九乡新闻网:彩票的混沌(2)
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/05/10 17:17:55
彩票的混沌(2)
三、 彩票的混沌动力学模型
（一）定义一组彩票基本量
1．
涨落次数P（t）：某彩球在一定开奖期内的涨落次数。涨落次数P（t）是一个时间序列。又因对于任何一个彩号码不可能期期连续摇出，所以涨落次数这个时间序列又是离散的。
2．
涨落高度h（t）：某个或某期彩球在相邻两次中奖期的间隔。涨落高度在数量上等于相邻两次中奖时开奖期期数之差再减1 。
h（t）=（n＇﹣n）-1
其中n＇表示第n+1期的开奖期数，n 表示第n期开奖期数。值得注意的是，中奖期不等于开奖期。
3．
涨落时间t；某个彩球涨落到某一个高度h所需的时间。数值上等于该高度加1。
t = h+1
4．
涨落强度E：某彩球或某期彩球在单位时间内涨落的高度。
E =
5．
涨落温度T；某彩球在单位时间内涨落的次数。
T = * 100
6．
平均涨落高度：某彩球在P次涨落中的平均涨落高度。符号为
=
平均涨落高度是一个简易可测的状态特征参数，是平滑了噪声的重要参数，也是彩票预测的最主要的参数之一。
7．
涨落密度ρ ：某彩球的平均涨落高度Hˉ 与其相应的最大值M之比。
ρ=
式中，M =（）max
（一）
在涨落中建立彩票混沌动力学模型
我们继续分析表（一）所记录的20080130—20080154每期红球的涨落情况。例如，20080133期33个红球的涨落高度分别为3、2、4、7、5、20、9、0、1、8、0、2、1、7、2、0、18、2、0、5、9、2、12、0、1、0、1、3、8、3、12、2、1，33个红球在第20080133期的涨落总高度H=3+2+………+1=150，平均总高度= =4.6
设想摇奖机每期不摇出任何一个中奖号码，那么在表（一）中所表现出的33个红球涨落都各增加1个单位，33个红球共增加33X1=33个单位。如果每期都摇出完全相同的6个中奖号码，那么这6个红球从第n期到第n+1期的涨落高度均等于0，6X0=0（个）单位。换句话说，每期摇出6个相同的中奖号码后，33个红球涨落的总高度应会从第n期到第n+1期减少6个单位，这时第n+1期的涨落总高度Hn+1比第n期的涨落总高度Hn会增加（33-6）（个）单位。
显然，这种增长是线性的。令第n期到第n+1期的增长率为r
r = = Const
则Hn+1=Hn+rHn=(1+r)Hn
此时，该方程对于任何一期n 都成立
即 Hn=(1+r)Hn-1
∵ Hn-1=(1+r)Hn-2代入上式得
Hn=Hn-2(1+r)2
又Hn-2=(1+r)Hn-3
∴ Hn=Hn-3(1+r)3
同理
Hn=Hn-m(1+r)m
令n-m=0
则 m=n Hn-m=H0
代入上式得
Hn=H0(1+r)n………(1)
(H0表示33个红球初始时涨落的总高度)
这是一个典型的彩票线性动力学模型。是在彩票期期摇出6个中奖号码都完全相同，换句话说期期都出现6个重号的极端情况下产生的，在实践中是不可能的。因此，这个模型并不符合彩票涨落的实际情况。
当对表（一）作进一步分析，每摇出6个红球X1、X2、X3、X4、X5、X6， 不仅该期（n期）这6个红球从第n-1期到第n期的涨落高度都等于零，而且这6个红球在上期（n-1期）的涨落高度6＇n-1也全部消失。
＇n-1=
为上期该6个红球高度h1+h2+h3+h4+h5+h6
的平均值，这样该期总高度减少6′n - 1
。另一方面，每开奖一期摇出6个红球，第n 期33个红球涨落的总高度会增加(33-6）X1（个）单位。所以， 第n期33个红球涨落的总高度Hn实际为
Hn=Hn-1+(33-6)X1-6＇n-1
=Hn-1+(27-6＇n-1)………..(2)
由此可见，增长率r 应由两部分组成，一个是增加的部分r1（如27）,
一个是减少的部分r2（如6＇n-1
）
r=r1-r2
显然，彩票涨落的实际增长率r不再是一个常数.
