龙云凤:数 学 好 玩

2002年8月20日至28日，第24届国际数学家大会（ICM2002）在北京举行，92岁高龄的著名数学家陈省身在大会活动之一的“走进美妙的数学花园”中国少年数学论坛的开幕式上题词：数学好玩。第二天，中科院院士、数学家田刚也送给青少年数学爱好者四个字：玩好数学。

以一位耋耄老者与一位具有声望的学者的共同心声作为21世纪数学教育改革的一个导语，笔者以为是最恰当不过了，也确信玩数学的时机成熟了，一种有别于传统的数学教育指导思想的课堂模式—第 课堂可以实践了。

命 题 的 提 出

到目前为止，教育理论界与处在一线的教师对数学教育进行的研究探索都是非常积极的，都试图从不同角度、不同层面来分析问题。

但是，就如同教育体制改革一样，数学教育的探索仍然任重道远！数学教育的消费者（学生）、教育的投资方（学生家长）、教育行业的管理者（政府）对于数学教育还很不满意，“数学无用”、“考试数学”的思想还有很大的市场。

分析原因，可以发现有一点是值得重视的：以往的研究总会首先加一个教育指导思想“尽可能的提高学生的能力，为……建设做贡献”。一般表现为要求提高学生生活的能力、学习的能力、协作的能力；在形式上往往表现为 “纲”、“条”、“方针”等。这种家长式的“包办”必然会与数学教育的消费者（学生）的“意愿”发生激烈的冲撞，而教育的主体却是学生，这样的冲撞结果必然是“包办”被撞得粉碎，学生的“意愿”也发生扭曲，学生求知欲的迷失就不可避免。

本文从很朴素的思想：真理总是相对的（何况指导思想）出发，暂时不去考虑数学教育的结果（我们的指导思想就是看重结果，但是总是发现那“果实”是“酸”的），而先去探讨数学本来应该是怎样的，去关注数学教育的内容当中被人们长期忽视的一面——趣味性。

本文就试图从数学本身是“好玩”的这一角度来论证开设体现这一特点的课堂模式——第 课堂的必要性。

由于这一课堂与传统的以教授知识、培养能力为目标的“第一课堂”是有区别的，它也不是“第二课堂”或“兴趣小组”，因为它的“想法”没有它们复杂，它只有一个愿望：激发学生的求知欲。而且如果以“第二课堂”的形式出现则很容易使“弱视”的人对其重要性“打折扣”。另外，从“第一”、“第二”到“第 ”就是一个好玩的变化，故命名为：第 课堂。

所谓“模糊证明”则基于这是对一个命题的论证，但是对于像教育之类的社会科学的论证只能做到“模糊”而非数学形式意义上的“严谨”，当然笔者以为这种变化也好玩，故称之为：模糊证明。

引理1 数 学 是 好 玩 的

这个引理论证的是：数学并不是如同很多人想象的那样“要么是枯燥的；要么是深奥的；或者是晦涩的；总之不是那么有趣的”。可能有不少人从某些侧面说明过，笔者主要给人们提供真实存在的“好玩的数学”，然后“数学是好玩的”就不证自明了。

首先，数学的美是具有很强的震撼力，这其中的代表就是大家熟悉的“黄金分割”：建筑师设计的很多矩形窗户符合“黄金分割”才显得那么地和谐；钢琴演奏会上钢琴和钢琴家的位置也符合“黄金分割”，所以观众才会觉得如此舒服；维纳斯雕像也正是符合了“黄金分割”才令人扑朔迷离；庄严美丽的五角星上也有许多“黄金分割点”；法国巴黎圣母院、中国故宫的构图也都融入了“黄金分割”的匠心；不仅如此， 这个奇妙的比例还可以大量的用于解释社会学科的一些现象，例如人们是否可以设想在一些场合“平等”并不意味着就是1:1,而是 ，也许这样才合理！

