标求和. 同理
=1,2,…,
表示对第一个足标求和. 上两式分别表示与的分布列,它们恰好为上表按行相加与按列相加的结果,把它们分别写在表1中两表的右边和下边,称为边际分布(marginal distribution).
例2 求例1的边际分布.
解 (1)中,(=0)=×+×=, 类似得其它各概率,如下面两表.
0 1
0
1
× ×
× ×
0 1
0
1
× ×
× ×
表3
(1)与(2)的联合分布不同,但边际分布相同,说明如果边际分布给定,联合分布却不能惟一确定,还要考虑分量间的相互关系.
二、分布函数
类似于一维随机变量,对一般的多维随机变量,无法用分布列来表示其概率分布,但可以用分布函数. 对于任意个实数,…,, 因为{}F, 故对于R中的维区间有
F . (6)
进一步还可以证明,对R上任一波雷尔集,的概率都可以通过(6)的概率表示,因此可以用(6)的概率代表的概率分布.
定义2 对任意(,…,,)∈R, 称元函数
(,…,,)= (7)
为随机向量=(,,…,)的(联合)分布函数.
对二维随机向量,分布函数(其中∈R)表示点落在右边图中阴影部分的概率. 有了它,对矩形区域:可以直接按照概率的运算公式计算概率:
(8)
二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质:
1) 对每个变量单调不减;
2) 对每个变量左连续;
3) 对任意,=0, 0,
=1. (9)
除此以外,由于(8)式表示的概率必需≥0,故还有性质
4) 对于任意实数有
≥0 . (10)
我们再来探讨各自的分布函数 (称为边际分布函数)与联合分布函数之间的关系.的分布函数为
, . (11)
同理,的分布函数为
, . (12)
因此,有了二维分布函数,也就决定了边际分布函数. 读者不难把上述所说的一切推广到维分布函数.
三、连续型随机向量
定义3 若存在元可积的非负函数,使元分布函数可表示为
, (13)
就称它是连续型分布,称为 (联合)密度函数. 显然,密度函数满足如下条件:
(1)≥0;
(2)=1. (14)
对连续型随机向量,分布函数对每一变量都是连续的,且在密度函数的连续点,有偏导数:
=. (15)
由于可积,故它是几乎处处连续的;因此除了一个测度为零的点集以外,连续型随机向量的分布函数与密度函数一一对应,我们可以用联合密度函数来表示联合概率分布. 事实上,对任一维波雷尔集,有
=. (16)
(证明略).
设(,…,)是连续型随机变量,它的边际分布又有什么特性呢?仍以二维为例. 设的密度函数为分布函数为,则的边际分布函数
=
=.
令
=, (17)
则
=. (18)
根据连续型随机变量的定义,由(18)式可见,是连续型随机变量,它的密度函数就是(17)式. 同理是连续型随机变量,其密度函数为
=. (19)
与称为(或)的边际密度.
例3 设二维随机向量的密度函数为
=
1) 确定常数A;2)求分布函数;3)求边际密度;4)计算概率;5) 计算概率.
解 1) 由联合密度的性质(14),应有
1==,
故 ;
2) 由(13)式,分布函数=,我们来分块计算它.
当≤0或≤0时,= 0, 故= 0;
当>0且>0时,
=++
=.
3) 上面已经求得,故可先从(11)(12)式求得边际分布函数,再用§2的(2)式计算边际密度.ξ的边际分布函数为
=
故
=
同理
=
我们也可以利用(17)式与(19)式直接从求得边际密度.
4)=(1,2)=.
5) 由(16)式,
==
==1-3.
下面介绍两个常见的连续型随机向量.
1.维均匀分布 其密度函数为
= (20)
其中G是R中的一个波雷尔集合. 立即可以算得A =1/,其中为G的测度(当G分别为二、三维区域时,分别为G的面积、体积).
在平面区域G内随机投点所得点的坐标是服从二维均匀分布的实例.
例4在圆形区域上服从均匀分布,求边际密度.
解 联合密度为=
因为 ||>1时,= 0, 此时=0; ||≤1时,
===;
即
=
同理
=
这里,虽然的联合分布是均匀分布,但边际分布却不是均匀分布.
2.维正态分布
设为阶正定对称阵,||为其行列式,为其逆,又设x=, a =, 则称
=exp{-} (21)
为维正态密度函数.
=1时, 记, a=,(21)式变为=exp, 就是§2的一维正态密度.
=2时, 记, (其中>0,||<1), x =, a =,则, (21)式变成
, (22)
简记作~. 在上式的指数上对配方,可把写成
, (23)
它的第一部分是的密度,第二部分当固定时为某个正态密度, 它对的积分应等于1,因此的边际密度为
。
这说明~, 同理~.
上述结论是说,二元正态分布的边际分布仍是正态分布,并且与无关. 但反过来不正确,即若的边际分布都是正态分布,其联合分布却未必是二元正态分布.
例5 的联合密度为
=,
,
求边际分布.
解
,
同理=. 因此,都服从标准正态分布,但联合分布不是正态的.
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