由式（2）知道，红球从第n-1期到第n期涨落总高度增长部分永远等于27(个）单位，而减少部分却是一个变量6＇n-1
。例如，查表（一）知从20080131期至20080141期，每期增加因素都是27，每期减少因素都等于本期6个中奖号在相邻上期的高度和，分别为16、35、25、20、25、13、34、41、12、35、29。那么第n+1期33个红球的高度和等于第n期33个红球的高度和，再加上增加的部分减去减少的部分。如第135期(n+1)的∑135为159。
∑135=∑134+27-25=157+27-25=159
∵ 25/27﹤1
∴
∑135=159﹥157=∑134
可见，当﹥１时，总高度减小（增长率减小）
当﹤１时，总高度增大（增长率增大）
就是说，H=27 是涨落总高度变化的转折点。因此，我们可以假定，当引进一个因子 （１- ）后，增长率＝r1-r2将变为
增长率＝r（１-）
当 ﹤１，增长率增大，当
﹥１，增长率减小，正反映了每期３３个红球总高度增长率的实际变化情况。将此式代入式（１）得
Hn=H0［1+ r( 1-)］n…………(3)
其中 n=０、１、２、３、……指开奖期数
Ｍ为H的最大值 Hmax
H0
、Hn
分别指初始期和第Ｎ期３３个红球的涨落总高度
当﹤１时，则Hn﹥H0，总高度增加
当﹥１时，则Hn﹤H0，总高度减小
式（3）就是我们要寻求的彩票非线性动力学模型或彩票混沌动力学模型。
显然，此模型与人口逻辑斯蒂（Logistic）模型
P=P0［1+ r( 1-)］n
的数字表达式惊人的相似。这表明，同一种数学模式，可以描述各种不同的自然现象，这也是科学发展的历史早已证实了的。
相反，同一种自然现象，从不同的角度、不同的方法，选择不同的坐标体系或变量、参数及其变换，也可以有多种数字模型。例如生态学中的虫口方程
Ｘn+1=axn-bxn2
当重新定义变量和参数，或者调整变量的区间或者适当地选择坐标，可以把上式写成多种等价的形式。张建树等教授编著的《混沌生物学》一书中介绍了如下几种常见的标准写法：
Xn+1=1-µXn2
µ∈(0,2),Xn∈[-1,1]
Xn+1=µ-Xn2
µ∈(0,2),
Xn∈[-µ,
µ]
Xn+1=rXn(1-Xn)
r∈-(0,4),Xn∈[0,1]
“前两种写法的参量相同，只是变量区间不同。第三种写法，只在参量很小时有点细致差别。”《注4》
由于X2+C与Ｐ＋rP(1-P)等价，在生物学中Xn+1=rXn(1-Xn)
这种“写法较前两种用得更多。”通常称为逻辑斯蒂方程（Logistic equation ）,这个方程已有近一个世纪的历史，但对它深奥而丰富的内涵是20世纪70年代才揭示出来。一维逻辑斯蒂映射这个简单又具有丰富内容的变换模式，很快在数学、物理、微生物、种群、人口、社会等各个领域得到了广泛的应用，并出现了多种书写形式和等价的变换模式。例如
Xa+1=L(Xn)
Xn+1=µXn(1-Xn)
Xn+1=f(µ,Xn)
Xn+1=aXn-bXn2
Pn+1=Pn+rPn(1-Pn)
Xn+1=1-µX2
P=P0［1+ r( 1-)］n
Xn+1=µ-Xn2
………
现代科学的发展表明，逻辑斯蒂映射不仅经得起理论推导与实践结合的检验，而且已被誉为当代最杰出的科学理论11个伟大方程式之一。«注5»
当今无论在理论上还是实验上研究复杂、非线性现象，都常把一维逻辑斯蒂映射作为原型，把一维逻辑斯蒂映射写成最简单、形象、明确和丰富内涵的形式Xn+1=µXn(1-Xn)。例如，常把虫子模型
Xn+1=aXn-bxn2
写成Xn+1=入Xn（1-Xn）
把人口模型P=kP0［1+ r( 1-)］n写成P=kP0(1-P0)
彩票的非线性动力学模型，自然也可以应用一维逻辑斯蒂映射在数字上多种等价形式的特点，通过适当的变换把式（3）改写成Xn+1=入Xn(1-Xn)的形式
对于式（3）的彩票混沌动力学模型
H=H0［1+ r( 1-)］n
通过在数字上叫做‘重正规化’（Yenormalization）的技巧处理。
令 Cn=
则Cn, ∈[0，1]