第二、欧几里得的“几何原本”当中的抽象推理模式（公设——推论）有许多的应用，马尔萨斯的“人口论”就是一个例子。人需要食品，人需要繁衍后代（公设）；而人口增长模型就是推论。甚至在政治学里也有这一推理模式的市场，美国的“独立宣言”是一个著名的例子。独立宣言就是为了得到“反抗大英帝国是完全合理的”这个结论，试图借助欧几里得的模式使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。“我们认为这些真理是不证自明的…”（公设）——不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都平等”（公设）。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么“人民就有权更换或废除它”（公设）。宣言的主要部分开头论述了英国国王乔治的政府没有满足上述条件，“因此，…我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家”（推论）。最后有必要提到的是：宣言的主要起草人杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。

第三、非欧几何。先不用解释什么是“非欧几何”，只要告诉学生：实际上同学们所学习的几何知识如同牛顿的三大定律一样，严格地讲是不准确的，恐怕就会引起一片“哗然”，有不少学生会对为什么还要学习这些不准确的东西感兴趣。假如，你再让学生了解到：三角形的内角和不一定是180度，可以是大于或小于180度，那么学生除了再听你“发挥”以外别无选择。如果，你再拿一个篮球（表示地球），两个玩具小人演示一下，“水平线”是多么的荒谬！

第四、分形几何。这是非欧几何当中的一个奇妙的世界，分形(fractal)几何更为准确的描述了现实的世界、自然的现象，故又称为自然几何。凭着美丽的分形图的无比丰富的细节、绚丽多彩的结构已经能使学生流连忘返；而分数维悖于学生原有的维数认识对传统的维数观念的冲突不亚于一次地震。再加上以下的内容：（1）一些经典分形图，科赫雪花曲线、谢尔宾斯基垫片、“有皮没有肉”的门杰海棉、恶魔的阶梯等；（2）特征长度，分形的自相似性的认识；（3）海岸线的测量问题，（4）“病态”怪物画廊的回顾；分形几何简史与曼德尔布罗生平简介。这些都能使得学生陶醉！

第五、模糊数学。模糊(fuzzy)概念、模糊控制在西方国家已经成为很流行的话语；模糊数学对于生活的影响绝不亚于一场“革命”。在观察了图(a)后的学生当中绝大多数是不假思索的回答：这是一个圆！但是，试问：哪一位老师教学生圆的时候可以有一个缺口的！（观察下图“圆”的左下方）同样的问题抛给学生时，他们无言以对。如果把这个缺口补上的时候那就是圆了吗？“很不幸，同学们，这还不是一个圆！”（事实上这个“圆”上的每一点到“圆”心的距离并不总相等）。这就是Fuzzy现象，现实生活也并没有以前人们所想象的那样精确，“天气好热哦”、“这个人太没道德了”、“明知自己的行为会对社会产生危害…是故意”等等概念能用精确的模型表示吗？难道就没有同学对“为什么人的大脑对Fuzzy无动于衷？”感兴趣吗？

如果说上面的现象还不够的话，那么“模糊洗衣机”、“模糊冰箱”、“模糊空调机”、“盲人网页”、“电车运行控制”等等的模糊控制的应用则可以使学生饶有兴趣的用数学的眼光来观察世界，分析周围的事物。

第六、其他。只要稍加注意就会发现好玩的数学绝对不止这些。如博弈论（theory of game）本身就是从研究游戏规则开始，具有很强的趣味性与实用性。当然数学家佚事也会是不错的主意；将数学史引入课堂也已被证明会起到很好的效果。

引理2.兴趣是学习尤其是创新的动力

大师可能也会有不对的地方，但是我们还是先来听听他们在不同场合发出的声音。杨乐院士认为：兴趣应该放在首要位置。诺贝尔物理奖获得者杨振宁说：成功的最大秘诀就是兴趣。王元院士：必须强调好奇心的重要性。当然数学家陈省身对于兴趣的重要性的理解则更加独到：数学好玩。我们的大圣人孔子也有：不愤不启，不悱不发。也强调了只有当学生的心理进入求通而不解，几欲言而不能的“愤”、“悱”的状态时，才能激发起学生的认知兴趣和强烈的学习动机。