（大写C为“彩票”中“彩”的汉语拼音“Cǎi”的第一个字母）
那么式（3）也可以写成
Cn+1=µCn（1-Cn）……(4)
n=0,1,2,3,……
µ∈(0,4)
Cn, ∈[0，1]
µ是与Cn无关的常数，是彩票系统的控制参数。
这就是我们要建立的彩票逻辑斯蒂映射。它是一个非线性离散动力学方程，也是一个有限差分方程。式（4）与（3）是完全等价的形式，在彩票预测中，一般采用式（4）进行迭代运算。
Hn，是一个以混沌时间系列P（t）为关联变量的状态参数。Hn 既可以是每期33个红球涨落的总高度、平均总高度，也可以是每个彩球（红球或蓝球）在不同涨落次数中的总高度H或平均总高度
M，指状态参数Hn 在一定时间单位内的最大值。“一定时间单位“指彩票管理机构为避免摇奖机和彩球的自然磨损，采取“2 年更换1次彩球” “一年维护一次摇奖机”这个时间。
Cn=为彩票涨落密度。Cn指彩票在第n期的涨落密度，Cn+1指彩票在第n+1期的涨落密度。
通过“重正规化”的数学处理，彩票涨落密度是1个小于1的正数，并且是一个无单位的纯数。
式（4）适用于双色球的红球，也适用于双色球的蓝球，但它的正确性与其他的线性、非线性动力学模型一样，要以客观实践的检验作基础。在自然科学和社会科学中要建立一个动力学方程，往往在推导和演绎的过程中，经常会通过提出一些假定，进行一些变换或映射，引进一些数学因子等技巧，以达到检验的目的和预定的效果。翻开动力学的历史，无论是1837年首次由荷兰数学、生物学家弗尔哈斯特在人口模型=ky-by2 中引进的by2，后来科学家们在微生物菌落模型=kn-bn2 中引进的bn2，在人口模型P=P0［1+ r( 1-)］n 中引进的(1-)因子，……以及我们在彩票混沌动力学模型中H=H0［1+ r( 1-)］n 引进的( 1-)
因子，在彩票逻辑斯蒂映射Cny=µCn(1-Cn)中引进的Cn=
变换，都不是数学演释的结果，而纯粹是一种数学上的类此推理，是一种假定（当然这些假定都不是毫无根据）或者等价变换，它的有效性如何，需通过在理论的推导和经验、结果之间的比较去检验出来。
三、 彩票的混沌动力学模型
（一）定义一组彩票基本量
1．
涨落次数P（t）：某彩球在一定开奖期内的涨落次数。涨落次数P（t）是一个时间序列。又因对于任何一个彩号码不可能期期连续摇出，所以涨落次数这个时间序列又是离散的。
2．
涨落高度h（t）：某个或某期彩球在相邻两次中奖期的间隔。涨落高度在数量上等于相邻两次中奖时开奖期期数之差再减1 。
h（t）=（n＇﹣n）-1
其中n＇表示第n+1期的开奖期数，n 表示第n期开奖期数。值得注意的是，中奖期不等于开奖期。
3．
涨落时间t；某个彩球涨落到某一个高度h所需的时间。数值上等于该高度加1。
t = h+1
4．
涨落强度E：某彩球或某期彩球在单位时间内涨落的高度。
E =
5．
涨落温度T；某彩球在单位时间内涨落的次数。
T = * 100
6．
平均涨落高度：某彩球在P次涨落中的平均涨落高度。符号为
=
平均涨落高度是一个简易可测的状态特征参数，是平滑了噪声的重要参数，也是彩票预测的最主要的参数之一。
7．
涨落密度ρ ：某彩球的平均涨落高度Hˉ 与其相应的最大值M之比。
ρ=
式中，M =（）max
（一）
在涨落中建立彩票混沌动力学模型
我们继续分析表（一）所记录的20080130—20080154每期红球的涨落情况。例如，20080133期33个红球的涨落高度分别为3、2、4、7、5、20、9、0、1、8、0、2、1、7、2、0、18、2、0、5、9、2、12、0、1、0、1、3、8、3、12、2、1，33个红球在第20080133期的涨落总高度H=3+2+………+1=150，平均总高度= =4.6
设想摇奖机每期不摇出任何一个中奖号码，那么在表（一）中所表现出的33个红球涨落都各增加1个单位，33个红球共增加33X1=33个单位。如果每期都摇出完全相同的6个中奖号码，那么这6个红球从第n期到第n+1期的涨落高度均等于0，6X0=0（个）单位。换句话说，每期摇出6个相同的中奖号码后，33个红球涨落的总高度应会从第n期到第n+1期减少6个单位，这时第n+1期的涨落总高度Hn+1比第n期的涨落总高度Hn会增加（33-6）（个）单位。
显然，这种增长是线性的。令第n期到第n+1期的增长率为r
r = = Const
则Hn+1=Hn+rHn=(1+r)Hn
此时，该方程对于任何一期n 都成立
即 Hn=(1+r)Hn-1
∵ Hn-1=(1+r)Hn-2代入上式得
Hn=Hn-2(1+r)2
又Hn-2=(1+r)Hn-3
∴ Hn=Hn-3(1+r)3
同理
Hn=Hn-m(1+r)m
令n-m=0
则 m=n Hn-m=H0
代入上式得
Hn=H0(1+r)n………(1)
(H0表示33个红球初始时涨落的总高度)
这是一个典型的彩票线性动力学模型。是在彩票期期摇出6个中奖号码都完全相同，换句话说期期都出现6个重号的极端情况下产生的，在实践中是不可能的。因此，这个模型并不符合彩票涨落的实际情况。
当对表（一）作进一步分析，每摇出6个红球X1、X2、X3、X4、X5、X6， 不仅该期（n期）这6个红球从第n-1期到第n期的涨落高度都等于零，而且这6个红球在上期（n-1期）的涨落高度6＇n-1也全部消失。
＇n-1=
为上期该6个红球高度h1+h2+h3+h4+h5+h6
的平均值，这样该期总高度减少6′n - 1
。另一方面，每开奖一期摇出6个红球，第n 期33个红球涨落的总高度会增加(33-6）X1（个）单位。所以， 第n期33个红球涨落的总高度Hn实际为
Hn=Hn-1+(33-6)X1-6＇n-1
=Hn-1+(27-6＇n-1)………..(2)
由此可见，增长率r 应由两部分组成，一个是增加的部分r1（如27）,
一个是减少的部分r2（如6＇n-1
）
r=r1-r2
显然，彩票涨落的实际增长率r不再是一个常数.
由式（2）知道，红球从第n-1期到第n期涨落总高度增长部分永远等于27(个）单位，而减少部分却是一个变量6＇n-1
。例如，查表（一）知从20080131期至20080141期，每期增加因素都是27，每期减少因素都等于本期6个中奖号在相邻上期的高度和，分别为16、35、25、20、25、13、34、41、12、35、29。那么第n+1期33个红球的高度和等于第n期33个红球的高度和，再加上增加的部分减去减少的部分。如第135期(n+1)的∑135为159。
∑135=∑134+27-25=157+27-25=159
∵ 25/27﹤1
∴
∑135=159﹥157=∑134
可见，当﹥１时，总高度减小（增长率减小）
当﹤１时，总高度增大（增长率增大）
就是说，H=27 是涨落总高度变化的转折点。因此，我们可以假定，当引进一个因子 （１- ）后，增长率＝r1-r2将变为
增长率＝r（１-）
当 ﹤１，增长率增大，当
﹥１，增长率减小，正反映了每期３３个红球总高度增长率的实际变化情况。将此式代入式（１）得
Hn=H0［1+ r( 1-)］n…………(3)
其中 n=０、１、２、３、……指开奖期数
Ｍ为H的最大值 Hmax
H0
、Hn
分别指初始期和第Ｎ期３３个红球的涨落总高度
当﹤１时，则Hn﹥H0，总高度增加
当﹥１时，则Hn﹤H0，总高度减小
式（3）就是我们要寻求的彩票非线性动力学模型或彩票混沌动力学模型。
显然，此模型与人口逻辑斯蒂（Logistic）模型
P=P0［1+ r( 1-)］n
的数字表达式惊人的相似。这表明，同一种数学模式，可以描述各种不同的自然现象，这也是科学发展的历史早已证实了的。
相反，同一种自然现象，从不同的角度、不同的方法，选择不同的坐标体系或变量、参数及其变换，也可以有多种数字模型。例如生态学中的虫口方程
Ｘn+1=axn-bxn2
当重新定义变量和参数，或者调整变量的区间或者适当地选择坐标，可以把上式写成多种等价的形式。张建树等教授编著的《混沌生物学》一书中介绍了如下几种常见的标准写法：
Xn+1=1-µXn2
µ∈(0,2),Xn∈[-1,1]
Xn+1=µ-Xn2
µ∈(0,2),
Xn∈[-µ,
µ]
Xn+1=rXn(1-Xn)