所以毋庸置疑的是在数学教学当中要加强趣味性，使学生能带着一种高涨的、激动的情绪从事学习和思维，对面前展示的某种新颖的、出乎意料的东西感到惊讶，甚至震惊，体会到数学创造过程中的乐趣和成功的喜悦。

引理3.数学是可以玩的

这个引理论证的范围主要指中学生，采用的方法是反证法，针对可能会有的反对或质疑进行反驳，如果几乎没有反对的声音，那么认同就是自然的了。

第一、   玩物丧志？

只要相信每一位合格的数学教师都不会忘了有“教学大纲”这回事，不会将“寓教于乐”庸俗地理解为单纯的玩，这个担心就不足为虑。相反，他们还应该能够理解“催化剂是不参加化学反应的”。但是“催化剂能使化学反应顺利的进行”。

第二、   本末倒置？

要说明的是影响以传授知识、培养各种能力与思维的为主的正常教学并不是我们的初衷，相反我们的野心只有：促进正常教学的可持续进行。课外活动时间+基本教学时数的剩余+ 45分钟教学时间中的X分钟= 第 课堂的教学时间。

第三、   中学阶段有必要介绍“这么难”的内容吗？

首先，我们应该明白假如学生没有求知欲望，即使再“简单”的内容也是不想学、不会学、学不会的，而我们学习“偏难”的内容的目的则是激发学生的兴趣。其次，上面提到的内容再“难”也难不过高深的天体物理，而著名的数学家、物理学家霍金的科普著作《时间简史》已经在世界上发行了超过1000万册，成为世界上最畅销的科普读物，这是将最艰深的理论问题与大众最普遍的兴趣结合的成功典范，也从一个侧面说明了只要选择适当的形式完全可以把尽管有点“难”但是“好玩的数学”与学生的兴趣结合起来。再次，上述内容完全具备新世纪课程设计理念所要求的“具有现实性、趣味性、富有挑战性”，也很容易在普通的中学数学内容中找到生长点。最后，我们也注意到了高中开设计算机必修课也为学习现代的数学内容提供了方便。如果再考虑与高等教育的接轨，为学习更高深更实用的内容打下扎实的基础，那么在中学阶段不仅可以学那些“难”的内容，而且必须学。

第四、   师资问题

只要每一位数学教师有求知欲，能主动的学习；同时采取相应的措施（如：由大学的教师对中学教师集中培训相关内容；由有关学者编著一本有关的数学科普读物甚至可以尝试编写教材）；那么师资也不是一个问题。其中关于科普读物，笔者注意到了学者李学数的系列著作《数学和数学家的故事》是个不错的尝试（见文献[7]）。

定  义

第 课堂：以激发学生的求知欲为初级目标，以数学教育可持续进行为中级目标，以“玩好数学”为高级目标，以使所有的学生能够毫无例外的“迅速地、愉快地、彻底地懂得科学”以及生活“所需的一切事项”，最后成为“人”；以专题讲座、课堂穿插、课外学习等形式出现；以教室、机房等为教学场所；以“好玩的数学”为教学内容；在数学教育过程中起催化剂、润滑油的作用的一种数学教育模式。细心的人们就会发现直接或具体地提高学生能力、培养学生思维并不是它所关注的，它就是化学反应里的催化剂并不参加反应，但是没它不行！

第 课堂还符合教材现代化的要求；给学生描述了一个现实的世界，有利于培养学生辨证唯物主义思想；还是教育建模的成果“美乐模式”、“兴趣模式”、“趣味模式”的实践

推  论

在中学阶段开设以“数学好玩”为指导思想的课堂模式：第 课堂是必要的。

结  束  语

爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。笔者现在只是提出了一个问题，将还不是很成熟的思想表达出来，目的是希望更多的人加入到这个问题的思考。当然，笔者也深知，解决问题才是目的，如同“数学好玩”只是前提，“玩好数学”才是目的，因此可以说作为数学工作者，我们还有很长的路要走。