r∈-(0,4),Xn∈[0,1]
“前两种写法的参量相同，只是变量区间不同。第三种写法，只在参量很小时有点细致差别。”《注4》
由于X2+C与Ｐ＋rP(1-P)等价，在生物学中Xn+1=rXn(1-Xn)
这种“写法较前两种用得更多。”通常称为逻辑斯蒂方程（Logistic equation ）,这个方程已有近一个世纪的历史，但对它深奥而丰富的内涵是20世纪70年代才揭示出来。一维逻辑斯蒂映射这个简单又具有丰富内容的变换模式，很快在数学、物理、微生物、种群、人口、社会等各个领域得到了广泛的应用，并出现了多种书写形式和等价的变换模式。例如
Xa+1=L(Xn)
Xn+1=µXn(1-Xn)
Xn+1=f(µ,Xn)
Xn+1=aXn-bXn2
Pn+1=Pn+rPn(1-Pn)
Xn+1=1-µX2
P=P0［1+ r( 1-)］n
Xn+1=µ-Xn2
………
现代科学的发展表明，逻辑斯蒂映射不仅经得起理论推导与实践结合的检验，而且已被誉为当代最杰出的科学理论11个伟大方程式之一。«注5»
当今无论在理论上还是实验上研究复杂、非线性现象，都常把一维逻辑斯蒂映射作为原型，把一维逻辑斯蒂映射写成最简单、形象、明确和丰富内涵的形式Xn+1=µXn(1-Xn)。例如，常把虫子模型
Xn+1=aXn-bxn2
写成Xn+1=入Xn（1-Xn）
把人口模型P=kP0［1+ r( 1-)］n写成P=kP0(1-P0)
彩票的非线性动力学模型，自然也可以应用一维逻辑斯蒂映射在数字上多种等价形式的特点，通过适当的变换把式（3）改写成Xn+1=入Xn(1-Xn)的形式
对于式（3）的彩票混沌动力学模型
H=H0［1+ r( 1-)］n
通过在数字上叫做‘重正规化’（Yenormalization）的技巧处理。
令 Cn=
则Cn, ∈[0，1]
（大写C为“彩票”中“彩”的汉语拼音“Cǎi”的第一个字母）
那么式（3）也可以写成
Cn+1=µCn（1-Cn）……(4)
n=0,1,2,3,……
µ∈(0,4)
Cn, ∈[0，1]
µ是与Cn无关的常数，是彩票系统的控制参数。
这就是我们要建立的彩票逻辑斯蒂映射。它是一个非线性离散动力学方程，也是一个有限差分方程。式（4）与（3）是完全等价的形式，在彩票预测中，一般采用式（4）进行迭代运算。
Hn，是一个以混沌时间系列P（t）为关联变量的状态参数。Hn 既可以是每期33个红球涨落的总高度、平均总高度，也可以是每个彩球（红球或蓝球）在不同涨落次数中的总高度H或平均总高度
M，指状态参数Hn 在一定时间单位内的最大值。“一定时间单位“指彩票管理机构为避免摇奖机和彩球的自然磨损，采取“2 年更换1次彩球” “一年维护一次摇奖机”这个时间。
Cn=为彩票涨落密度。Cn指彩票在第n期的涨落密度，Cn+1指彩票在第n+1期的涨落密度。
通过“重正规化”的数学处理，彩票涨落密度是1个小于1的正数，并且是一个无单位的纯数。
式（4）适用于双色球的红球，也适用于双色球的蓝球，但它的正确性与其他的线性、非线性动力学模型一样，要以客观实践的检验作基础。在自然科学和社会科学中要建立一个动力学方程，往往在推导和演绎的过程中，经常会通过提出一些假定，进行一些变换或映射，引进一些数学因子等技巧，以达到检验的目的和预定的效果。翻开动力学的历史，无论是1837年首次由荷兰数学、生物学家弗尔哈斯特在人口模型=ky-by2 中引进的by2，后来科学家们在微生物菌落模型=kn-bn2 中引进的bn2，在人口模型P=P0［1+ r( 1-)］n 中引进的(1-)因子，……以及我们在彩票混沌动力学模型中H=H0［1+ r( 1-)］n 引进的( 1-)
因子，在彩票逻辑斯蒂映射Cny=µCn(1-Cn)中引进的Cn=
变换，都不是数学演释的结果，而纯粹是一种数学上的类此推理，是一种假定（当然这些假定都不是毫无根据）或者等价变换，它的有效性如何，需通过在理论的推导和经验、结果之间的比较去检验出来。
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